2020-2021学年广东省珠海市香洲区珠海高三上月考数学试卷

珠海市第XX中学2021届高三年级第二周晚修测试题（2020.9.9）一．选择题（共8小题）1．已知集合A={x|x+1x−1≤0}，B={−2，−1，0，1，2}，则A．{﹣2，2} B．{﹣2，﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0}2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1 C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞13．命题“方程x2﹣4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或” C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”4．已知命题p：∀x∈N，x3＞x2，则命题￢p为（）A．∀x∉N，x3＜x2 B．∃x0∈N，x0C．∀x∈N，x3≤x2 D．∃x0∈N，x5．“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（）x1234y4321A． B． C．y＝x2 D．（x+y）（x﹣y）＝07．已知f(x)=x2−2xA．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2 C．f(x)=x−2x8．下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A．f(x)=logB．f（x）＝|x|﹣2cosxC．f(x)=xD．f（x）＝10|lgx|二．多选题（共4小题）9．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅10．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（）A．若z为纯虚数，则实数a的值为2 B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(−C．实数a=−12是z=z（zD．若z+|z|＝x+5i（x∈R），则实数a的值为211．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2﹣x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则（）A．（1，0）是函数f（x）的一个对称中心 B．函数f（x）的一个周期是4 C．f（3）＝﹣1 D．f（2）＝012．已知在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（）A．三棱锥P﹣ABC的体积为10cm3 B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为34C．球O的表面积为50πcm2 D．OD⊥PA三．填空题（共4小题）13．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P（3，﹣4），则sinα＝．14．已知平面向量a→与b→的夹角为π3，a→15．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，其中A，B相邻，且C，D在A，B的两侧，则不同的排法共有种．（用数字作答）16．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝135°，cosA=17，则BC＝四．解答题（共6小题）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（sinC+cosC）．（1）求A；（2）在①a=2，②B=π3，③c=2b18．在等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若an＞0，记bn＝anlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC=2，AB＝22，AB∥DC，∠BCD（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．20．某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：（Ⅱ）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，求X的分布列：（Ⅲ）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）（注：s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]，其中x为数据21．已知Q为圆E：x2+（y+1）2＝16上一动点，F（0，1），QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知直线l为曲线C上一点A（x0，﹣1）处的切线，l与直线y＝4交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．22．已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx．（1）若a＝5，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合A={x|x+1x−1≤0}，B={−2，−1，0，1，2}，则A．{﹣2，2} B．{﹣2，﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0}【解答】解：∵集合A={x|∴A＝{x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：D．2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1 C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1【解答】解：命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1”．故选：D．3．命题“方程x2﹣4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或” C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”【解答】解：x＝±2是指x＝2或x＝﹣2．∴使用了使用了逻辑联结词“或”，故选：B．4．已知命题p：∀x∈N，x3＞x2，则命题￢p为（）A．∀x∉N，x3＜x2 B．∃x0∈N，x0C．∀x∈N，x3≤x2 D．∃x0∈N，x【解答】解：∵命题p：∀x∈N，x3＞x2，∴￢p：∃x0∈N，x0故选：D．5．“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：由sinx＝0，得x＝kπ，k∈Z，则cosx＝±1；反之，由cosx＝﹣1，可得x＝（2k+1）π，k∈Z，则sinx＝0．∴“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的必要不充分条件．故选：B．6．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（）A． x1234y4321B． C．y＝x2 D．（x+y）（x﹣y）＝0【解答】解：根据函数的定义，每个x都有唯一的y对应，从而判断选项A，B，C都表示y是x的函数；∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2＝0，∴y2＝x2，∴任一x都有两个y与之对应，（x+y）（x﹣y）＝0不能表示“y是x的函数”．故选：D．7．已知f(x)=x2−2xA．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2 C．f(x)=x−2x【解答】解：f(x∴f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）．故选：A．8．下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A．f(x)=loB．f（x）＝|x|﹣2cosx C．f(x)=xD．f（x）＝10|lgx|【解答】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（﹣x）＝log2（4﹣x+1）+x＝log24x＝log2（4x+1）﹣log222x+x＝log2（4x+1）﹣x＝f（x）．f（x）＝log2（4x+1）﹣x＝log2(2x)2+12∵当x≥0时，函数y＝2x+12x单调递增，∴f（xB：x＞0时，f（x）＝x﹣2cosx，令f′（x）＝1﹣2sinx＞0，得x∈（0，2kπ+π6）∪（2kπ+5π6，2kπ+2π）（k∈NC：x≠0时，x2+1x2≥2，当且仅当x2∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．二．多选题（共4小题）9．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅【解答】解：∵A⫋B，∴A∩B＝A，A∪B＝B，（∁UA）∩B＝≠∅，A∩（∁UB）＝∅，故选：BD．10．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（）A．若z为纯虚数，则实数a的值为2 B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(−C．实数a=−12是z=z（zD．若z+|z|＝x+5i（x∈R），则实数a的值为2【解答】解：复数z＝（a+i）（1+2i）＝（a﹣2）+（2a+1）i；对于A：当a＝2时，z为纯虚数，故A正确；对于B：z在复平面内对应的点在第三象限，可得a−2＜02a+1＜0，解得a＜对于C：共轭复数Z，需满足2a+1＝﹣2a﹣1，可得a=−12对于D：由z+|z|＝x+5i，即2a+1＝5，可得a＝2，故D正确；故选：ACD．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2﹣x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则（）A．（1，0）是函数f（x）的一个对称中心 B．函数f（x）的一个周期是4 C．f（3）＝﹣1 D．f（2）＝0【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，f（x）关于（0，0）对称，∵f（2﹣x）＝f（x），∴f（x）关于x＝1对称，f（x+4）＝f（x），且f（1）＝1，∴函数f（x）的周期为4，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1，f（2）＝f（0）＝0．故选：BCD．12．已知在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（）A．三棱锥P﹣ABC的体积为10cm3 B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为34C．球O的表面积为50πcm2 D．OD⊥PA【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，∴三棱锥P﹣ABC的体积为13AP•S△ABC=13×5×12∵AB⊥AP，AB⊥AC，AP∩AC＝A，∴AB⊥平面PAC，∴直线BC与平面PAC所成的角为∠ACB，∴tan∠ACB=ABAC=由AP，AB，AC两两垂直可知该三棱锥是球O内接长方体的一角，球的直径即为长方体的体对角线长，体对角线长为32+4∴外接球半径为522，所以球O的表面积为4π•(522)2∵点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，∴OD⊥平面ABC，因为AP⊥AB，AP⊥AC，AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC，∴OD∥PA，故D错误．故选：AC．三．填空题（共4小题）13．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P（3，﹣4），则sinα＝−45【解答】解：角α的终边为点P（3，﹣4），所以x＝3，y＝﹣4，r＝5，sinα=y故答案为：−414．已知平面向量a→与b→的夹角为π3，a→=(3【解答】解：∵a→=（3，﹣1），∴|∴a→•b→=|a→|•|b→|cos＜∴|2a→−b故答案为：13．15．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，其中A，B相邻，且C，D在A，B的两侧，则不同的排法共有80种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①A，B相邻，将AB看成一个整体，考虑其间的顺序，有2种情况，②将C，D安排在A，B的两侧，有2种情况，③四人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选一个，安排E，有4种情况，五人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选一个，安排E，有5种情况，则有2×2×4×5＝80种情况，故答案为：8016．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝135°，cosA=17，则BC＝43【解答】解：∵△ABD中，AB＝5，AD＝7，cosA=1∴由余弦定理可得BD=A∴cos∠ABD=A∵AB⊥BC，∠ABC=π∴sin∠CBD＝sin（π2−−∠ABD）＝cos∠ABD∵∠BCD＝135°，∴在△BDC中，由正弦定理BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，可得8sin135°∵在△BDC中，由余弦定理BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CD•cos∠BCD，可得：64＝BC2+32﹣2×BC×42×(−22)，整理可得：∴解得BC＝43−故答案为：43−四．解答题（共6小题）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（sinC+cosC）．（1）求A；（2）在①a=2，②B=π3，③c=2b【解答】解：（1）∵b＝a（sinC+cosC），由正弦定理asinA=bsinB=csinC得sinB又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC＝sinAsinC+sinAcosC，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵0＜A＜π，∴A=π（2）方案一：选条件①和②．由正弦定理asinA=bsinB由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得，6＝4+c2﹣2×2c×1解得c=3∴△ABC的面积S=12acsinB=12方案二：选条件①和③．由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得4＝b2+2b2﹣2b2，则b2＝4，所以b＝2．∴c＝22，∴a2+b2＝c2，△ABC为直角三角形，∴△ABC的面积S=1方案三：选条件②和③，A=π4，B则C＝π−π∴sinC＝sin（π4+由asinA=b∴b＝22×32=6∴c≠2b此时三角形不存在．18．在等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若an＞0，记bn＝anlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）设公比为q的等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．所以2a5＝2a3+3a4，整理得2整理得2q2﹣3q﹣2＝0，解得q＝2或−1①当q＝2时，an②当q=−12（2）由于an＞0，所以an故bn＝anlog2an+1＝n•2n﹣1，所以Tn=1×2Tn=1×①﹣②得：−T整理得：Tn19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC=2，AB＝22，AB∥DC，∠BCD（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD．（Ⅱ）由（I）得，PD，DC，BC两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，P(0，0，2)，A(2，−2PA→=(2，−2设平面PBC的法向量为n→=(x，y，z)，直线PA与平面PBC所成角为n→⋅PAsinθ=|cos＜PA∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为6320．某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：（Ⅱ）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，求X的分布列：（Ⅲ）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）（注：s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]，其中x为数据【解答】解：（Ⅰ）由折线图可知，样本中跳绳成绩大于或等于90分的学生即“跳绳小达人”有13人，所以该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数有1000×13（Ⅱ）由题可知，跳绳成绩在[60，70）的样本学生有2人，在[80，90）的样本学生有3人，X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，X取值为0，1，2．P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=C随机变量X的分布列如下：X012P33110（Ⅲ）甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值为79，84，90或79，85，90．21．已知Q为圆E：x2+（y+1）2＝16上一动点，F（0，1），QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知直线l为曲线C上一点A（x0，﹣1）处的切线，l与直线y＝4交于B点，问：以线段AB