《第二十八章锐角三角函数章末复习》课件

章末复习R·九年下册状元成才路状元成才路状元成才路新课导入通过本章的学习，你收获了哪些知识和方法？各知识点间有什么联系呢？如何运用这些知识和方法解决问题呢？本节课将对本章所学进行小结与复习.想一想状元成才路状元成才路状元成才路复习目标：1.理解熟悉正弦、余弦、正切的概念，能熟练地运用它们进行相关计算.

2.会解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题.状元成才路状元成才路状元成才路推进新课提问本章我们学习了哪些内容？你能画出本章的知识结构框架图吗？状元成才路状元成才路状元成才路在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比，记作sinA.∠A的对边ABCcab斜边正弦即sinA=

=．∠A的对边斜边要点1正弦、余弦、正切的定义.状元成才路状元成才路状元成才路余弦cosA=∠A的邻边斜边

在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A的邻边与斜边的比，记作cosA.aCAcBb状元成才路状元成才路状元成才路正切

在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比，记作tanA.aCAcBbtanA=∠A的对边∠A的邻边状元成才路状元成才路状元成才路要点2特殊角的三角函数值.a2aaa（设最短的边为a）状元成才路状元成才路状元成才路30°60°45°45°30°45°60°sinAcosAtanA锐角A锐角三角函数状元成才路状元成才路状元成才路要点3用计算器求锐角三角函数值.以求sin18°为例.sin键

输入角度值18°得到sin18°结果以求tan30°36'为例.tan键

输入角度值30°36'或将其化为30.6°得到tan30°36'结果状元成才路状元成才路状元成才路要点4解直角三角形的依据.（1）三边之间的关系

a2+b2=c2（勾股定理）

；（2）两锐角之间的关系

∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系

sinA=，cosA=，tanA=

.

状元成才路状元成才路状元成才路要点5

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤.

将实际问题抽象为数学问题；1

根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；2

得到数学问题的答案；3

得到实际问题的答案.4状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路解析

先根据三角形的面积求出a，再解直角三角形求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠B，根据含30°角的直角三角形的性质求出c即可.考点1解直角三角形例在Rt△ABC中，∠C=90°，b=3，S△ABC=

，解这个直角三角形.解：如图.

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，b=3，∴∠B=30°，c=6.

状元成才路状元成才路状元成才路考点2特殊角及其锐角三角函数的简单应用例如图，在四边形ABCD中，AB=2，∠A=∠C=60°，DB⊥AB于点B，∠DBC=45°，求BC的长.状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路解：如图，过点D作DE⊥BC于点E.∵DB⊥AB，AB=2，∠A=60°，∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴BD=AB·tan60°=2.∵∠C=60°，∠DEC=90°，∴BE=DE=BD·sin45°=.1.已知□

ABCD中，AB=a，BC=b，锐角B=α，则用a，b，α表示□ABCD的面积为

．随堂演练基础巩固absinα状元成才路状元成才路状元成才路2.如图，两建筑物的水平距离BC为32.6m,从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为45°，求这两个建筑物的高度（结果保留根号）.状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路解：如图，AE=BC=32.6.在Rt△ACE中，∠CAE=45°，∴CE=AE=32.6.∴AB=CE=32.6(m)，CD=CE-DE=在Rt△ADE中，∠DAE=30°,∴ED=AE·tan30°综合应用3.如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北25°的PQ方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时的速度不断扩张．状元成才路状元成才路状元成才路（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到

千米；当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到

千米；100（60+10t）（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由（参考数据≈1.41，≈1.73）．状元成才路状元成才路状元成才路解：过O作OH⊥PQ于H.∠OPH=70°-25°=45°，OP=200.此时受台风侵袭的圆形区域半径约为60+10×7.05=130.5＜141，这股台风不侵袭这座海滨城市.∴PH=OH=OP·sin45°=200×=100≈141（千米）.台风从P到H用的时间约为=7.05(小时).状元成才路状元成才路状元成才路课堂小结锐角三角函数直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题aCAcBb状元成才路状元成才路状元成才路拓展延伸如图，在锐角△ABC中，求证：.(提示：分别作AB和BC边上的高)状元成才路状元成才路状元成才路证明：过A作AD⊥BC于D，过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABD中，AD=AB·sinB=c·sinB.在Rt△ACE中，CE=AC·sinA=b·sinA.又∵状元成才路状元成才路状元成才路同理状元成才路状元成才路状元成才路1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。课后作业状元成才路状元成才路状元成才路复习题28复习巩固1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=2，c=6，求sinA，cosA和tanA的值.

状元成才路状元成才路状元成才路2.在△ABC中，∠C＝90°，cosA=，AC=，求BC的长.

状元成才路状元成才路状元成才路3.求下列各式的值：状元成才路状元成才路状元成才路4.用计算器求下列各式的值：(1)cos76°39′+sin17°52′；(2)sin57°18′-tan22°30′；(3)tan83°6′-cos4°59′；(4)tan12°30′-sin15°.

解：(1)0.5378(2)0.4273(3)7.2673(4)-0.0371状元成才路状元成才路状元成才路5.已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数：(1)cosA=0.7651; (2)sinA=0.9343;(3)tanA=35.26; (4)tanA=0.707.

解：(1)40.08°(2)69.12°(3)88.38°(4)35.26°

状元成才路状元成才路状元成才路6.等腰的底角是30°，腰长为，求它的周长.

解：如图，过点A作AD⊥BC于D，则BC=2BD.在Rt△ABD中，△ABC的周长状元成才路状元成才路状元成才路7.从一艘船看海岸上高为42m的灯塔顶部的仰角为33°，船离海岸多远（结果取整数）？因此船离海岸的距离约为65m.状元成才路状元成才路状元成才路综合应用8.如图，两建筑物的水平距离BC为32.6m,从A点测得D点的俯角α为35°12′，测得C点的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高度（结果保留小数点后一位）.状元成才路状元成才路状元成才路∴DE=BC·tanα=32.6×tan35°12′≈23.0(m).解：延长CD，交过A的线于点E，在Rt△ABC中，BC=32.6m，∠ACB=43°24′.∴CD=AB-DE≈30.8-23.0=7.8(m).因此这两座建筑物的高度分别约为30.8m、7.8m.

∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.8(m).状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路9.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).

解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=,在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，∴AF=CF=5.00，∴AC=CF=5≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF

=+3.40-5.00≈1.29(m).状元成才路状元成才路状元成才路10.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足50°≤α≤75°．现有一架长6m的梯子.状元成才路状元成才路状元成才路此时CB=6sin75°≈6×0.97=5.82≈5.8(m).解：(1)在Rt△ACB中，CB=AB·sinα=6sinα.∵sinα随着α的增大而增大，且50°≤α≤75°，故使用这个梯子最高可以安全攀上5.8m高的墙.

∴当α=75°时，sinα最大，即CB取得最大值，(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)？状元成才路状元成才路状元成才路∵50°＜66°＜75°，当CA=2.4时，∴这时人能够安全使用这个梯子.

∴α=66.42°≈66°.(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，α等于多少度(结果取整数)？此时人是否能够安全使用这架梯子？状元成才路状元成才路状元成才路11.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处.已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=.(1)△AFB与△FEC有什么关系？(2)求矩形ABCD的周长.

状元成才路状元成才路状元成才路解：(1)△AFB∽△FEC.

(2)∵∠EFC=∠BAF，设BF=3k，AB=4k，则AF=AD=5k，∵AF2+EF2=AE2，状元成才路状元成才路状元成才路∴AB=4k=8(cm)，AF=AD=5k=10(cm).∴矩形ABCD的周长为（8+10）×2=36(cm).状元成才路状元成才路状元成才路12.□ABCD中，已知AB、BC及其夹角∠B（∠B是锐角），能求出□ABCD的面积S吗?如果能，用AB、BC及其夹角∠B表示S.解：能.S=AB·BC·sinB.状元成才路状元成才路状元成才路拓广探索13.已知圆的半径为R.(1)求这个圆的内接正n边形的周长和面积；解：(1)周长为2nRsin，面积为nR2sin·cos(或sin；状元成才路状元成才路状元成才路(2)利用(1)的结果填写下表；内接正n边形正六边形正十二边形正二十四边形……周长面积6R24Rsin15°48Rsin7.5°12R2sin15°3R2状元成才路状元成才路状元成才路观察上表,随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长（面积）有怎样的变化趋势，与圆的周长（面积）进行比较，你能得出什么结论?随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长逐渐接近圆的周长2πR，面积逐渐接近圆的面积πR2.状元成才路状元成才路状元成才路14.如图，在锐角△ABC中，求证：之间的关系.(提示：分别作AB和BC边上的高)状元成才路状元成才路状元成才路证明：过A作AD⊥BC于D，过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABD中，AD=AB·sinB=c·sinB.在Rt△ACE中，CE=AC·sinA=b·sinA.又∵状元成才路状元成才路状元成才路同理状元成才路状元成才路状元成才路1.锐角三角函数的概念【例1】

如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且E是AB中点,则tan∠BFE的值是(

)分析连接AC,根据菱形的性质与已知条件,易证△ABC是等边三角形,从而可知∠BFE=60°.解析:如图,连接AC.∵CE垂直平分AB,∴BC=AC.又四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=∠ABC=30°,∴∠BFE=60°,∴tan∠BFE=.故选D.答案:D点拨除像该例恰好遇到特殊角外,解决该类问题的常用方法是设参数法,即先用含参数的代数式表示出各边长,再利用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.跟踪演练1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭2.与特殊角的三角函数值有关的计算【例2】

(1)计算sin245°+cos30°tan60°,其结果是(

)(2)在锐角三角形ABC中,如果∠A,∠B满足分析(1)把特殊角的三角函数值直接代入计算即可.(2)根据绝对值与平方的非负性可以得到∠A的正切值与∠B的余弦值,进而可先求出两角的度数,再利用三角形内角和定理计算∠C的大小.又∠A,∠B都为锐角,∴∠A=45°,∠B=60°,∴∠C=180°-45°-60°=75°,故答案为75°.答案:(1)A

(2)75°点拨熟记特殊角的三角函数值与实数的运算法则是进行三角函数计算的关键.另外,由特殊锐角的三角函数值反求角的度数,常与“几个非负数的和为0,则这几个非负数的值分别为0”的性质密切联系.答案答案关闭3.解直角三角形【例3】

如图,已知△ABC.按以下步骤作图:①以A为圆心,AB长为半径画弧;②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.分析(1)根据尺规作图步骤直接利用“SSS”判定方法证得结论;(2)先证明AC⊥BE,得出Rt△ABE和Rt△BEC.设BE=x,先利用特殊角的三角函数表示相关线段长度,再利用AE+CE=AC构建方程求值.(1)