2024-2025学年北京161中分校八年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京161中分校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.(2分)下列各式中，最简二次根式是（）A.16B.5C.24D.12.(2分)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能构成直角三角形的是（）A.a:b:c=3:4:5B.a:b:c=1:2:3C.∠A:∠B:∠C=1:2:4D.∠A:∠B:∠C=1:1:33.(2分)下列计算正确的是（）A.8B.3C.3D.(−9)×(−4)4.(2分)下列命题中，正确的是（）A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形5.(2分)关于x的一次函数y=2x−1，下列说法正确的是（）A.一次函数的图象过点(−0.5,0)B.y随x的增大而减小C.一次函数的图象过第一、二、三象限D.自变量x可以为任意实数6.(2分)如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(2,0)，与y=x+1的图象交于点P(1,2)A.关于x，y的方程组&y=x+1&y=kx+bB.方程kx+b=0的解是x=−2C.方程kx+b=x+1的解是x=2D.不等式kx+b<x+1的解集是x<17.(2分)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C(0,−2)，D(b,−1)，则正方形ABCDA.4B.9C.13D.58.(2分)如图1，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8.动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作MQ⊥BC于点Q，则△BMQ的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（）A.F→G→H→E→FB.E→H→G→F→EC.G→F→E→H→GD.G→H→E→F→G二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9.(2分)二次根式x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围为.10.(2分)在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=130∘，则∠B=11.(2分)如果直线y=2x−1向上平移3个单位后得到直线AB，那么直线AB的解析式是.12.(2分)函数y=kx+b(k≠0)的图象上有两个点A(x1，y1)，B(x2，y213.(2分)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF=4，则AE=14.(2分)菱形两条对角线长分别是6和8，则菱形面积是，周长是.15.(2分)如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是度.16.(2分)如图1，四边形ABCD是菱形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AD→DB→BA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则菱形ABCD的面积为.三、解答题（共10道小题，第17题8分，18，19题每题5分，第20，22题每题6分，第21，23，26题每题8分，第24，25题每题7分，共68分）17.(8分)计算：(1)18−32(2)6×18.(5分)已知x=2+3，y=2−3，求代数式19.(5分)如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且BE=DF，连接AE，CF.求证：AE∥CF.20.(6分)下面是甲同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程.已知：等腰△ABD，AB=AD.求作：点C，使得四边形ABCD为菱形.作法：①作∠BAD的角平分线AO，交线段BD于点O；②以点O为圆心，线段AO长为半径作弧，交线段AO的延长线于点C；③连接BC，DC，所以四边形ABCD为菱形，点C即为所求.根据甲同学设计的作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形；(保留作图痕迹）(2)完成下面的证明.证明：∵AB=AD，AO平分∠BAD，∴BO=DO,AO⊥BD(______).(填推理的依据)∵BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD为平行四边形(______).(填推理的依据)∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形(______).(填推理的依据)21.(8分)一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=−3x的图象平行，且过点(2,−4).(1)求一次函数y=kx+b的表达式；(2)画出一次函数y=kx+b的图象；(3)结合图象解答下列问题：①当y<0时，x的取值范围是______；②当0<x<2时，y的取值范围是______.22.(6分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若AB=13，AC=10，求AE的长.23.(8分)探究函数y=|x−1|的图象与性质.小天根据学习一次函数的经验，对函数y=|x−1|的图象与性质进行了探究.下面是小天的探究过程，请补充完整：第一步：y=|x−1|的自变量x的取值范围是全体实数；第二步：x与y的几组对应值：x…−10123…y…21012…(1)第三步：建立平面直角坐标系xOy，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(2)第四步：观察y=|x−1|的函数图象，得出了如下几条结论：①当x=______时，函数有最小值为______；②当______时（填写自变量取值范围),y随x的增大而增大；当______时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少；③图象关于过点______且垂直于x轴的直线对称；④若直线y=kx−12与y=|x−1|的图象只有一个交点，则24.(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+6与直线y=x−3交于点A(9(1)求k，m的值；(2)已知点P(n,n)，过点P作垂直于y轴的直线与直线y=x−3交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线y=kx+6交于点N(P与N不重合)。若PN⩽2PM，结合图象，求n25.(7分)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120∘，E为边AB上一点.点F在DB的延长线上，EF=ED.作点F关于直线AB的对称点G，连接EG(1)依题意补全图形，并证明∠ADE=∠FEB；(2)用等式表示AE，CG，DF之间的数量关系，并证明.26.(8分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(2,2)，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段AB上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l(1)已知直线l1：y=−x，在点P1(−2,1)，P2(−2,−1)(2)若在x轴上存在点P，使得点P为直线l2：y=−x+b的关联点，求b(3)已知点N(n,−n)，若存在直线l3：y=mx是点N的关联直线，直接写出四、选做题（本大题共2小题，第27题题4分，第28题题6分，共10分）27.(4分)在学习了二次根式一章后，老师给甲同学出了这样一道思考题：求3+5甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：设x=3+x2即x2x2∴x=±10∵3+∴3+请你参考上述方法，求4+728.(6分)如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作EF⊥BE交直线CD于点F，过点F作FG⊥AC交直线AC于点G.(1)如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；(2)如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.2024-2025学年北京161中分校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1、【答案】B【知识点】最简二次根式2、【答案】A【知识点】三角形内角和定理,勾股定理的逆定理3、【答案】C【知识点】二次根式的混合运算4、【答案】C【知识点】命题与定理5、【答案】D【知识点】一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征6、【答案】A【知识点】一次函数与一元一次方程,一次函数与一元一次不等式7、【答案】D【知识点】坐标与图形性质,正方形的性质8、【答案】D【知识点】动点问题的函数图象二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9、【答案】x⩾−2【知识点】二次根式有意义的条件10、【答案】115【知识点】平行四边形的性质11、【答案】y=2x+2【知识点】一次函数图象与几何变换12、【答案】y=−x(k<0即可）【知识点】待定系数法求一次函数解析式13、【答案】4【知识点】直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理14、【答案】24,20【知识点】菱形的性质15、【答案】22.5【知识点】正方形的性质16、【答案】8【知识点】动点问题的函数图象三、解答题（共10道小题，第17题8分，18，19题每题5分，第20，22题每题6分，第21，23，26题每题8分，第24，25题每题7分，共68分）17、【解答】解：(1)18=3=2；(2)6=3=2【知识点】二次根式的混合运算18、【解答】解：∵x=2+3，y=2−∴x+y=4，x−y=23∴x【知识点】分母有理化,二次根式的化简求值19、【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BE=DF，∴AD−DF=BC−BE，即AF=CE，∵AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF.【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质20、【解答】解：(1)如图，点C即为所求；(2)∵AB=AD，AO平分∠BAD，∴BO=DO，AO⊥BD(等腰三角形三线合一)，∵BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。故答案为：等腰三角形三线合一；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【知识点】作图—复杂作图21、【解答】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=−3x的图象平行，∴k=−3，∴y=−3x+b，把点(2,−4)代入y=−3x+b得−6+b=−4，解得b=2，∴一次函数y=kx+b的表达式为：y=−3x+2；(2)令x=0时，y=2，过(0,2)，(2,−4)作直线，即为一次函数y=kx+b的图象，如图；(3)由图象可知：①当y<0时，x>2②当0<x<2时，−4<y<2；故答案为：x>23；【知识点】一次函数的性质,待定系数法求一次函数解析式,两条直线相交或平行问题22、【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90∴四边形AEFD是矩形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO=5，BC=AB=13，∵AE⊥BC，∴S在Rt△ABO中，由勾股定理可得：∴BO=A∴BD=2BO=24，∵S∴1∴AE=120【知识点】矩形的判定与性质,菱形的性质23、【解答】解：（1）描点，并画出函数y=|x−1|的图象如下：(2)①由图可知，当x=1时，函数有最小值y=|x−1|=0，故答案为1，0；②由图可知，当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少，故答案为x>1，x<1；③由图象可知，图象关于x=1成轴对称，∴图象关于过点(1,0)且垂直于x轴的直线对称，故答案为(1,0)；④∵y=|x−1|={∴当k=−1时，函数y=kx−12与y=1−x(x<1)平行，当k=1时，函数y=kx−∴当k⩾1或k<−1时，函数y=kx−12与另外当函数y=kx−12过点(1,0)时，有0=k−12，即k=12故答案为k=12或k⩾1或【知识点】一次函数图象与几何变换,一次函数图象与系数的关系,两条直线相交或平行问题24、【解答】解：(1)A(94，m)代入y=x−3∴A(94，把A(94，−34)解得，k=−3；答：k，m的值为−3；−3(2)由(1)知，直线为y=−3x+6，根据题意，如图：∵点P(n,n)∴M(n+3,n)，N∴PM=3，PN=|4n−6|，∵PN⩽2PM，∴|4n−6|⩽2×3，∴0⩽n⩽3，∵P与N不重合，∴n≠−3n+6，∴n≠1.5，综上，0⩽n⩽3且n≠1.5.【知识点】点的坐标25、【解答】解：（1）补全的图形如图所示；证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=∠ABC=120∴∠ADB=1∠ABD=1∴∠ADE+∠BDE=60∠FEB+∠BFE=60∵ED=EF，∴∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠FEB.(2)AE，CG，DF之间的数量关系：DF=CG+2AE.证明：如图，连接DG.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120∴∠ABD=1∴△ABD为等边三角形，∴AD=DB，∠ABF=120点F关于AB的对称点G在线段BC上，∴EG=EF=ED，∠GEB=∠FEB=∠ADE.∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEG+∠GEB，∴∠DEG=∠A=60∴△DEG为等边三角形，∴DE=DG，∠EDG=60∴∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDG=60∴∠ADE=∠BDG，∴△ADE≌△BDG(SAS)∴AE=BG，∴DF=DB+BF=BC+AE=CG+BG+AE=CG+2AE.【知识点】四边形综合题26、【解答】解：（1）由题意，对称点在线段AB上，那么点P必在线段AB的对称线段A'∴P1(−2,1)，P2(−2,−1)，P故答案为：P2(2)令点P关于直线l2的对称点为Q∵点P为直线l2∴点Q在线段AB上，当点Q与点A重合时，点P的坐标为(−2,0)，△AOP是等腰直角三角形，直线l2经过原点，此时b=0当点Q与点B重合时，点P的坐标为(0,0)，△ABO是等腰直角三角形，直线l2经过点A，此时b=2综上所述，b的取值范围是0⩽b⩽2；(3)因为N(n,−n)，则点N在函数y=−x当n⩽0时，点N在第二象限.若m>0，则y=−x(x<0)的图象关于直线y=mx的对称图象与线段AB所以m<0.①当l3与y轴正半轴的夹角是22.5∘时，点A关于l且OA'=OA=2，则A②当l3与y轴正半轴的夹角大于22.5∘时，y=−x关于l3③当l3与y轴正半轴的夹角小于22.5∘时，y=−x关于l3所以当l3与y轴正半轴的夹角大于0∘，且小于等于y=−x(x<0)的图象关于l3的对称图象与线段此时n的取值范围是：−2<n⩽−2同理可得当m>0时，n的取值范围是：2⩽n⩽2综上所述：−2<n⩽−2或2【知识点】点的坐标四、选做题（本大题共2小题，第27题题4分，第28题题6分，共10分）27、【解答】解：设x=4+x2即x2x2∴x=±14∵4+∴4+【知识点】二次根式的化简求值28、【解答】解：(1)EG=∵正方形ABCD，∴∠BCD=90∘，过点E作EH⊥CD于H，EP⊥BC于P，如图1，则∠EHC=∠EPC=90∘∴∠BCD=∠EHC=∠EPC=90∴四边形CHEP是矩形，又∵