2026年凸题箱子测试题及答案

2026年凸题箱子测试题及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)1.在凸优化问题中，若目标函数为凸函数且可行域为凸集，则该问题的任何局部最优解一定是A.鞍点B.全局最优解C.非驻点D.不可行解2.下列关于凸函数性质的描述中，正确的是A.凸函数的二阶导数必为正定矩阵B.凸函数的水平子集一定是凸集C.凸函数的和必为严格凸函数D.凸函数的负函数仍为凸函数3.对于闭凸集C⊂Rⁿ，点x到C的投影算子P_C(x)满足A.非扩张性B.强扩张性C.非单值性D.非连续性4.若f:Rⁿ→R为μ-强凸函数，则其梯度满足A.⟨∇f(x)−∇f(y),x−y⟩≥μ∥x−y∥²B.⟨∇f(x)−∇f(y),x−y⟩≤μ∥x−y∥²C.∥∇f(x)−∇f(y)∥≤μ∥x−y∥D.∥∇f(x)∥≤μ∥x∥5.在约束优化min{f(x)|g_i(x)≤0}中，Slater条件要求A.存在x使所有g_i(x)<0B.所有g_i为仿射函数C.目标函数f为线性D.可行域为空6.次梯度∂f(x)对凸函数f而言A.必为单点集B.可能为空集C.必为非空紧凸集D.必为开集7.对偶函数g(λ)=inf_x{L(x,λ)}一定具有A.凹性B.凸性C.线性D.非凸非凹8.若矩阵A∈R^{m×n}行满秩，则集合{x|Ax=b}的仿射维数为A.mB.n−mC.nD.09.在加速梯度法中，Nesterov动量项的主要作用是A.增加步长B.减小条件数影响C.消除约束D.改变目标函数10.对于半定规划min{C•X|A_i•X=b_i,X≽0}，对偶变量对应A.非负向量B.对称矩阵C.无约束标量D.二阶锥向量二、填空题，(总共10题，每题2分)11.若f为闭真凸函数，则f⋆⋆=____。12.凸锥K满足对任意x,y∈K有αx+βy∈K，其中α,β____。13.对于L-光滑凸函数，梯度下降步长取____时可保证函数值下降。14.若集合C的示性函数为δ_C，则其次微分∂δ_C(x)等于____。15.在锥规划中对偶间隙为0的充分条件是____成立。16.若f(x)=½x^TQx+c^Tx且Q为正定矩阵，则f的最小值点为____。17.对偶上升法更新对偶变量时的步长需满足____条件以保证收敛。18.若f为凸函数，则其epi={(x,t)|f(x)≤t}必为____集合。19.在ADMM算法中，增广拉格朗日函数里的惩罚参数ρ需____。20.对于二阶锥约束∥x∥₂≤t，其自协调障碍函数的参数为____。三、判断题，(总共10题，每题2分)21.凸优化问题的KKT条件在任何情况下都是充分必要条件。22.若f为凸函数，则其梯度∇f必为单调算子。23.强凸函数的Hessian矩阵在所有点处均正定。24.对偶函数g(λ)的定义域domg一定是凸集。25.投影算子P_C在希尔伯特空间上是非扩张的。26.若可行域为多面体，则线性规划必存在顶点最优解。27.半定规划的可行域在矩阵内积意义下为凸集。28.次梯度法对步长选择没有任何收敛要求。29.凸函数的极大值点若存在则必在边界取得。30.若原问题无界，则对偶问题必不可行。四、简答题，(总共4题，每题5分)31.叙述凸函数f:Rⁿ→R的一阶条件并说明其几何意义。32.解释Slater条件在凸对偶理论中的作用。33.简述加速梯度法与标准梯度法在收敛率上的差异并给出原因。34.说明ADMM算法中变量分裂技术如何降低大规模问题求解复杂度。五、讨论题，(总共4题，每题5分)35.讨论在机器学习中利用凸松弛将非凸问题转化为凸模型的优势与潜在风险。36.比较内点法与一阶方法在高维半定规划中的适用场景及计算瓶颈。37.分析分布式优化中通信延迟对对偶上升法收敛速度的影响并提出改进思路。38.探讨在深度学习训练里引入凸正则项对损失景观及泛化能力的综合影响。答案与解析一、1B2B3A4A5A6C7A8B9B10A二、11f12≥013≤2/L14法锥N_C(x)15强对偶性16−Q^{−1}c17充分小且可和18凸19正定且足够大202三、21×22√23×24√25√26√27√28×29×30√四、31.一阶条件：f(y)≥f(x)+∇f(x)^T(y−x)对所有x,y成立。几何意义：函数图像总在切平面之上，保证局部线性近似为全局下界。32.Slater条件保证存在严格可行点，从而使约束规格成立，确保KKT条件为充分必要条件，并进一步推出强对偶性成立。33.标准梯度法收敛率O(1/k)，加速梯度法达O(1/k²)。原因：Nesterov动量利用历史信息构造更优外推点，减小迭代点与最优解距离的上界。34.通过引入辅助变量将原问题拆分成多个子问题，每个子问题仅依赖局部变量，可用并行计算求解，降低单次迭代复杂度并节省内存。五、35.凸松弛将NP-hard问题转为多项式时间可解，提供全局保证；风险在于松弛间隙可能导致解偏离原问题真实最优，需事后验证或迭代精化。36.内点法具有高精度且迭代次数少，但每步需解大型线性方程组，内存与计算随维数立方增长；一阶方法每步廉价，适合百万维以上问题，却需大量迭代且精度受限。37.延迟导致梯度信息过时