2020-2021学年广东省深圳市南山区高一下期末数学试卷

2020-2021学年广东省深圳市南山区XX中学高一（下）期末数学调研试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1.设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则（）A.{2} B.{4，5} C.{3，4} D.{2，3}2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.3 B. C.6 D.4.下列区间中，函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.5.古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A.立方丈 B.立方丈 C.立方丈 D.立方丈6.已知二次函数在区间(2，3)内是单调函数，则实数的取值范围是（）A.或 B. C.或 D.7.如图所示，在平面四边形中，，，，，现将沿边折起，并连接，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b＝2ccosB，若CD是角C的平分线，AD＝，DB＝，求CD的长.（）A.3 B.2 C. D.二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角，满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.，，两两相互独立11.已知是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（）A. B. C.0 D.12.已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB.将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB中点.下列结论中正确的是（）A.BC⊥ADB.点E到平面AMC的距离为C.EM∥平面ACDD.四面体ABCE的外接球表面积为5π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数是偶函数，则______.14.平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，＝0.且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为___.15.已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若对任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是_________.16.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，点D，E分别是PB，BC的中点，PA＝3，PD＝DE＝2，PE＝2，AE＝，则球O的表面积为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数（是虚数单位）．（I）求复数z的模长；（Ⅱ）若．求的值．18.如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．19.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为9组：，，…，，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示）（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.20.在①函数的图象关于原点对称；②函数的图象关于直线对称；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知函数，的图象相邻两条对称轴的距离为，（1）求函数的解析式；（2）求函数在上取值范围.21.如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，，点在上，点在上，，为的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与直线所成角余弦值；（3）求二面角的正切值.22.已知函数.（1）求函数定义域；（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）设，是否存在正实数，使得函数在内最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2020-2021学年广东省深圳市南山区XX中学高一（下）期末数学调研试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1.设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则（）A.{2} B.{4，5} C.{3，4} D.{2，3}【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到或，再求即可.【详解】，所以或.所以故选：B.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到，再求即可.【详解】因为，所以.故选：C.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.3 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由底面半径为r＝，侧面展开图为一个半圆，所以2πr＝πl，所以该圆锥的母线长为l＝2r＝2.故选：B.4.下列区间中，函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】对于函数，令，求得，可得函数的单调递增的区间是故排除A、B、C，由于是的一个子集，故函数在上单调递增，故选：D.5.古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A.立方丈 B.立方丈 C.立方丈 D.立方丈【答案】B【解析】【分析】先利用上下底面圆的周长分别求得圆的半径，再利用圆台体积公式计算即可.【详解】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），所以它的体积为所以(立方丈).故选：B.【点睛】本题考查了圆台的体积公式，属于基础题.6.已知二次函数在区间(2，3)内是单调函数，则实数的取值范围是（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根据开口方向和对称轴及二次函数f（x）=x2-2ax+1的单调区间求参数的取值范围即可.【详解】根据题意二次函数f（x）=x2-2ax+1开口向上，单调递增区间为，单调减区间，因此当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调增函数时a≤2，当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调减函数时a≥3，综上可得a≤2或a≥3.故选：A.7.如图所示，在平面四边形中，，，，，现将沿边折起，并连接，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用条件判断平面ACD平面ABC时体积最大，再计算知空间中AB对角，即判断AB为外接球的直径，计算表面积即可.【详解】因为的面积不变，要使体积最大，需D到平面ABC的距离最大，即当平面ACD平面ABC时，体积最大，因为等腰直角三角形，取AC中点E,则DE平面ABC，高为DE=最大，AC=，则Rt中，BC=2，AB=4，所以EB=，故Rt中BD=，所以中，即得空间中即AB为球直径，故半径，所以外接球的表面积.故选：D.【点睛】本题考查了空间几何体外接球的表面积问题，属于中档题.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b＝2ccosB，若CD是角C的平分线，AD＝，DB＝，求CD的长.（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，边角统一可求出，从而得到；再根据题中角平分线条件，先得到，推出，结合余弦定理，求出，再由，根据三角形面积公式，即可求出结果.【详解】由，根据正弦定理可得，则，所以，整理得，因为均为三角形内角，所以，因此，所以；因为CD是角C的平分线，，，所以在和中，由正弦定理可得，，，因此，即，所以，又由余弦定理可得，即，解得，所以，又，即，即，所以.故选：B.二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角，满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由诱导公式判断．【详解】因为，所以，，，，．BC错，AD正确．故选：AD．10.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.，，两两相互独立【答案】BC【解析】【分析】根据各事件的交补集中的事件数，应用古典概型求概率的方法求、、、，由两两相互独立事件的概率性质判断A、B、C是否相互独立.【详解】由题意，，，，∴，同理，，由，则，故A错误；由，则，故B正确；由，则，而，故C正确；因为，，，所以事件，，不两两相互独立，故D错误.故选：BC.【点睛】易错点睛：对于两个事件，，可将对应的积事件看成一个事件，利用古典概型的概率公式计算，一般地，对于两个事件，，概率公式为，使用概率的计算公式，必须注意前提条件：对于两个事件，，有；当，为互斥事件时，有.若事件，，，有时，不一定有，，两两相互独立.11.已知是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（）A. B. C.0 D.【答案】AB【解析】【分析】设，然后分别将表示为的形式，再根据向量数量积的定义以及的取值范围求解出可取值.【详解】设，因，所以，又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故选：AB.【点睛】关键点点睛：图形中向量的数量积问题，通过找基底并将未知的待计算的向量表示为基底的形式去计算能很大程度上简化计算；本例中利用基底表示出，然后再进行计算.12.已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB.将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（）A.BC⊥ADB.点E到平面AMC的距离为C.EM∥平面ACDD.四面体ABCE的外接球表面积为5π【答案】BD【解析】【分析】对选项A，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，得到平面，与已知条件矛盾，故A错误；对选项B，设点到平面的距离为，根据求解即可；对选项C，假设平面，从而得到平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；对选项D，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球表面积即可。【详解】对选项A，在图1中，过作，如图所示：，因为，所以四边形是矩形，因为，所以.因为四边形是等腰梯形，，所以.因为，所以.连接，则，因为，所以，得，则.在图2中，因为，，，所以平面.因为平面，所以.因为，所以平面.若，又，，所以平面，过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误；由，，得，又，所以，而，因为到平面的距离等于到平面的距离，设点到平面的距离为，由，得，即h＝，故B正确；假设平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；对选项D，连接，如图所示：因为，为直角三角形，且为的中点，所以，即为四面体的外接球的球心，所以四面体的外接球的半径为，则四面体的外接球表面积为，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：114.平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，＝0.且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为___.【答案】7【解析】【分析】根据题意建立坐标系，求出各点的坐标，再结合的几何意义，求出对应点轨迹，利用圆的几何性质，即可求解结论．【详解】平面内非零向量，，，有，，．故可建立如图所示的坐标系，则，，设，因为，，对应点在以为圆心，2为半径的圆上的点，因为，故的最大值为：，故答案为：7．15.已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若对任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是_________.【答案】（﹣∞，3]【解析】【分析】由题意可得，由一次函数、指数函数的单调性求得最值，解不等式可得所求范围．【详解】若对任意，，存在，，使，可得，由在，递增，可得的最小值为（1），在，上递减，在，递增，可得的最小值为，所以，解得．即的取值范围是，．故答案为：，．16.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，点D，E分别是PB，BC的中点，PA＝3，PD＝DE＝2，PE＝2，AE＝，则球O的表面积为______.【答案】【解析】【分析】首先根据题中给出的的长度，可知PA⊥PB，PA⊥PE，继而PA⊥平面PBC；再根据数量关系证明PB⊥PC，进而可构造出包含三棱锥的长方体，求出体对角线即为外接球的直径，从而求得外接球表面积.【详解】解：由PA＝3，PD＝2，PE＝2，AD＝，AE＝，得PA2+PD2＝AD2，PA2+PE2＝AE2，可得PA⊥PB，PA⊥PE，又PB∩PE＝P，∴PA⊥平面PBC，∵D，E分别是PB，BC的中点，且PD＝DE＝2，∴PC＝4，PB＝4，又PE＝，∴BC＝2BE＝4，有PB2+PC2＝BC2，得PB⊥PC，将三棱锥放在长方体中，外接球的直径等于长方体的对角线，设外接球的半径为R，则（2R）2＝32+42+42＝41，∴外接球的表面积S＝4πR2＝41π.故答案为：41π.【点睛】本题主要考查球的表面积计算公式，三棱锥外接球半径的求解等知识点；考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题型.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数（是虚数单位）．（I）求复数z的模长；（Ⅱ）若．求的值．【答案】（I）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）首先根据复数代数形式的除法化简，再求复数的模即可；（Ⅱ）根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件计算可得；【详解】解：（I），所以（Ⅱ）因为，即，所以，所以解得18.如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.19.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为9组：，，…，，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示）（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，求出对应的频率，进而可得用户数量；（2）根据题意，分别求出和对应的用电量，进而可得出结果；（3）先由题意，得到样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，根据列举法得出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01.因此，样本落在的频率为样本中用电量在的用户数为.（2）因为，，为了使的居民缴费在第一档，只需对应的用电量位于内，于是，又，所以对应的用电量为280.所以第二档的范围可确定为.（3）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，则从6户中任取2户的样本空间为：，共有15个样本点.设事件“走访对象来自不同分组”，则，所以，从而.【点睛】本题主要考查频率分布直方图简单应用，考查求古典概型的概率，属于常考题型.20.在①函数的图象关于原点对称；②函数的图象关于直线对称；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知函数，的图象相邻两条对称轴的距离为，（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据对称性和周期公式求，选择①，化简，根据对称性利用整理代入法求参数即可；条件②，直接根据对称性，利用整理代入法求参数即可；（2）先利用辅助角公式，化简函数，再由，得到，即得取值范围.【详解】解：函数的图象相邻两条对称轴的距离为，，即，，.(1)若补充条件①，函数的图象关于原点对称.即，，时，，函数的解析式为；若补充条件②，函数的图象关于直线对称，，，，，时，，函数的解析式为；(2)由(1)得，，，，，函数在上的取值范围是.21.如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，，点在上，点在上，，为的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）求二面角