2024-2025学年北京工业大学附中八年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京工业大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.(3分)下列二次根式中，最简二次根式是（）A.20B.2C.1D.0.22.(3分)下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（）A.1，2，3B.6，7，8C.1，1，3D.5，12，133.(3分)下列计算正确的是（）A.2B.3C.2D.104.(3分)下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A.B.C.D.5.(3分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，点E为BC边的中点，∠OCB=30∘，如果OE=2，那么对角线BDA.4B.6C.8D.106.(3分)下列命题中，不正确的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.矩形的对角线互相垂直且平分C.菱形的对角线互相垂直且平分D.正方形的对角线相等且互相垂直平分7.(3分)下列问题中，是正比例函数的是（）A.矩形面积固定，长和宽的关系B.正方形面积和边长之间的关系C.三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D.匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系8.(3分)正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN=2，点P，Q在正方形的边上.下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形.其中结论正确的序号有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.(3分)请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式.10.(3分)若x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.11.(3分)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过点(2,−6)，则k=12.(3分)如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为m.13.(3分)如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，与AD交于点E，BC=7，DE=3，则AB的长为.14.(3分)如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，若设学校旗杆的高度是xm，则可列方程为.15.(3分)如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长是16.(3分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，若E，F分别是AD，DC边上的动点，AE=DF，AF与BE交于点P，连接DP，则DP的最小值为.三、解答题（本题共52分，其中第17、18、19题，每题4分；第20、21、24题，每题5分：第22、23、26题，每题6分；第25题7分）17.(4分)计算：6118.(4分)已知x=3+2，求代数式19.(4分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接EF，AC交于点O.求证：OE=OF.20.(5分)下面是小明设计的“作一个以已知线段为对角线正方形”的尺规作图过程.已知：线段AC，求证：四边形ABCD为正方形.作法：如图，①作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O；②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；③顺次连接AB，BC，CD，DA；所以四边形ABCD为所作正方形.根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务.(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹）(2)完成下面的证明.证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形.∵OA=OB=OC=OD即AC=BD.∴▱ABCD为______(______)(填写推理依据)。∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形(______).(填写推理依据)21.(5分)如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，AC=16，DB=12，DH⊥AB于点H，求DH的长.22.(6分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.(1)求证：四边形ABEF是矩形；(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45∘，求23.(6分)有这样一个问题：探究函数y=|x|−1的图象与性质.小彤根据学习函数的经验，对函数y=|x|−1的图象与性质进行了探究.下面是小彤探究的过程，请补充完整：(1)函数y=|x|−1的自变量x的取值范围是______；(2)如表是y与x的几组对应值：x…−4−3−2−101234…y…3m10−10123…则m的值为______；(3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系xOy，并画出函数y=|x|−1的图象；(4)观察图象，写出该函数的一条性质______.24.(5分)材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：2x−3x+1材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到.如：x2∵(x+2∴(x+2)2+1⩾1∴x2+2解决下列问题：(1)如果分式2x+32x+2可以变形为a+bx+2(a(2)求分式3x25.(7分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为CD边上一点，连接AP，E为△ABC内一点，且∠EAP=12∠BAD，点E关于直线AP的对称点为点F，EF与AP交于点G，连接BE，(1)依题意补全图形；(2)求证：BE=DF；(3)连接OG，若∠BAD=60∘，用等式表示线段BE与26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”.图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图.​已知点A的坐标为(1,4)，点B的坐标为(b,0).(1)如果b=3，那么R(−1,0)，S(5,4)，T(6,4)中能够成为点A(2)如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标.(3)如图2，在矩形OEFG中，F(3,2)，点M的坐标为(m,3)，如果在矩形OEFG上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m2024-2025学年北京工业大学附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1、【答案】B【知识点】最简二次根式2、【答案】D【知识点】勾股定理的逆定理3、【答案】C【知识点】二次根式的混合运算4、【答案】D【知识点】函数的概念5、【答案】C【知识点】矩形的性质6、【答案】B【知识点】命题与定理7、【答案】D【知识点】正比例函数的定义8、【答案】B【知识点】平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的判定与性质二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9、【答案】y=x【知识点】正比例函数的性质10、【答案】x⩾−1【知识点】二次根式有意义的条件11、【答案】−3【知识点】一次函数图象上点的坐标特征12、【答案】60【知识点】三角形中位线定理13、【答案】4【知识点】平行四边形的性质14、【答案】x【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程,勾股定理的应用15、【答案】3cm【知识点】翻折变换（折叠问题）,矩形的性质16、【答案】2【知识点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质三、解答题（本题共52分，其中第17、18、19题，每题4分；第20、21、24题，每题5分：第22、23、26题，每题6分；第25题7分）17、【解答】解：原式=3=52【知识点】二次根式的混合运算18、【解答】解：∵x=3∴===(=3−1=2.【知识点】二次根式的化简求值19、【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，在△AEO和△CFO中，&∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO(AAS)∴OE=OF.【知识点】平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质20、【解答】(1)解：如图四边形ABCD为所作正方形；(2)证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形.∵OA=OB=OC=OD即AC=BD.∴▱ABCD为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形)。故答案为：矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形.【知识点】平行四边形的判定与性质21、【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=8，OB=OD=6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB=A∵SS菱形ABCD∴DH·10=1∴DH=48【知识点】菱形的性质22、【解答】(1)证明：∵在▱ABCD中，∴AD∥BC且AD=BC，∴∠ADF=∠BCE，在△ADF和△BCE中，∵∴△ADF≌△BCE(SAS)∴AF=BE，∠AFD=∠BEC=90∴AF∥BE，∴四边形ABEF是矩形；(2)解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，∴EF=AB=6，∵DE=2，∴DF=CE=4，∴CF=4+4+2=10，Rt△ADF中，∠ADF=45∴AF=DF=4，由勾股定理得：AC=A∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∴OF=1【知识点】平行四边形的性质,矩形的判定与性质23、【解答】解：（1）由题知，函数y=|x|−1的自变量x的取值范围是任意实数.故答案为：任意实数.(2)将x=−3代入y=|x|−1得，y=2，所以m的值为2.故答案为：2.(3)函数图象，如图所示，(4)由（3）中的函数图象可知，该函数的一条性质为：函数的最小值为−1.故答案为：函数的最小值为−1(答案不唯一)。【知识点】一次函数的性质24、【解答】解：(1)∵====2+2∴a=2，b=2故答案为：2，2(2)原式====−3+=−3+4∵(x+3∴当x+3=0时，(x+3)2∴−3+4(x+3)2+2的最大值为：【知识点】分母有理化25、【解答】(1)解：如图1，(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠CAD=12∠BAD∵∠EAP=1∴∠EAP=∠BAC，∴∠EAP−∠EAC=∠BAC−∠EAC，∴∠BAE=∠CAP，∵点E关于直线AP的对称点为点F，∴∠EAP=∠PAF，AE=AF，同理可得，∠DAE=∠CAP，∴∠DAE=∠BAE，∴△BAE≌△DAF(SAS)∴BE=DF；(3)解：如图2，OG=3∵点E关于直线AP的对称点为点F，∴AE=AF，AG⊥EF，∠EAF=2∠EAG=2∠FAG，∵∠EAF=1∴∠EAF=60∴△AEF是等边三角形，∴AG∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△ABD是等边三角形，AC⊥BD，∴OA∴AG由（2）知，∠BAE=∠CAP，∴△BAE∽△OAG，∴OG∴OG=3【知识点】四边形综合题26、【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知S、R能够成为点A，B的“相关菱形”顶点.故答案为：S、R.(2)如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点.∵点A