2020-2021学年广东省河源市高三下3月第一次联考数学试卷

2020-2021学年广东省河源市高三（下）3月第一次联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，共24.0分）已知集合A={x|−2⩽x⩽4,x∈Z},B=y|y=2x,x∈AA.{0,2,4} B.{−2,0,2,4} C.{−2,2,4} D.{2,4}已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=i，则复数z所对应的点在(    )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法(    )A.6 B.12 C.18 D.24《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法错误的是(    )A.“羡除”有且仅有两个面为三角形

B.“羡除”一定不是台体

C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”

D.“羡除”至多有两个面为梯形2020年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有A、B两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为13，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为(    )A.19 B.13 C.59下列函数中，其图象与函数y=ln(x+1)的图象关于直线x=1对称的是(    )A.y=ln(1−x) B.y=ln(3−x) C.已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点，则AP⋅AB的取值范围是(    )A.[2,6] B.[2,4] C.(2,4) D.(0,4)已知函数f(x)=ex−e−xA.[−1,2] B.[−2,1]

C.(−∞,−1]∪[2,+∞) D.(−∞,−2]∪[1,+∞)二、多项选择题（本大题共4小题，共12.0分）已知双曲线的方程为x216−A.焦点为(±7,0) B.渐近线方程为3x±4y=0

C.离心率e=54函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的部分图象如图所示，则A.ω=π2 B.A=6 C.φ=−π已知函数f(x)=2x−1,0≤x<1f(x−1)+1,x≥1，方程f(x)−x=0在区间[0,2A.f(2020)=2019 B.f(2020)=2020

C.bn=2若0<a<1，则(

)A.loga1−a<loga1+a B.log三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）已知直线4x−y=b被圆x2+y2−2x−2y+1=0截得的弦长为2，则b将数列{3n+1}中的项数为奇数的项按照从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边绕原点逆时针旋转π4后与单位圆x2+y2=1交于点p(4三棱锥P−ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA=PB，则△PAB面积的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btan A，且B为钝角．

(1)证明：B−A=π

(2)求sin A+sin C的取值范围．

在等比数列{an}中，a3−a2=6，且a1，a2+1，a3−2成等差数列．

(Ⅰ)Sn为{an}的前n项和，证明2Sn在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．

(1)证明：PA⊥平面ABCD；

(2)若PA=2，求二面角A−PD−B的余弦值．

某篮球职业联赛分为常规赛和季后赛两个阶段.常规赛采用循环赛，分主场比赛和客场比赛两种，积分高的球队进入季后赛；季后赛采用五局三胜制进行淘汰赛，最终决出总冠军.(“5局3胜”制是指先胜3局者获得比赛胜利，比赛结束).如表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表．季度比赛次数主场次数获胜次数主场获胜次数1季度231316112季度27112183季度30162313(Ⅰ)根据表中信息，能否在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“胜负”之间有关？

(Ⅱ)已知甲队和乙队在季后赛首轮比赛中相遇，假设每局比赛结果相互独立，以甲队常规赛80场比赛获胜的频率估计甲队在季后赛每局比赛获胜的概率，记X为本轮比赛结束时甲队和乙队所进行的比赛的局数，求X的分布列及甲队获得这轮比赛胜利的概率．附：K2=P(0.1000.0500.025k2.7063.8415.024已知函数f(x)=ax−ln(x+1)，a∈R．

( I)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(

0，f

(0))处的切线方程；

( II)求函数f(x)在区间[0,e−1]上的最小值．已知椭圆C：x2a2+y2(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点P作两直线l1与l2分别交椭圆C于A，B两点，若直线l1与l22020-2021学年广东省河源市高三（下）3月第一次联考数学试卷答案和解析【答案】B解：因为A={x|−2⩽x⩽4,x∈Z}=−2,−1,0,1,2,3,4,

所以B={−4,−2,0，2，4，6，8}，

所以A∩B=−2,0,2,4．故选B．

2.【答案】A【解析】解：∵z(1+i)=i，∴z(1+i)(1−i)=i(1−i)，∴z=12+12i，

则复数z所对应的点(12,12)在第一象限．

3.【答案】C【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、从物理，化学，生物三科中选2科，从政治，历史，地理三科中选1科，

则有C32⋅C31=9种选法；

②、从物理，化学，生物三科中选1科，从政治，历史，地理三科中选2科，

则有C32⋅C31=9种选法；

则一共有9+9=18种选考方法；

4.【答案】D【解析】解：由题意知：AE//BF//CD，四边形ACDE为梯形，

如图所示：

对于A：由题意知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；

对于B：由于AE//BF//CD，所以：“羡除”一定不是台体，故B正确；

对于C：假设四边形ABEF和四边形BCDF为平行四边形，则AE//BF//CD，且AE=BF=CD，

则四边形ACDE为平行四边形，与已知的四边形ACDE为梯形矛盾，故不存在，故C正确；

对于D：若AE≠BF≠CD，则“羡除”三个面为梯形，故D错误．

5.【答案】C

【解析】解：现有A、B两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为13，

至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的对立事件是两家机构都研究不出这种“新冠”疫苗，∴至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为：

P=1−(1−13)(1−13)=59．故选：C．

6.【答案】B【解析】解：根据题意，设y=g(x)的图象与函数y=ln(x+1)的图象关于直线x=1对称，则有g(x)=f(2−x)，即g(x)=ln[(2−x)+1]=ln(3−x)，

7.【答案】B【解析】解：由题意，如图：P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点，过P作PD⊥AB于D，|AD|∈[1,2]

则AP⋅AB=|AP||AB|cos∠PAB=|AB||AD|∈[2,4]．故选：8.【答案】A【解析】解：f(x)=ex−e−x−2x的定义域为R，∵f(−x)=e−x−ex+2x=−(ex−e−x−2x)=−f(x)，

∴f(x)为R上的奇函数，

又f'(x)=所以Asin(17π4+φ)=0，即Asin(π4+φ)=0，

则，k∈Z，即，k∈Z①，故C错误；

又f(5)=3，即，所以Acosφ=3②，

由①②可得A=6，故B正确；所以f(x)=6sin(π2x−π4)，

故f(0)=6sin(−π4)=−3，故D正确；

11.【答案】BC解：f(2020)=f(2019)+1=f(2018)+2=…=f(0)+2020=20−1+2020=2020；

函数f(x)的图象如图：

，

由图象可知方程f(x)−x=0在区间[0,2n](n∈N∗)上的所有根为：1，2，3，…2n，

∴bn=1+2+3+…+2n=(1+2n)×2n2=22n−1+2n−1，

12.【答案】BD解：∵0<a<1，∴1<1+a，

∴loga1+a<loga1=0，

∵0<a<1，∴1−a>0，∴a1−a<a0=1，故B，D正确，

∵0<a<1，∴1−a<1+a，∴loga1−a>loga(1+a)，

∵0<a<1，∴0<1−a<1，∴1−a13>(1−a)12，所以A，C错误．故选BD．

13.【答案】3解：圆的方程x2+y2−2x−2y+1=0可化为x−12+y−12=1，

由直线被圆截得的弦长为2和圆的半径为1可知，

直线4x−y=b过圆心(1,1)，则∴B=π2+A，∴B−A=π2；

(2)由(Ⅰ)知C=π−(A+B)=π−(A+π2+A)=π2−2A>0，

∴A∈(0,π4)，∴sinA+sinC=sinA+sin(π2−2A)

=sinA+cos2A=sinA+1−2sin2A

=−2(sinA−14)2+98,

∵A∈(0,π4)，∴0<sinA<22，

∴由二次函数可知22<−2(sinA−14)2+98≤98，

∴sinA+sinC的取值范围为(22,98].

18.【答案】(Ⅰ)证明：因为a1，a2+1，a3−2成等差数列，所以a1+a3−2=2a2+2，

设等比数列{an}的公比为q，

则a1q2−a1q=6a1+a1q2−2=2a1q+2解得a1=1，q=3，

即{an}为首项为1，公比为3的等比数列，所以an=3n−1，

因为Sn=a1(1−qn)1−q=1−3n1−3=3n−12，

所以2Sn=3n−1=3an−1；

(Ⅱ)解：Tn=a1a2a3…an=30×31×32×…×3n−1=30+1+2+…+(n−1)=3n(n−1)2，甲队胜甲队负合计主场32840客场281240合计602080k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=80(32×12−28×8)260×20×40×40=1615≈1.067<2.706

所以不能在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“比赛胜负”之间有关．

(2)依题意得甲队每局比赛获胜的概率估计值为6080=34

XX345P74527“甲队获得这轮比赛胜利”的概率为：

P=(34)3+C32(34)3(14)+C42(34)3(14)2=459512．

21.【答案】解：( I)f

(x)的定义域为(−1,+∞)，

因为f'(x)=a−1x+1，a=2，

所以f'(0)=2−1=1，f(0)=0．

所以

函数f

(x)在点(0,f(0))处的切线方程是

y=x．

(II)由题意可得：f'(x)=a−1x+1，

(1)当a≤0时，f'(x)<0，

所以f(x)在(−1,+∞)上为减函数，

所以在区间[0,e−1]上，f(x)min=f(e−1)=a(e−1)−1．

(2)当a>0时，令f'(x)