2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区高二下2月月考数学试卷

江苏省XX中学2020至2021学年高二年级春学期2月月考测试数学学科试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知命题，则为（）A. B.C. D.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.4.2020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日时分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行．环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为，远月点与月球表面距离为．已知月球的直径约为，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A. B. C. D.5.已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（）A.1022 B.1023 C.2046 D.20476.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（）A. B. C. D.7.数列{}满足，则{}的前100项和为（）A.3690 B.5050 C.1845 D.18308.已知且，且，且，则（）A. B. C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个选项符合题意，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分）9.等差数列公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有()A. B. C. D.10.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A. B.C. D.11.函数y＝f（x）导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）A.﹣3是函数y＝f（x）的极值点B.﹣1是函数y＝f（x）的最小值点C.y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增D.y＝f（x）在x＝0处切线斜率小于零．12.已知，分别为双曲线的左右焦点，，分别为其实轴的左右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有（）A.离心率B.点的横坐标为定值C.若成立，则D.若垂直轴于点，则三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_________.14.从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________.15.Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝__________．16.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当______时，直线与平面所成角的正弦值为.四、解答题（本大题共6个小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.18.森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，习近平主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉万立方米的森林.设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量.（1）请写出一个递推公式，表示二间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）（可能用到的数据：，，）19.已知函数（），（1）若曲线在点处的切线为，求的值；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出值；若不存在，说明理由．21.已知椭圆的上顶点与左、右焦点构成的的面积为，又椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的下顶点为N，过点的直线分别与椭圆交于两点．若的面积是的面积的倍，求的最大值．22.已知函数.（1）求证：当时，；（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.江苏省姜堰中学2020至2021学年高二年级春学期2月月考测试数学学科试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据定义写出命题的否定，再判断．【详解】命题否定为：．故选：A．2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】双曲线方程为把右边的1改为0，然后化简方程即得．【详解】由化简得，故选：C．3.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，，D选项错误.故选：C.4.2020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日时分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行．环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为，远月点与月球表面距离为．已知月球的直径约为，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到，求得，结合离心率的公式，即可求解.【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意，可得，解得，所以该椭圆形轨道的离心率约为.故选：A.5.已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（）A.1022 B.1023 C.2046 D.2047【答案】D【解析】【分析】由求出的递推关系，再求出后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前项和公式求解．详解】当时，，∴，又，，∴是等比数列，公比为2，首项为1，所以，由得，即，∴所求和为．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前项和公式，解题思路是由得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．6.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用数量积的坐标运算检验各个选择之中的向量与平面的法向量的数量积是否为零，即可得出.【详解】∵平面，∴平面的一个法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为0.对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查垂直的平面的法向量的关系和向量的垂直的坐标表示，属基础题.一般地，两个平面垂直的充分必要条件是其法向量垂直，然后利用空间向量的垂直的坐标表示检验即可.7.数列{}满足，则{}的前100项和为（）A.3690 B.5050 C.1845 D.1830【答案】B【解析】【详解】由题设知=1，①=3②=5③=7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，，……∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{}的前100项和为

8.已知且，且，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设，对三个式子变形可得，，，求出的导数，分析其单调性，可得的大致图象，分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，且，变形可得，即，且，变形可得，即，且，变形可得，即，，其导数，在区间上，，则为减函数，在区间上，，则为增函数，其草图如图：则有，故选：．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个选项符合题意，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分）9.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.10.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据“时，若则点与点共面”，分别判断各选项是否为充分条件.【详解】当时，可知点与点共面，所以，所以，所以，不妨令，，，且此时，因为，，，，由上可知：BD满足要求.故选：BD.【点睛】本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3)对于空间中任意一点，证明.11.函数y＝f（x）导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）A.﹣3是函数y＝f（x）的极值点B.﹣1是函数y＝f（x）的最小值点C.y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增D.y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零．【答案】BD【解析】【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；故选：BD【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值点、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值点以及切线的斜率.12.已知，分别为双曲线的左右焦点，，分别为其实轴的左右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有（）A.离心率B.点的横坐标为定值C.若成立，则D.若垂直轴于点，则【答案】ABC【解析】【分析】A.由，消去，转化为关于的二次齐次式，左右同除，求解关于的一元二次方程即可.B.作出图像，结合内切圆的性质和双曲线的定义得到，从而算得，故有C.设出内切圆半径为，表示出三个三角形的面积，化简得到，从而算得的值.D.设，分别表示出，其并不相等【详解】A.，故有，则左右两边同除得，解得，故A对B.设圆与轴相切于点，与相切于点，与相切于点，则如图有故则有则有,又，故则，故，点的横坐标为定值，则B对.C.若成立，设内切圆半径为，则有则则，故C对D.若垂直轴于点，设则则又，故故故D错故选：ABC【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据必要不充分条件的概念，结合题中条件，可直接得出结果.【详解】∵，，是的必要不充分条件，∴是的真子集，因此，即a的取值范围为.故答案为：.【点睛】结论点睛：根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．14.从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解.【详解】由题意，椭圆C在点处的切线，且，所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为，又由切线垂直角的角平分线，所以，即.故答案为：.15.Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝__________．【答案】【解析】【详解】∵＝，∴＝，解得a2＝2a1，∴数列{an}的公差d＝a1，∴a3＝3a1，a5＝5a1，∴＝.16.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当______时，直线与平面所成角的正弦值为.【答案】1【解析】【分析】以为坐标原点，分别为，，轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，求出，利用空间向量的数量积转化求解即可．【详解】解：以为坐标原点，分别为，，轴建立空间直角坐标系．所以，所以．设平面的法向量，所以所以，所以平面的一个法向量，设，所以，所以，解得或（舍，所以．因为，所以故答案为：1四、解答题（本大题共6个小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析【解析】【分析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.【详解】解：（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线的准线方程为：，所以条件④不适合题意，当选择条件③时，，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；（2）假设总有，由题意得直线的斜率不为，设直线的方程为，由得设，所以恒成立，，，则，所以，所以，综上所述，无论如何变化，总有.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.18.森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，习近平主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉万立方米的森林.设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量.（1）请写出一个递推公式，表示二间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）（可能用到的数据：，，）【答案】（1）；（2）.；（3）19万立方米.【解析】【分析】（1）由题意得到；（2）若递推公式写成，则，再与递推公式比较系数；（3）若实现翻两番的目标，则，根据递推公式，计算的最大值.【详解】解：（1）由题意，得，并且.①（2）将化成，②比较①②的系数，得解得所以（1）中的递推公式可以化为.（3）因为，且，所以，由（2）可知，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为：，所以.到2030年底的森林蓄积量为该数列的第10项，即.由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大为19万立方米.【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：1.型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；2.形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；3.形如：的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列，4.形如：的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式；5.形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.19.已知函数（），（1）若曲线在点处切线为，求的值；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求函数的导数和定义域，结合函数的切线方程建立方程关系进行求解，（2）利用参数分离法将不等式进行转化，构造函数求出函数的导数，利用导数进行求解即可．【详解】解：（1）的定义域为，，∴，，解得，，∴.（2）若至少存在一个，使得，∴，当时，，∴有解，令，∴，，∴在上单调递减，，∴，即.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在；．【解析】【分析】（1）首先证明，再由面面垂直的性质定理可得平面，即证.（2）连结，以为坐标原点，，，为轴，建立空间直角坐标系，是平面的一个法向量，再求出平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.（3）根据题意可得与平面的法向量垂直，假设线段上存在点使得平面，再利用向量的数量积即可求解.【详解】解：（1）因为四边形为菱形，所以．又因为，为的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．（2）连结．因为，为的中点，所以．由（1）可知平面，所以，．设，则．如图，建立空间直角坐标系．所以．所以，．因为平面，所以是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则，即，所以令，则，．于是．所以．由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为．（3）当点是线段的中点时，平面．理由如下：因为点平面，所以在线段上存在点使得平面等价于．假设线段上存在点使得平面．设，则．所以．由，得．所以当点是线段的中点时，平面，且．【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.21.已知椭圆的上顶点与左、右焦点构成的的面积为，又椭圆的离心率