2020-2021学年北京市西城区北京市第高二下4月月考数学试卷

北京市第XX中学2020-2021学年度高二4月月考数学试卷总分：150分答题时间：90分钟一、选择题（共8小题；共40分）1.已知全集U=R，集合A=xx A.−∞,0∪1,+∞ C.0,1 D.0,12.已知复数，则复数z的虚部是   A.25 B.25i C.−3.若PA=34，P A.23 B.38 C.134.已知等比数列an满足a1=−1，a4 A.32 B.−32 C.64 D.−645.在等差数列an中，若a4+a A.6 B.10 C.7 D.56.等差数列an的首项为1，公差不为0，若a1，a2，a4成等比数列，则a A.10 B.15 C.21 D.287.直线y=kx+3被圆x−22+y−32=4截得的弦长为 A.±33 B.±3 C.38.如图，点E是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DD1的中点，点 A.在点F的运动过程中，存在EF B.在点M的运动过程中，不存在B C.四面体EMAC的体积为定值 D.四面体FA二、填空题（共6小题；共30分）9.已知平行四边形ABCD的顶点A−1,−2，B3,−1，C5,6，则顶点D10.在x−1x611.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

．12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一个焦点是抛物线13.已知数列an的前n项和Sn=n214.已知数列ann∈N∗中，a1=1，三、解答题（共6小题；共80分）15.设

an

是等差数列，a1=−10，且

a2+10

（1）.求

an

（2）.记

an

的前

n

项和为

Sn，求

（3）.记{|an|}的前

n

项和为Tn

，求Tn

的表达式。16.已知等差数列an满足a1+（1）求an（2）设等比数列bn满足b2=a3，b17.已知F1，F2是椭圆（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆C的左顶点A作斜率为1的直线l，l与椭圆的另一个交点为B，求△F18.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．19.一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1、2、3、4、5的5个红球与编号分别为1、2、3、4的4个白球，从中任意取出3个球．（1）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（2）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（3）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为A （1）求证：AC⊥平面（2）求二面角B−CD−C（3）证明：直线FG与平面BCD相交．答案第一部分1.D 2.C 【解析】z=1−所以z的虚部为−23.B 【解析】由条件概率公式得PA∩B4.D 【解析】因为an所以a1a7所以a7故选D．5.B 【解析】由题可知：a4又a2+a6.B 【解析】在等差数列an中，记公差为d因为a1=1，且a1，a所以有a1即1⋅1+3d解得d=1或d=0（舍），所以an所以S57.A 8.C 【解析】A选项：易知直线BC1与平面AEC相交，点F在线段AC上运动，且AC在平面所以EF⊂平面所以BC1与直线B选项：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，设正方体ABCD−A1B则A2,0,0，E0,0,1，B12,2,2，D设BM=λ则BM=λ所以M2−2λ,2−2λ,2λ则B1又AE=−2,0,1，且所以AE⋅即4λ+2λ−2=0，解得λ=1故在BD1上存在点M，当M是BD1靠近C选项：因为BD1∥平面AEC所以点M到平面AEC的距离为定值，又△AEC的面积为定值，所以四面体EMAC的体积为定值，故C正确；D选项：因为AC∥A1所以AC∥平面A1C所以点F到平面A1又△A所以四面体FA第二部分9.1,5【解析】设Dx,y，则由AB=DC即4=5−x,1=6−y,解得10.−2011.0.648【解析】该同学通过测试的概率P=C12.x13.3【解析】因为S3=9−6+1=4，所以a314.1【解析】因为an+1所以1a所以1a故1an是以1为首项，所以1a所以an=1第三部分15•(1)因为

an

是等差数列，a1=−10，且

a2+10所以

a3所以

−2+2d2解得

d=2，所以当

an

(2)由

a1=−10，

Sn所以

n=5

或

n=6

时，Sn

取最小值

−30

(3)略16.（1）设公差为d，首项为a1则a1解得d=2,a所以an=a

（2）设等比数列的公比为q，首项为b1由（1）知，a3=8，则b2解得q=2,b所以bn=ban=128时，2n+2=128，得所以b6与an的第17.（1）因为椭圆方程为x2所以焦点坐标分别为F1−2离心率e=c

（2）椭圆C的左顶点为A−2,0，直线l的方程为y=x+2由y=x+2,x消去y，整理可得：3x解这个方程得x1=−2，所以点B坐标为−2所以S△18.（1）依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，设事件B表示“第二次取出的是白球”．黑球有3个，球的总数为5个，所以PA

（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为PAB

（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为PB∣A19.（1）设"取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数"为事件A，则P因此，取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584

（2）设"取出的3个球中恰有两个球编号相同"为事件B，则P因此，取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13

（3）X的取值为2，3，4，5，则P从而X的分布列为X因此，X的数学期望为EX=2×20.（1）由题意可知：因为CC1⊥面ABC，E，F所以EF∥所以EF⊥面因为AC⊂面所以EF⊥AC，又因为AB=BC，E为中点．所以BE⊥AC，BE∩EF=E，所以AC⊥面

（2）由题意可知，以E为坐标原点，分别以EA，EB，EF为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系．E0,0,0，A1,0,0，C−1,0,0，B0,2,0，A1,0,2，C易知BE⊥面所以设面CC1D设面