2020-2021学年北京市石景山区高二下期末数学试卷

北京市石景山区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|−2<x≤1}A.

{x|−1⩽x⩽2}

B.

{x|−2<x⩽2}

C.

{x|−2<x⩽1}

D.

{x|−2≤x≤2}2.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（

）A.

y=x+1

B.

y=(x−1)2

C.

y=2−x

3.设{aA.

a1,a3,a9成等比数列

B.

a2,4.袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率（

）A.

15

B.

310

C.

35

D.

15.已知a=log2e，b=ln2，c=log1A.

a>b>c

B.

b>a>c

C.

c>b>a

D.

c>a>b6.若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（

）A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件7.设函数f(x)=2A.

x=12时f(x)取到极大值

B.

x=12时f(x)取到极小值

C.

x=2时f(x)取到极大值

D.

x=28.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（

）A.

81125

B.

54125

C.

36125

D.

279.已知函数f(x)=ex−a|x|A.

(−∞,0)

B.

(0,1)

C.

(0,e)

D.

(e,+∞)10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。甲：我的成绩比乙高。乙：丙的成绩比我和甲的都高。丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（

）A.

甲、乙、丙

B.

乙、甲、丙

C.

丙、乙、甲

D.

甲、丙、乙二、填空题（共5题；共20分）11.函数f(x)=xex的导函数12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的数学期望是________元．13.已知f(x)=−x14.若数列{an}满足：a1=−15.已知集合A0={x|0<x<1}.给定一个函数y=f(x)，定义集合An={y|y=f(x),x∈An−1}，若An∩An−1=∅对任意的三、解答题（共5题；共40分）16.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a（1）求{a（2）设bn=log17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.18.已知函数f(x)=2x（1）讨论f(x)的单调性；（2）当0<a<3时，求f(x)在区间[0,1]上的最大值及最小值.19.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E(X).20.已知函数f(x)=xlnx+kx，（1）求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若不等式f(x)≤x2+x

答案解析部分一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|−2<x≤1}A.

{x|−1⩽x⩽2}

B.

{x|−2<x⩽2}

C.

{x|−2<x⩽1}

D.

{x|−2≤x≤2}【答案】B【考点】并集及其运算【解析】【解答】A={x|−1≤x≤2},B={x|−2<x≤1}，A∪B={x|−2<x≤2}.故选:B.【分析】化简集合A，按照并集定义，即可求解.2.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（

）A.

y=x+1

B.

y=(x−1)2

C.

y=2−x

【答案】A【考点】函数单调性的判断与证明【解析】【解答】对于A：y=x+1的定义域为[−1,+∞)，y=x+1是由y=t和t=x+1复合而成，y=t和t=x+1都是增函数，所以对于B：y=(x−1)2对称轴为x=1，开口向上，所以y=(x−1)2在对于C：y=2−x=对于D：y=log12故答案为：A.

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性。即可得出答案。3.设{aA.

a1,a3,a9成等比数列

B.

a2,【答案】D【考点】等比数列【解析】【解答】A项中a3=a1⋅q2,a1⋅a9=a12⋅q8,故答案为：D.

【分析】根据题意，由等比数列的性质，逐项进行分析，即可得出答案。4.袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率（

）A.

15

B.

310

C.

35

D.

1【答案】C【考点】等可能事件的概率【解析】【解答】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，∴根据等可能事件的概率得到P=35故答案为：C．

【分析】根据题意由等可能事件的定义结合概率公式即可求出答案。5.已知a=log2e，b=ln2，c=log1A.

a>b>c

B.

b>a>c

C.

c>b>a

D.

c>a>b【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】【解答】解：a=则a，b，c的大小关系为：c>a>b

故答案为：D【分析】先判断出b比1小，再将比1都大的a,c化为同底，由对函数的单调性，可比较a,c的大小.6.若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（

）A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足+d=b+c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选：B．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行判断即可．7.设函数f(x)=2A.

x=12时f(x)取到极大值

B.

x=12时f(x)取到极小值

C.

x=2时f(x)取到极大值

D.

x=2【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：f'所以当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，故函数f(x)在(0,2)上递减，在(2,+∞)递增，所以x=2时f(x)取到极小值.故答案为：D.

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可.8.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（

）A.

81125

B.

54125

C.

36125

D.

27【答案】A【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【解析】【解答】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：C3故答案为：A.

【分析】由题意知本题符合独立重复试验的条件,是一个独立重复试验，经过3次射击，至少有2次击中目标包含两次击中目标和三次击中目标，代入公式得到结果.9.已知函数f(x)=ex−a|x|A.

(−∞,0)

B.

(0,1)

C.

(0,e)

D.

(e,+∞)【答案】D【考点】函数的图象，函数的零点【解析】【解答】显然a≤0不满足三个零点，所以a>0，f(x)={ex+ax,x≤0ex−ax,x>0，当x≤0时，ex=−ax（a>0）两图像必有一交点，所以必有一零点在(−∞,0)．当x>0时，f(x)=ex−ax,故答案为：D.

【分析】根据零点判定定理，再观察两图像交点个数，从而可求得答案。10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。甲：我的成绩比乙高。乙：丙的成绩比我和甲的都高。丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（

）A.

甲、乙、丙

B.

乙、甲、丙

C.

丙、乙、甲

D.

甲、丙、乙【答案】A【考点】进行简单的演绎推理【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下:

甲：甲>乙.

乙：丙>乙且丙>甲.

丙；丙>乙.

∵只有一个人预测正确,

∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.

如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。

如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确，

则有丙>乙，乙>甲,

∵乙预测不正确,而丙>乙正确,

∴只有丙>甲不正确，

∵甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.不符合题意.

.只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,

甲>乙，乙>丙.

故答案为：A【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.二、填空题（共5题；共20分）11.函数f(x)=xex的导函数【答案】(x+1)⋅【考点】导数的运算【解析】【解答】∵f(x)=xe∴f'故答案为：(x+1)⋅e

【分析】根据函数的导数运算公式，即可得到答案。12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的数学期望是________元．【答案】4760【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：∵由题意知本题投资成功的概率是192200，投资失败的概率是8投资成功的收益是50000×12%，投资失败的损失是50000×0.5该公司一年后估计可获收益的期望是50000×12%×192200-50000×50%×8故答案为4760

【分析】由题意可以做出本题投资成功的概率，投资失败的概率，也可以做出投资成功的收益是

50000X

12%，和投资失败的损失是50000X0.5，利用期望公式，得到可获益的期望.13.已知f(x)=−x【答案】(−∞,0]【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由题意知f'(x)=−3x可得a≤3x2对于令y=3x2，只需要因为当x=0时，y=3x2最小为所以a≤0，所以实数a的取值范围是(−∞,0]，故答案为：(−∞,0].

【分析】由题意可得f'(x)=−3x2+a≤0对于x∈R14.若数列{an}满足：a1=−【答案】5【考点】数列递推式【解析】【解答】由an⋅a所以a2a3a4所以{a所以a2021故答案为：5

【分析】由递推公式分别求出数列的前四项，由此推导出{an}是周期为3的周期数列，由此能求出a2021.15.已知集合A0={x|0<x<1}.给定一个函数y=f(x)，定义集合An={y|y=f(x),x∈An−1}，若An∩An−1=∅对任意的【答案】①②【考点】归纳推理【解析】【解答】对于①，A0={x|0<x<1}，A1={x|x>1}，对于②，A0={x|0<x<1}，A1={x|1<x<2}，A2={x|2<x<5}，对于③，A0={x|0<x<1}，A1={x|2<x<3}，A2所以具有性质“∅”的函数序号是①②.故答案为：①②

【分析】分别运用反比例函数，二次函数，余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可得出答案。三、解答题（共5题；共40分）16.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a（1）求{a（2）设bn=log【答案】（1）解：设{a2q2=4q+16解得q=−2（舍去）或q=4.因此{an}

（2）由（1）得bn=(2n−1)log22=2n−1，因此数列【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列{b17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.【答案】（1）解：从这8名运动员中随机选择4人参加比赛，共有C84=70种，其中事件A所以P(A)=12

（2）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，P(X=1)=C51P(X=3)=C53所以随机变量X的分布列为:：X1234P1331【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列【解析】【分析】(1)根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。

(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列即可。18.已知函数f(x)=2x（1）讨论f(x)的单调性；（2）当0<a<3时，求f(x)在区间[0,1]上的最大值及最小值.【答案】（1）f'令f'(x)=0，得x=0或若a>0，则当x∈(−∞,0)∪(a3,+∞)时，f'(x)>0故f(x)在(−∞,0)，(a3,+∞)若a=0，f(x)在(−∞,+∞)单调递增；若a<0，则当x∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，ff'(x)<0.故f(x)在(−∞,a3)

（2）当0<a<3时，由（Ⅰ）知，f(x)在(0,a3)所以f(x)在[0,1]的最小值为f(a最大值为f(0)=2或f(1)=4−a.不妨设最小值为m，最大值为M，则m=−a327【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）求导，令

f'(x)=0

，得

x=0

或

x=a3

，分a>0

，

a=0，a<0讨论函数的单调性；

（2）当

0<a<3

时，由（Ⅰ）知，

f(x)

在

(0,a3)

单调递减，在

(a3,1)

单调递增，求得

f(x)

在

[0,1]

的最小值为

f(a319.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和