2024-2025学年北京昌平区八年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京市昌平区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.(2分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.(2分)点P(−3,5)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2分)下列图象中，表示y是x的函数的是（）A.B.C.D.4.(2分)一个多边形的内角和是720∘A.4B.5C.6D.75.(2分)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A.B.C.D.6.(2分)一次函数y=−3x+6的图象与x轴交于点(2,0)，与y轴交于点(0,6)，根据图象可知0<−3x+6<6的解集为（）A.x<0B.0<x<2C.2<xD.x<0，x>27.(2分)菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，则菱形ABCD的面积等于（）A.12B.24C.25D.488.(2分)如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A.B.C.D.二、填空题（共16分，每题2分）9.(2分)函数y=3x−1中的自变量x的取值范围是10.(2分)在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点的坐标是11.(2分)七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏.它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图为由七巧板拼成的“小船”，若点A的坐标为(−2,1)，点B的坐标为(0,−1)，则点C的坐标为.12.(2分)如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象，则方程组&y=ax+b&y=kx的解为13.(2分)若点A(−2，y1)，B(4，y2)在一次函数y=−3x+5图象上，则y1y2(14.(2分)如图，平行四边形ABCD中，AD=6，AB=4，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于.15.(2分)已知，如图，边长为8的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，DE=2，点P在对角线AC上运动，连接DP，EP，则DP+EP的最小值为.16.(2分)长方形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为(6,0)，(0,4)，点B在第一象限，将直线y=−12x沿y轴向上平移m(m>0)个单位，若平移后的直线将长方形OABC的面积分成1:5的两部分，则m三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分，共68分）17.(5分)如图，点E，F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的一点，连接DE、BF，若AE=CF.求证：四边形EBFD是平行四边形.18.(5分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x−3的图象分别交x轴，y轴于A，B两点.(1)求点A，B的坐标；(2)画出该函数的图象；(3)若点P(0,2)，连接PA，PB，求△PAB的面积.19.(5分)下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在Rt△ABC中，ABC=90求作：矩形ABCD.作法：如图，①分别以点A，C为圆心、大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于E，②作直线EF，交AC于点P；③连接BP并延长至点D，使得PD=BP；④连接AD，CD.则四边形ABCD是矩形.根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明.证明：连接AE，CE，AF，CF.∵AE=CE，AF=CF，∴EF是线段AC的垂直平分线.∴AP=______.又∵BP=DP，∴四边形ABCD是平行四边形(______)(填推理的依据)。∵∠ABC=90∴四边形ABCD是矩形(______)(填推理的依据)。20.(5分)在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+1与直线y=kx交于点A(−1,n)(1)求点A的坐标及直线y=kx的表达式；(2)若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足PA=OA，直接写出点P的坐标.21.(5分)如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点B，C的坐标分别为(−2,0)，(−4,1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)点A的坐标是______；(2)画出△ABC关于原点对称的△A1B(3)求出CC22.(5分)李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：(1)工厂距目的地的路程为______；(2)求s关于t的函数表达式；(3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，t是多少？23.(6分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点(1,1)(1)求该一次函数的解析式；(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx+2(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出24.(6分)数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.以下，是对此定理的探究及证明过程：已知，如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.求证：DE∥BC且DE=1(1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学.他们在思考后说出了添加的辅助线：甲：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF.乙：延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.丙：作AH⊥DE，延长HD，使DG=HD，延长HE，使EF=HE.丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE延长线于点F.则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是______；A.甲、乙、丁B.乙、丙C.乙、丁D.全正确(2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整；(3)【定理应用】如图2，B，C两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.小颖在地面上选了点A和点D，使AD∥BC,连接AB，DC.并分别找到AB和DC的中点M，N.若测得AD=a米，MN=b米，则C，B两地间的距离______米（用含a，b的代数式表示)。25.(6分)某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用.在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过部分每本价格为1.8元.设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为x(x为非负整数)。(1)设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为y1元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为y2元，分别写出y1，y(2)当x⩾50时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由.26.(6分)描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数y=xx+4图象的变化规律的过程：x−4−−3−2−1012…y0−m−2−052…请根据学习函数的经验，利用上述表格所反映的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究.(1)表中是y与x的对应值，则m=______；(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点(−3,m)，然后画出该函数的图象；(3)若关于x的不等式kx+b>xx+4的解集是−3<x<1，则k−b27.(7分)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点（不与B，C重合），点D关于直线AE的对称点是点F，连接AF，BF，直线AE，BF交于点P，连接DF.(1)在图1中补全图形；(2)求∠DFP的度数，写出求解过程.(3)用等式表示线段PA，PB，PF之间的数量关系，并证明.28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”.特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零.如图1，点A(3,1)，B(1)点C(4,1)与线段AB点D(1,0)与线段AB(2)点P在直线y=x+2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是______；(3)如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF，连接AE，BF，若直线y=x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于3，直接写出b的取值范围.2024-2025学年北京市昌平区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1、【答案】C【知识点】轴对称图形,中心对称图形2、【答案】B【知识点】点的坐标3、【答案】D【知识点】函数的概念4、【答案】C【知识点】多边形内角与外角5、【答案】D【知识点】平行四边形的判定6、【答案】B【知识点】一次函数与一元一次不等式7、【答案】B【知识点】菱形的性质8、【答案】B【知识点】动点问题的函数图象二、填空题（共16分，每题2分）9、【答案】x≠1【知识点】分式的定义,分式有意义的条件,函数自变量的取值范围10、【答案】(2,−3)【知识点】关于x轴、y轴对称的点的坐标11、【答案】(−3,−2)【知识点】七巧板12、【答案】&【知识点】一次函数与二元一次方程（组）13、【答案】>【知识点】有序数对14、【答案】2【知识点】平行四边形的性质15、【答案】10【知识点】正方形的性质,轴对称-最短路线问题16、【答案】2或5【知识点】点的坐标三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分，共68分）17、【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD(平行四边形的对边平行且相等)，∵AE=CF，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质18、【解答】解：（1）在一次函数y=2x−3中，当y=0时，x=32；当x=0时，y=−3∴A(32，(2)一次函数图象如图所示，(3)由图可知：PB=5，∴S【知识点】点的坐标19、【解答】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；(2)证明：连接AE，CE，AF，CF，∵AE=CE，AF=CF，∴EF是线段AC的垂直平分线，∴AP=CP，又∵BP=DP，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵∠ABC=90∴四边形ABCD是矩形（有一个内角为90∘故答案为：CP；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90∘【知识点】作图—复杂作图,平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质20、【解答】解：(1)∵直线y=−x+1与直线y=kx交于点A(−1,n)∴&∴&∴点A的坐标(−1,2)，直线y=kx的表达式为y=−2x；(2)如图，∵A的坐标(−1,2)，∴OA=5∵P是坐标轴上一点，PA=OA，当点P在y轴上时，∴PA=5∴OP=2(当点P在x轴上时，过A作AH⊥x轴于H，∴OP=2OH=2，点P的坐标为(0,4)和(−2,0).【知识点】待定系数法求正比例函数解析式,两条直线相交或平行问题21、【解答】解：（1）由图可得，点A的坐标是(−2,4).故答案为：(−2,4).(2)如图，△A由图可得，点A1坐标是(2,−4)故答案为：(2,−4).(3)由勾股定理得，CC∴CC1的长为【知识点】点的坐标22、【解答】解：（1）工厂距目的地的路程为880千米.故答案为：880千米.(2)货车的速度为(880−560)÷4=80(千米/则s=880−80t=−80t+880，当−80t+880=0时，解得t=11，∴s关于t的函数表达式为s=−80t+880(0⩽t⩽11)(3)根据题意，得60−0.1×80t=10，解得t=25答：运输过程中，当货车显示加油提醒时，t是254【知识点】一次函数的应用-其他问题23、【解答】解：（1）由图象的平移可知，一次函数为y=2x+b，将(1,1)代入y=2x+b得，2+b=1，解得，b=−1，∴这个一次函数的解析式为y=2x−1；(2)当x=−1时，y=2x−1=−3，把(−1,−3)代入y=mx+2得，−m+2=−3，解得m=5，∵当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx+2(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b∴由图象可知，2⩽m⩽5，∴m的取值范围为2⩽m⩽5.【知识点】点的坐标24、【解答】解：（1）观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理，故答案为：D；(2)如图，∵DE=EF，AE=CE，∴四边形ADCF是平行四边形.∴AB∥CF，AD=CF，∵AD=BD，∴BD=CF，∴四边形BCFD是平行四边形.∴DF∥BC，DF=BC，∴DE∥BC，∵DE=1∴DE=1(3)连接并延长BN，交AD延长线于P，如图：∵AD∥BC，∴∠NBC=∠NPD，∠NCB=∠NDP，∵CN=DN，∴△NBC≌△NPD(AAS)∴BN=PN，即N为BP的中点，BC=PD，∵M为AB的中点，∴MN是△ABP的中位线，∴AP=2MN=2b(米)，∵AD=a米，∴PD=(2b−a)∴BC=(2b−a)故答案为：(2b−a).【知识点】三角形综合题25、【解答】解：(1)y1当0⩽x⩽20时，y2=2.4x；当x>20时，∴y1关于x的函数关系式为y1=2x，y2(2)当50⩽x<60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当x=60时，在两家文具店购买这种笔记本的花费相等；当x>60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少.理由如下：如图，画出y1，y2关于由图象可知，当50⩽x<60时，y1<y2；当x=60时，y1∴当50⩽x<60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当x=60时，在两家文具店购买这种笔记本的花费相等；当x>60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少.【知识点】一次函数的应用-其他问题26、【解答】解：(1)把x=−3代入y=xx+4得y=−3−3+4故答案为：−3.(2)如图，(3)把x=−3与x=1代入kx+b=xx+4得：&由①+②得−2k+2b=−3+5即k−b=3−故答案为：3−5【知识点】有序数对27、【解答】解：补全图形见图1：(2)∠DFP=45∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∵AD=AF，∴AF=AB，∴∠ABF=∠AFB，∵∠AFB=∠AFD+∠DFP，∠ABF=∠BAF+∠APB，∴∠DFP+∠AFD=∠APB+∠BAP；由对称得AD=AF，AE⊥DF，∴∠ADF=∠AFD，∠DAP+∠ADF=∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠DAP+∠BAP=90∴∠ADF=∠BAP，∴∠AFD=∠BAP，∴∠DFP=∠APB，∵AE⊥DF，∴∠DFP=∠APB=45(3)PF+PB=证明：过点A作AM⊥AP，交PF的延长线于M，由（2）知∠APB=45∴△AMP为等腰直角三角形，∴PM=2PA，AP=AM，∵∠ABF=∠AFB，∴