二面角合理创设“立几”题多解巧破-以2024年新课标Ⅰ卷第17题为例说课课件

二面角合理创设，“立几”题多解巧破——以2024年新课标Ⅰ卷第17题为例目录/CONENTS试题呈现与高考多维要素评析解法剖析与试题价值开发探索一二三反思总结与解题教学设计策略一试题呈现与高考多维要素评析（一）试题呈现与新高考评价维度评析试题呈现：新高考评价体系必备知识：立体几何基础、空间向量、解三角等.关键能力：逻辑思维能力、运算求解能力、空间现象能力.学科素养：理性思维、数学探索.核心价值：培养严谨的科学态度，通过几何图形的建构与运算，体会其中的结构美和逻辑美.基础性：线面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理、二面角的定义、建立空间直角坐标系并利用向量法解决线面位置关系及夹角计算问题等等综合性：融合立体几何逻辑推理、空间向量代数运算、平面几何性质综合考察（二）命题趋势与学习现状维度分析2023、2024年均以“立体几何空间位置与度量关系”为知识基础，旨在评价学生空间想象和逻辑推理能力，要求学生紧扣教材与线面位置有关的判定、性质定理灵活选择合适的方法求解有关“二面角”、“线面角”、“面面角”大小的问题和逆用二面角的解析性质求解线段长度等问题，难度适中等，具有较好的区分度。大多数学生能够迁移“向量坐标法”的“三步曲”解决这类空间解析几何问题，但也出现了部分学生未能很好地考虑“空间与平面中位置关系的的差异”、不按照“右手系”建系导致运算繁杂或错误等问题。主要归结于以下原因：（1）对教材通过建系解决位置和度量问题的研究思路不熟悉。凸显了学生对规范作答的意识不强。（2）对复杂运算的处理能力不强。主要反映了学生的数学运算素养较为薄弱。

（3）对所给的几何条件转化使用目标不清晰。侧面反映了学生的对于立体几何的知识体系构建和“问题-关联”的能力相对薄弱，突出了学生领悟转化化归的思想方法欠缺以及逻辑推理的素养较为薄弱。二试题解析与试题价值开发探索（一）解法剖析1.思路分析：几何法（常规）2.命题妙处：打破思维定势，“反套路”垂直关系平行关系（一）解法剖析法1:建系法（以点B为原点）（一）解法剖析

评析：学生的解题过程展现了运用坐标法求解立体几何问题的主要过程，但运算烦琐（引入了两个参数，中间过程计算量较大）．究其原因，这是“惯性思维”使然．如何建系才可以规避复杂的计算量？（一）解法剖析法2:建系法（以点D为原点）显然，法2比法1简单（一）解法剖析法3:建系法（以角代边）【进阶】这种方法的计算量最为简单！！！（一）解法剖析法4:几何法（做平面角）课后探究：学生还可以根据二面角的平面角的定义,结合“三垂线定理”作出所求二面角的平面角.（一）解法剖析法5:几何法（射影面积法）【进阶】同方法4，（一）解法剖析法6:几何法（三面角正弦定理）【进阶】【三面角模型】如下图所示，三面角V−ABC是由具有公共端点V的不共面的三条射线VA，VB，VC，以及任两条射线所成的角的内部构成的空间图形.公共端点V称为三面角的顶点，射线VA，VB，VC称为三面角的棱,两棱所夹的平面部分(角)∠AVB，∠BVC，∠CVA称为三面角的面(角).过每一条棱的两个面所成的二面角A−VC−B，A−VB−C，B−VA−C称为三面角的二面角.【三面角正弦定理】三面角的三个面角的正弦与它们所对的三个二面角的正弦成比例.设三面角V−ABC的三个面角分别为α，β，γ,它们所对的二面角分别为:A，B，C，则（一）解法剖析法6:几何法（三面角正弦定理）【进阶】考虑三面角P−ACD,根据条件,易证CD⊥平面PAD,可得二面角C−PD−A的大小为记为D=，根据条件可知,二面角A−CP−D的正弦值为，记为sinC=根据条件,可得△PAC为等腰直角三角形,即可sin∠CPA=。根据三面角的正弦定理,即可得代入条件,即可得因为△PAD为直角三角形,且PA=2,从而可得（二）试题溯源1

人教A版必修第二册第158页中的例8和

第159页中练习的第3题，两者适当组合而成，加上动点及二面角的逆向应用(第158页例8)如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC(第159页练习第3题)如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么?（二）试题溯源2

本试题中涉及到的几何模型是立体几何中常见的“墙角模型”和“鳖臑模型”，以及“三垂线定理及其逆定理”.

对于第(1)问，如图12,由PA⊥平面ABD知，PB在底面ABD上的射影是AB，已知AD⊥PB，则根据三垂线定理的逆定理可得出AD⊥AB，从而易知AP，AB，AD两两垂直,这就是“墙角模型”;

对于第(2)问，如图13，由PA⊥平面ABD知,PB在底面ABD上的射影是AB，由条件易知BC⊥AB，则可根据三垂线定理得出BC⊥PB,，从而△PAB，△PAC，△PBC，△ABC均是直角三角形，这就是“鳖臑模型”.（三）多维变式角度1强化结论为条件

设计意图：合理变换后,比原高考真题的难度有所降低,借助线段的长度,可以更加直接有效地求解相应的二面角的平面角问题，使得学生可以对利用几何法研究此类平面角问题的本质有更进一步的理解，同时提高综合应用立体几何知识的能力。（三）多维变式角度2鳖臑模型（题型延伸）

在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．(1)证明:EF⊥DB;(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．分析：在第(1)小题顺利解决的基础上，遵循挖掘核心结构的解题策略，过点D作DO⊥AC于点D，不难发现三棱台ABC-DEF中隐含着的三棱锥D-OBC，这是求解线面角大小的关键．进一步，通过分析三棱锥D-OBC的几何特征，不难发现它实际上是典型的“鳖臑”模型．由此，只需要注意到DF∥OC，求出直线OC与平面DBC所成角的正弦值即可．设计意图：通过精选高质量的典型试题，让学生经由变式练习，主动运用策略设计并优化解题路径．虽然问题情境在变，但核心策略不变，从而实现多图一法、多题一解的目标．旨在强化学生熟练地掌握解决此类模型的方法，培养学生数学建模的学科素养和提高学生总结反思的学习习惯。三反思总结与解题教学设计策略反思总结与解题教学设计策略（一）积累基本模型,熟悉其几何特性

求解立体几何问题的基础是识别立体图形,能够实现文字信息与图形语言的相互转化。在教学过程中应注意：1.通过文字信息手动绘制图象，再将绘制的图象与题干中的图象进行对比（此策略的基础即是要求学生掌握斜二测画法,熟悉画法中的变形规则）2.关注题干中现有的立体图象,通过直观判断其中的垂直以及平行关系,再与题干中的具体信息进行比较验证3.积累相应的图象模型,如本文中所提到的“鳖臑”,在平时的教学中,对其性质进行深入探究,总结所有的垂直以及平行关系,在具体的解题过程中即可形成条件反射,明确辅助线的构建方式反思总结与解题教学设计策略（二）几何、向量多法求解,相辅相成提升能力

几何法以及向量法是解决立体几何问题的两种基本方法。1.几何法主要通过定义出发，将空间问题转化为平面问题，此时即可通过解三角形的相关策略进行求解。2.向量法的本质是一种等量代换,将几何问题转化为向量问题,通过计算后再将结果翻译成几何事实.（“三步曲”）

一般来说几何法需要构建辅助线，需要一定的创造性；向量法需要构建坐标系，进行代数运算,对空间观念的要求不高，但是运算能力要求较高【引导学生掌握简化运算的方法】。

两种方法都是对立体图形的深度认识，只有将两种方法相互渗透,才能提升对该板块的求解能力.反思总结与解题教学设计策略（三）探究试题模型,研究其命制背景

探究原问题中题干信息与答案之间的一般规律，发现了试题命制过程的基本思路，并据此命制了多个变式问题供学生练习。在平时的教学过程中，经常渗透试题的命制背景，可以有效地提升学生对问题的整体认识，克服面对试题的恐惧心理，提升解决问题的信心。（四）回归基础