数学（二）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略

目录contents

（二）

平面直角坐标系与函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题01

一次函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题49

反比例函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题102

二次函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题156

函数综合命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题227

平面直角坐标系

平面直角坐标系是初中数学中非常基础且重要的概念，尤其在中考数学中，关于平面直角坐标系的命

题通常会涉及以下几个方面：点坐标的基本性质、函数与坐标系的结合、与几何图形的结合、实际应用问

题等。

针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握基本概念、理解函数与坐标系的关系、掌握几何

图形的性质、提高解题能力等。

在中考数学中，关于函数的基本知识的命题预测通常会涵盖以下几个方面：函数定义和性质、函数图

像、函数的应用等。

针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握函数的基本概念和性质、学会绘制函数图像、注

重函数的应用。

Ⅰ、平面上确定物体位置的方法

1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置.

将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置.

2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置.

3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参

照物的方向和距离来表示.

PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可.

4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一

般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准.

5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格

数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）.

Ⅱ、平面直角坐标系

一、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系

平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正

方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示：

平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y

轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所

不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同.

2.点的坐标

（1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都

可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴

作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有

序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示：

（2）确定点的坐标的方法：

①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标；

②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标.

③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来.

（3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的.

（4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在

坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.

（5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.

二、象限的划分与点的坐标特征

1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象

限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），

第四象限（＋，－），如图所示：

2.点的坐标特征

点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下：

点M（x，y）所处的位置坐标特征

点M在第一象限M（正，正）

点M在第二象限M（负，正）

象限内的点

点M在第三象限M（负，负）

点M在第四象限M（正，负）

在x轴正半轴上M（正，0）

点M在x轴上

在x轴负半轴上M（负，0）

坐标轴上的点在y轴正半轴上M（0，正）

点M在y轴上

在y轴负半轴上M（0，负）

原点M（0，）

象限角平分线上的点点M在第一、三象限角平分线上M（x，y）且x＝y

点M在第二、四象限角平分线上M（x，y）且x＝－y

MN∥x轴/MN⊥y轴M、N两点纵坐标相等

两点连线与坐标轴平行

MN∥y轴/MN⊥x轴M、N两点横坐标相等

PS：原点既在x轴上，又在y轴上.

三、图形变换与点的坐标变化

1.对称点的坐标特征

（1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）；

（2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）；

（3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）.

2.图形的变化与坐标特征

对于图形上任意一点A（a，b）

点A变化后的对变化后点的坐标

图形变化对应图形

应坐标特征

向上平移k个单横坐标不变，纵

A1（a，b＋k）

位长度坐标加k

向上平移k个单横坐标不变，纵

平移变换（k＞0）A2（a，b＋k）

位长度坐标减k

向上平移k个单纵坐标不变，横

A3（a，b＋k）

位长度坐标加k

向上平移k个单纵坐标不变，横

A4（a，b＋k）

位长度坐标减k

横坐标不变，纵

关于x轴对称A5（a，b＋k）坐标与原坐标互

为相反数

对称变换

纵坐标不变，横

关于y轴对称A6（a，b＋k）坐标与原坐标互

为相反数

PS：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移.

Ⅲ、函数

一、变量与常量

1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.

2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程

中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量.

3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示.

二、函数的概念

1.函数：一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，都有唯

一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一

确定的变量是该变量的函数.

3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给

定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应.

4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y

的函数.

三、函数的三种常见表示方法

表示法定义优点缺点

列表法把自变量x的一系列值和一目了然，对表格中已有列出的对应值是有限的，

函数y的对应值列成一个自变量的每一个值，可直而且在表格中也不容易

表，这种表示函数关系的接查出与之对应的函数看出自变量与函数的变

方法叫做列表法的值化规律

解析法两个变量之间的函数关能准确地反映整个变化求对应值时，往往要经过

系可以用等式来表示，这过程中自变量与函数的比较复杂的计算，有些函

种表示两个变量之间函对应关系数不能用表达式表示出

数关系的式子称为函数来

表达式，用函数表达式表

示函数的方法叫做解析

法

图像法用图像来表示函数关系能直观、形象地反映出函由自变量的值常常难以

的方法叫做图像法数关系变化的趋势找到对应函数的准确值

函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数

都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目

了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些

无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.

四、函数的图像

在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做

这个函数的图像.

知识点五、函数的自变量与函数值

1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.

2.常见函数自变量取值范围的确定：

（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；

（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；

（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；

（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；

（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值.

（1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时

的函数值.

（2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可

以是多个.

1．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置

的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）

A．（3，1）B．（1，3）C．（4，1）D．（3，2）

【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．

【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．

故选：A．

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．

2．（2023•滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜

7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH

与所加水的体积V之间对应关系的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根据化学知识和函数图象的知识，分析几个选项即可．

【解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH＞7，随着慢慢加水，溶液碱性越

来越弱，pH值逐渐减小．故选：B．

【点评】本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图形即可．

3．（2023•南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运

动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x

的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）

A．54B．52C．50D．48

【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角

形的面积公式写出y与x的函数解析式即可．

【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，

∴AB25，

①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，

此时AD＝x，

∵ED⊥AB，

∴∠DEA＝90°＝∠C，

∵∠CAB＝∠EAD，

∴△CAB∽△EAD，

∴，

∴AE，

DE，

BE＝25，

∴yBE•DE（25）10x，

当x＝10时，y＝76，

∴a＝76，

②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，

此时BD＝35﹣x，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°＝∠C，

∵∠DBE＝∠ABC，

∴△DBE∽△ABC，

∴，

∴BE28，

DE21，

∴yDE•BE（28）×（21）＝（14）（21），

当x＝25时，y＝24，

∴b＝24，

∴a﹣b＝76﹣24＝52，

故选：B．

【点评】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键

是对函数图象是熟练掌握．

4．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，

连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是

（）

A．（，）B．（，）

C．（，）D．（，）

【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，为半径的B上，在x轴的负半轴上取点D（，0），

⊙

连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得，

从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上

时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．

【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD，

∴点C在以点B为圆心，为半径的B上，

⊙

在x轴的负半轴上取点D（，0），

连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，

∵OA＝OB，

∴AD＝OD+OA，

∴，

∵CM：MA＝1：2，

∴，

∵∠OAM＝∠DAC，

∴△OAM∽△DAC，

∴，

∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，

CD取得最大值，

∵OA＝OB，OD，

∴BD，

∴CD＝BC+BD＝9，

∵，

∴OM＝6，

∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，

∴∠DOB＝∠DFC＝90°，

∵∠BDO＝∠CDF，

∴△BDO∽△CDF，

∴，即，

解得CF，

同理可得，△AEM∽△AFC，

∴，即，

解得ME，

∴OE，

∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），

故选D．

【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌

握相似三角形的判定及性质是解题的关键．

5．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该

点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，

则等边三角形ABC的边长为（）

A．6B．3C．D．

【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，

结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在

OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB，过点O作OD⊥AB，解直角三

角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．

【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶

点B，

\

结合图象可知，当点P在AO上运动时，，

∴PB＝PC，，

又∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴△APB≌△APC（SSS），

∴∠BAO＝∠CAO＝30°，

当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，

∴OB，即AO＝OB，

∴∠BAO＝∠ABO＝30°，

过点O作OD⊥AB，垂足为D，

∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，

∴AB＝AD+BD＝6，

即等边三角形ABC的边长为6．

故选：A．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．

6．（2023•泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点

A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是．

【分析】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横

坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023

在第一象限，求出点A2023的纵坐标为，得出答案．

【解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分别作x轴的垂线，

∵△A1A2O是边长为2正三角形，

∴OB＝BA2＝1，A1B，

∴点A1横坐标为1，

由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…

因此点A2023横坐标为2023，

∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，

∴点A2023在第一象限，

∴点A2023的纵坐标为，

即点A2023（2023，），

故答案为：（2023，）．

【点评】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律

是解决问题的关键．

7．（2023•烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设

点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE

的最低点，则△ABC的高CG的长为．

【分析】过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到

达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ．然后等面积法即可求解．

【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，

点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，

∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3，

在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，

∴AQ，

∵S△ABCAB×CGAQ×BC，

∴CG．

故答案为：．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．

8．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x

相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设

点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t

＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．

（1）点A的坐标是，△COA的面积是．

（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

【分析】（1）从图2知，OA＝4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，S＝S△AOC，即可求解；

（2）当t＜4时，，则SAP×PDAP×PA•tan∠BOA（4﹣t）2（t﹣4）2；当0

≤t时，，

2

则S＝S△OCA﹣S△OPHPH•OPt，即可求解．

【解答】解：（1）如图1，设PD交OC于点C，

从图2知，OA＝4，即点A（4，0），

当点D和点B重合时，S＝S△AOC；

故答案为：（4，0），；

（2）S＝S△AOCAO•yC＝2yC，

则yC，

则点C（，），则m，

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+2，

则点B（0，2）；

由直线AC的表达式知，tan∠BOA；

当t＜4时，

则SAP×PDAP×PA•tan∠BOA（4﹣t）2（t﹣4）2；

当0≤t时，

2

如图1，则S＝S△OCA﹣S△OPHPH•OPt，

则S．

【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，分类求解和解直角三角形是解题的关键．

1．（2023•武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（）象限．

A．一B．二C．三D．四

2．（2023•拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定

成立的是（）

A．a＜3B．b＞3C．a＞bD．a＜b

3．（2024•安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函

数图象可能是（）

A．B．

C．D．

4．（2023•广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设

B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）

A．6B．8C．10D．12

5．（2023•盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），

（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，

﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长

度经过原点．其中正确的结论有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

6．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为

2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）

A．B．C．17D．5

7．（2023•甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成

一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，

点P的坐标是．

1．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为

2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）

A．B．C．17D．5

2．（2024•东营区校级一模）如图1，点A是O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针

方向运动到点A，运动时间是x（s），线段⊙AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点

P的运动速度是（）

A．1cm/sB．cm/sC．cm/sD．cm/s

3．（2024•广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB

为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且

满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y

与x之间函数关系的大致图象是（）

A．B．

C．D．

4．（2023•肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排

列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，

第90个点的坐标为．

5．（2023•铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1

＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2

为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边

△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标

为．

6．（2024•北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开

始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过

程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．

（1）求长方形的长；

（2）直接写出m＝，a＝，b＝；

（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当

一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4

时，y与x之间的关系式．

7．（2023•七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．

（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，

△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．

（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，

动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q

点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．

8．（2023•定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A

→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、

Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm

（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x

（秒）的图象．

（1）求出a值；

（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和

运动时间x（秒）的关系式；

（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？

1．在函数中，自变量x的取值范围是（）

A．x≥﹣1B．x≠3

C．x＞﹣1D．x≥﹣1且x≠3

2．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（）

A．a＜0B．a＜2C．0＜a＜2D．a＜0或a＞2

3．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中

（，），（，），（，），（﹣，），（﹣，），，则的坐标是（）

A110A211A301A411A510⋯A2025

A．（23，﹣22）B．（22，﹣22）C．（45，﹣44）D．（44，﹣44）

4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计

的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方

时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（）

A．当石块下降3cm时，此时石块在水里

B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力

C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N

D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底

5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个

动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为．

6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，

设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等

于．

7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得

到的几组x与y的对应值：

输入x…257911…

输出y…54101622…

根据以上信息，解答下列问题：

（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为；

（2）求k，b的值；

（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．

1．（2023•武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（）象限．

A．一B．二C．三D．四

【分析】由点A在x轴上求出a的值，从而得出点B的坐标，继而得出答案．

【解答】解：∵点A（a，a﹣1）在x轴上，

∴a﹣1＝0，即a＝1，

则点B坐标为（2，﹣1），

∴点B在第四象限，

故选：D．

【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点．

2．（2023•拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定

成立的是（）

A．a＜3B．b＞3C．a＞bD．a＜b

【分析】根据点的坐标的意义，逐一判断即可解答．

【解答】解：如图：

A、a＜3，故A符合题意；

B、b＜3，故B不符合题意；

C、a与b的大小关系不能确定，故C不符合题意；

D、a与b的大小关系不能确定，故D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标的意义是解题的关键．

3．（2024•安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函

数图象可能是（）

A．B．

C．D．

【分析】由点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴

对称；当x＜0时，y随x的增大而减小，继而求得答案．

【解答】解：∵点B（﹣3，m），C（3，m），

∴B与C关于y轴对称，

即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；

∵A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），

∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项D不符合题意．

故选：B．

【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．

4．（2023•广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设

B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）

A．6B．8C．10D．12

【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE，

得y的最大值为AE＝10；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．

【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，

∴AE＝10．

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，

设BE的长度为t，

则BA＝t+2，

∴（t+2）2+t2＝100，

即：t2+t﹣48＝0，

∴（t+8）（t﹣6）＝0，

由于t＞0，

∴t+8＞0，

∴t﹣6＝0，

∴t＝6．

∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．

故选：D．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．

5．（2023•盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），

（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，

﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长

度经过原点．其中正确的结论有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】①②通过观察函数图象判断即可；

③写出点P所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；

④通过观察函数图象判断即可．

【解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，

∴①不正确．

②由图象可知，当x＞﹣3时，y有最小值，

∴②正确．

③令x＝m，y＝﹣m﹣1，

∴y＝﹣x﹣1，

∴点P（m，﹣m﹣1）在直线y＝﹣x﹣1上．

y＝﹣x﹣1的函数图象为：

由图象可以看出，它们有三个交点，

∴符合要求的点P有3个，

∴③不正确．

④将函数y的图象向右平移1个单位长度时，原图象上坐标为（﹣1，0）的点过原点；

将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为（﹣3，0）的点过原点；

∴④正确．

综上，只有②④正确．

故选：C．

【点评】本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键．

6．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为

2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）

A．B．C．17D．5

【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的

时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．

【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，

∴AB＝15，

∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；

∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），

∴BC＝2×4＝8；

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；

故选C．

【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解

题的关键．

7．（2023•甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成

一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，

点P的坐标是．

【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．

【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为2×1＝，

ππ

∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，

∴点P每秒走个半圆，

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），

…，

∵2021÷4＝505余1，

∴P的坐标是（2021，1），

故答案为：（2021，1）．

【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．

1．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为

2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）

A．B．C．17D．5

【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的

时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．

【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，

∴AB＝15，

∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；

∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），

∴BC＝2×4＝8；

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；

故选C．

【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解

题的关键．

2．（2024•东营区校级一模）如图1，点A是O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针

方向运动到点A，运动时间是x（s），线段⊙AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点

P的运动速度是（）

A．1cm/sB．cm/sC．cm/sD．cm/s

【分析】从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝1，当x＝0

时，AP＝AB，故OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，

此时t＝1，走过的了角度为90°，进而求解．

【解答】解：从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，

则圆的半径为AP＝1，

当x＝0