2026年上海市初中学业水平模拟测试自测试卷（含答案）

2026年上海市初中学业水平模拟测试数学试卷一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）若关于x的不等式组x+6＜4x−3x≤m无解，则mA．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤32．（4分）已知关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（）A．n＜4 B．n≤4 C．n＞4 D．n＝43．（4分）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数y=1x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y=1…−1−1−1−1﹣1−1−1−1−1…那么下列说法中正确的是（）A．该函数的图象关于y轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿x轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的4．（4分）下表是某公司25位员工收入的资料．月收入/元45000180001000055005000340030001000人数111361111能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（）A．平均数和众数 B．平均数和中位数 C．中位数和众数 D．平均数和方差5．（4分）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且AB＝26，CD＝24，则AH的长是（）A．3 B．5 C．8 D．186．（4分）下列命题中，假命题是（）A．有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）已知25xm+1y2与x4yn是同类项，则m8．（4分）方程2−x=−x的解是9．（4分）如果直线y＝kx﹣1经过点A（2，0），那么不等式kx﹣1＜0的解集为．10．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），甲转盘被分成面积相等的2个扇形，乙转盘被分成面积相等的3个扇形．则配得紫色的概率为．11．（4分）已知一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数是a，方差是b，那么mx1+n，mx2+n，mx3+n，…，mxn+n的平均数和方差分别是．（结果用代数式表示）12．（4分）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少米．13．（4分）已知点（﹣4，y1），（6，y2）都在反比例函数y=2x的图象上，则y1y14．（4分）如图，在线段AB上找到一个点C，且AC＜BC，满足AC：CB＝CB：AB，若AB＝6，则BC＝．15．（4分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝16，则CE的长为．16．（4分）一家餐厅有两种套餐：A套餐：2份拉面；B套餐：2份拉面、2杯饮料；小华和同学在该餐厅吃饭，他们的点餐中（A、B套餐均有）共有10份拉面，m杯饮料，则他们点A套餐的数量为．（用含m的代数式表示）17．（4分）如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则ADBD（填“＞”或“＝”或“＜”）．18．（4分）如图，等腰△ABC中，AD为底边中线，若∠BAD＝55°，则∠C的度数为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：3920．（10分）解方程组：x−2y=5①x21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BD＝1，tanB=3（1）求AD的长；（2）求sinα的值．22．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为．（如需画草图，请使用图2）23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M，N都以2cm/s的速度分别从C，F两点沿CB，FE向B，E两点运动，判断当M，N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似．24．（14分）设二次函数y＝2x2+bx+4的图象为图象P．（1）若图象P的对称轴为直线x＝1，求其顶点坐标．（2）将图象P向下平移4个单位长度后得到图象T，求证：图象T与x轴有交点．（3）设m（m＞0）为常数，当﹣m＜b＜m时，图象P与x轴无交点，结合函数图象，求m的最大值．25．（14分）如图1，⊙O为△ABC的外接圆，点B为ABC的中点，点F为劣弧AC上除弧中点外一动点，连接AF，∠AFB＝60°，连接BF交AC于D点，过F点作⊙O的切线交直线AC于E点，连接BE．（1）连接OA，OB，则∠AOB＝°，若AB＝3，则⊙O的面积＝；（2）判断△DEF的形状，并进行证明；（3）已知⊙O的半径为r，如图2，取AC延长线上一点G，连接BG，且BC平分∠GBF．①求AF•BG；（结果用r表示）②1CD−1

参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）若关于x的不等式组x+6＜4x−3x≤m无解，则mA．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】D【分析】首先解x+6＜4x﹣3，再根据不等式组无解确定m的取值范围即可．【解答】解：x+6＜4x﹣3，﹣3x＜﹣9x＞3，由题意可得：m≤3，故选：D．【点评】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．2．（4分）已知关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（）A．n＜4 B．n≤4 C．n＞4 D．n＝4【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，构建不等式求解．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，∴（﹣4）2﹣4n＞0，∴n＜4．故选：A．【点评】考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3．（4分）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数y=1x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y=1…−1−1−1−1﹣1−1−1−1−1…那么下列说法中正确的是（）A．该函数的图象关于y轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿x轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；函数的图象．【专题】函数及其图象；应用意识．【答案】D【分析】根据图标即可得出函数的特征，逐一判断即可．【解答】解：A．该函数的图象关于x＝﹣1对称，故本选项不符合题意；B．该函数的图象有最低点（﹣1，﹣1），没有最高点，故本选项不符合题意；C．该函数的图象经过第三、四象限，故本选项不符合题意；D．沿x轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查关于x轴、y轴的对称点的坐标及函数的图象，从图象获得正确信息是解题的关键．4．（4分）下表是某公司25位员工收入的资料．月收入/元45000180001000055005000340030001000人数111361111能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（）A．平均数和众数 B．平均数和中位数 C．中位数和众数 D．平均数和方差【考点】统计量的选择；方差；众数；中位数；加权平均数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念；应用意识．【答案】C【分析】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．【解答】解：该公司员工月收入的众数为3000元，在25名员工中有13人在这些数据之上，所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；因为公司共有员工25人，所以该公司员工月收入的中位数为第13人的收入，故为3400元；由于在25名员工中在此数据及以上的有13人，所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；故选：C．【点评】此题考查了统计量的选择，众数、中位数，用到的知识点是众数、中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，众数即出现次数最多的数据．5．（4分）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且AB＝26，CD＝24，则AH的长是（）A．3 B．5 C．8 D．18【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】D【分析】连接OC，根据垂径定理求出CH，根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝26，CD＝24，∴CH=12CD=12在Rt△OCH中，OH=O∴AH＝OH+AO＝13+5＝18，故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．6．（4分）下列命题中，假命题是（）A．有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似【考点】命题与定理；相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：A、有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意；B、有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意；C、有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似，是真命题，不符合题意；D、如图：AG与DH分别为△ABC与△DEF的高，ABDE=ACDF=故有两边及其第三条边上的高对应成比例的两个三角形相似，是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查命题与定理、相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）已知25xm+1y2与x4yn是同类项，则m【考点】同类项．【专题】整式；运算能力．【答案】5．【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求出m，n的值，继而可求解．【解答】解：由题意，得：m+1＝4，n＝2，∴m＝3，∴m+n＝3+2＝5；故答案为：5．【点评】此题考查的是同类项，掌握其定义是解决此题的关键．8．（4分）方程2−x=−x的解是x＝﹣2．【考点】无理方程．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】x＝﹣2．【分析】首先将两边同时平方得2﹣x＝x2，再解这个整式方程求出x，然后再进行检验即可得出原方程的解．【解答】解：对于方程2−x=−x，两边同时平方得：2﹣x＝x2移项得：x2+x﹣2＝0，∴（x﹣1）（x+2）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，由x﹣1＝0，解得：x＝1，由x+2＝0，解得：x＝﹣2，经检验得：x＝1为增根，x＝﹣2是原方程的根．∴方程2−x=−x的解是x故答案为：x＝﹣2．【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键．9．（4分）如果直线y＝kx﹣1经过点A（2，0），那么不等式kx﹣1＜0的解集为x＜2．【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＜2【分析】先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1，∴函数图象还经过点（0，﹣1）．如图，∴当x＜2时，kx﹣1＜0．故答案为：x＜2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．10．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），甲转盘被分成面积相等的2个扇形，乙转盘被分成面积相等的3个扇形．则配得紫色的概率为13【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】13【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可．【解答】解：树状图如下所示，由上可得，一共有6种等可能性，其中配得紫色的可能性有2种，∴配得紫色的概率为26故答案为：13【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．11．（4分）已知一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数是a，方差是b，那么mx1+n，mx2+n，mx3+n，…，mxn+n的平均数和方差分别是ma+n和m2b．（结果用代数式表示）【考点】方差；算术平均数．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】ma+n和m2b．【分析】依据题意，由一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数x是a，方差S2是b，则（x1+x2+⋯+xn）÷n＝a，[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+…+（xn﹣a）2]÷n＝b，进而代入计算可以得解．【解答】解：由题意，∵一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数x是a，方差S2是b，∴（x1+x2+⋯+xn）÷n＝a，[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+…+（xn﹣a）2]÷n＝b．∴x1+x2+⋯+xn＝an，（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+…+（xn﹣a）2＝bn．∴mx1+n，mx2+n，…，mxn+n的平均数＝[（mx1+n）+（mx2+n）+⋯+（mxn+n）]÷n＝[m（x1+x2+⋯+xn）+n•n]÷n＝（amn+n2）÷n＝ma+n；mx1+n，mx2+n，…，mxn+n的方差＝[（mx1+n﹣ma﹣n）2+（mx2+n﹣ma﹣n）2+（mx3+n﹣ma﹣n）2+…+（mxn+n﹣ma﹣n）2]÷n＝[m2（x1﹣a）2+m2（x2﹣a）2+m2（x3﹣a）2+…+m2（xn﹣a）2]÷n＝m2[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+…+（xn﹣a）2]÷n＝m2bn÷n＝m2b．故答案为：ma+n和m2b．【点评】本题考查了算术平均数和方差，①当一组数据都扩大（缩小）a倍时，平均数也会扩大（缩小）a倍，都增加（减少）b时，平均数也会增加（减少）b；②当一组数据都扩大（缩小）a倍时，方差会扩大（缩小）到原来的a2倍，都增加（减少）b时，方差不变．12．（4分）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少4米．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．【答案】4．【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令y＝3，求出x的值即可判断得解．【解答】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣4）2+4＝0，∴a=−1∴y=−14（x﹣4）∴当水面上升3m时，令y＝3，则y=−14（x﹣4）∴x＝2或x＝6．∴此时水面宽为6﹣2＝4（米），∴水面宽度减少8﹣4＝4（米）．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键．13．（4分）已知点（﹣4，y1），（6，y2）都在反比例函数y=2x的图象上，则y1＜y【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】＜．【分析】根据反比例函数k值确定函数图象的分布及增减性进行答题即可．【解答】解：反比例函数y=2x中，k＝2＞0，图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随∵点（﹣4，y1）在第三象限，∴y1＜0，∵（6，y2）在第一象限，∴y2＞0，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．14．（4分）如图，在线段AB上找到一个点C，且AC＜BC，满足AC：CB＝CB：AB，若AB＝6，则BC＝35−3【考点】比例线段；根的判别式．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】35【分析】首先设BC＝x，则AC＝6﹣x，进而通过比例式列出一元二次方程，求解结果并保留正数即可．【解答】解：设BC＝x，则AC＝6﹣x，根据题意可得：6−xx解得：x=−3±35∴x=−3+35，即BC=3故答案为：35【点评】本题主要考查成比例线段和解一元二次方程，根据比例式列方程是解题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝16，则CE的长为325【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】325【分析】设FD＝m，作CH∥AE，交BD的延长线于点H，由BF：FD＝3：1，得BF＝3FD＝3m，由∠CDH＝∠ADF，∠H＝∠AFD，CD＝AD，证明△CDH≌△ADF，得HD＝FD＝m，则BH＝5m，可证明△BEF∽△BCH，得BEBC=BFBH=35，则BE=【解答】解：设FD＝m，作CH∥AE，交BD的延长线于点H，则∠H＝∠AFD，∵BF：FD＝3：1，∴BF＝3FD＝3m，∵D是AC的中点，∴CD＝AD，在△CDH和△ADF中，∠CDH=∠ADF∠H=∠AFD∴△CDH≌△ADF（AAS），∴HD＝FD＝m，∴BH＝3m+m+m＝5m，∵EF∥CH，BC＝16，∴△BEF∽△BCH，∴BEBC∴BE=35∴CE＝BC−35BC=25BC故答案为：325【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．16．（4分）一家餐厅有两种套餐：A套餐：2份拉面；B套餐：2份拉面、2杯饮料；小华和同学在该餐厅吃饭，他们的点餐中（A、B套餐均有）共有10份拉面，m杯饮料，则他们点A套餐的数量为5−m2．（用含【考点】列代数式．【专题】整式；推理能力．【答案】5−m【分析】根据饮料的数量可以确定B餐的数量，从面可以确定A餐的数量．【解答】解：B餐的数量为m2所以A餐的数量为102故答案为：5−m【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．17．（4分）如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD＝BD（填“＞”或“＝”或“＜”）．【考点】相交两圆的性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】＝．【分析】连接OD，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ADO＝90°，然后根据垂径定理即可得到结论．【解答】解：如图，连接OD，∵OA为⊙C的直径，∴∠ADO＝90°，∴OD⊥AB，∴AD＝BD．故答案为：＝．【点评】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．18．（4分）如图，等腰△ABC中，AD为底边中线，若∠BAD＝55°，则∠C的度数为35°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】35°．【分析】根据等腰三角形三线合一即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD为底边的中线，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵∠BAD＝55°，∴∠B＝∠C＝35°，故答案为：35°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：39【考点】分数指数幂；实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】31【分析】先将各数变成幂的形式，再进行同底数幂相乘除运算．【解答】解：3=3=3=3【点评】此题考查了同底数幂相乘除的能力，关键是能准确理解并运用该知识和分数指数幂进行求解．20．（10分）解方程组：x−2y=5①x【考点】高次方程．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】x1=3y【分析】先将②式因式分解为（x+3y）（x﹣y）＝0，则可得（x+3y）＝0或（x﹣y）＝0，再分别与①式联立求解即可．【解答】解：由②得：（x+3y）（x﹣y）＝0，∴x+3y＝0或x﹣y＝0，∴原方程组可化为两个方程组：x−2y=5x+3y=0或x−2y=5解得：x1=3y∴原方程组的解为：x1=3y【点评】本题主要考查了解二元二次方程组，解题的关键是将②式进行因式分解，把原方程组转化为两个二元一次方程组．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BD＝1，tanB=3（1）求AD的长；（2）求sinα的值．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）32（2）210【分析】（1）根据∠B的正切及AB的长，可求出BC和AC的长，再求出CD的长即可解决问题．（2）过点D作AB的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，tanB=AC令AC＝3x，BC＝4x，则（3x）2+（4x）2＝52，解得x＝1，所以AC＝3，BC＝4．又因为BD＝1，所以CD＝4﹣1＝3．在Rt△ACD中，AD=3（2）过点D作AB的垂线，垂足为M，因为S△ABD所以DM=BD⋅AC在Rt△AMD中，sinα=DM【点评】本题考查解直角三角形，过点D作AB的垂线，构造出直角三角形及熟知勾股定理是解题的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为4π﹣8．（如需画草图，请使用图2）【考点】三角形的重心；垂径定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；作图—复杂作图．【专题】与圆有关的计算；图形的相似；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）4π﹣8．【分析】（1）过点G作OG⊥AM，作BG的垂直平分线交直线OG于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O即可；（2）设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO，则∠BTG＝∠GEM，先证明∠BOG＝2∠BTG＝90°，进一步证明BO∥AM得到AGBO=DGOD，再设⊙O的半径为r，并根据G是△ABC的重心和DG＝GM＝2，得到AG＝2GM＝4和OD＝OG﹣DG＝r﹣4，进一步构造关于r的方程求出r＝4，最后根据S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣【解答】解：（1）如图，以G为圆心、以GM为半径画弧交AG于点K，分别以M、K为圆心，以大于12MK的长为半径画弧，两弧交于L、H，作直线LH；分别以B、G为圆心、以大于12BG的长为半径画弧两弧交于P、Q，作直线PQ交直线LH于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O（2）如图，设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO，∵B、E、G、T四点共圆，∴∠BTG+∠BEG＝180°，∵∠BEG+∠GEM＝180°，∴∠BTG＝∠GEM，∵∠GEM＝45°，∴∠BTG＝45°，∴∠BOG＝2∠BTG＝90°，∵⊙O与AM相切于G，∴AM⊥OG，∴BO∥AM，∴△ADG∽△BDO，∴AGBO∵G是△ABC的重心，DG＝GM＝2，∴AG＝2GM＝2×2＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OG﹣DG＝r﹣2，解得：r＝4，∴S扇形OBEG∴S△OBG∴S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG＝4π﹣8．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M，N都以2cm/s的速度分别从C，F两点沿CB，FE向B，E两点运动，判断当M，N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似．【考点】矩形的性质；相似多边形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】解：设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意可得：AD＝BC＝16，AE＝DF＝8，CF＝BE＝12﹣8＝4，CM＝NF＝2t，当FN是矩形的长时，矩形CFNM与矩形EADF相似．∴FNAD=CF解得：t＝4；当FN是矩形的宽时，矩形CFNM与矩形ADFE相似．∴FCAD=CM解得：t＝1．综上，当t＝1或4时，矩形CFNM与矩形ADFE相似．【分析】设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，分FN是矩形的长和FN是矩形的宽两种情况，分别列出比例式求解即可．【解答】解：设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意可得：AD＝BC＝16，AE＝DF＝8，CF＝BE＝12﹣8＝4，CM＝NF＝2t，当FN是矩形的长时，矩形CFNM与矩形EADF相似．∴FNAD=CF解得：t＝4；当FN是矩形的宽时，矩形CFNM与矩形ADFE相似．∴FCAD=CM解得：t＝1．综上，当t＝1或4时，矩形CFNM与矩形ADFE相似．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边的比相等是解题的关键．24．（14分）设二次函数y＝2x2+bx+4的图象为图象P．（1）若图象P的对称轴为直线x＝1，求其顶点坐标．（2）将图象P向下平移4个单位长度后得到图象T，求证：图象T与x轴有交点．（3）设m（m＞0）为常数，当﹣m＜b＜m时，图象P与x轴无交点，结合函数图象，求m的最大值．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）（1，2）；（2）见解析；（3）42【分析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为直线x＝1，求得b＝﹣4，于是得到图象P对应的解析式为y＝2x2﹣4x+4，于是得到结论；（2）根据将图象P向下平移4个单位后得到图象T，于是得到图象T的解析式为y=2(x+b4)2−b28+4−4=2(x+b4)2−b（3）根据在y＝2x2+bx+4中的二次项系数a＝2，求得对称轴为−b2a=−b4，得到点A为图象P对应的抛物线的顶点，当顶点A的纵坐标y0＞0时，图象P与x轴无交点，其图象是抛物线，记作图象Q，对称轴是纵轴，开口向下，解方程得到图象Q与x轴的两个交点分别为(42，0)，(−4【解答】（1）解：∵二次函数y＝2x2+bx+4的图象的对称轴为直线x＝1，y＝2x2+bx+4的二次项系数为2，∴−b∴b＝﹣4．∴y＝2x2﹣4x+4．把x＝1代入解析式，得y＝2．∴顶点坐标为（1，2）；（2）证明：y=2x∴图象T对应的解析式为y=2(x+b∴图象T顶点的纵坐标为−b28∴图象T的顶点在x轴上或在x轴下方．又∵图象T开口向上，∴图象T与x轴有交点；（3）设图象P的顶点为A（x0，y0）．∵y＝2x2+bx+4的二次项系数a＝2，∴x0=−b2a=−∴当顶点A的纵坐标y0＞0时，图象P与x轴无交点．∵y0∴y0是关于b的二次函数，其图象是抛物线，记作图象Q，对称轴是纵轴，开口向下，画草图如下：令y0＝0，得−b28+4=0，解得∴图象Q与横轴的两个交点分别为(42，0)，∴结合图象可知：当−42＜b＜42时，又∵﹣m＜b＜m，∴m≤42∴m的最大值为42【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与几何变换，二次函数的图象，抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正确地理解题意是解题的关键．25．（14分）如图1，⊙O为△ABC的外接圆，点B为ABC的中点，点F为劣弧AC上除弧中点外一动点，连接AF，∠AFB＝60°，连接BF交AC于D点，过F点作⊙O的切线交直线AC于E点，连接BE．（1）连接OA，OB，则∠AOB＝120°，若AB＝3，则⊙O的面积＝3π；（2）判断△DEF的形状，并进行证明；（3）已知⊙O的半径为r，如图2，取AC延长线上一点G，连接BG，且BC平分∠GBF．①求AF•BG；（结果用r表示）②1CD−1【考点】圆的综合题．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）120；3π；（2）△DE