2024-2025学年北京三十五中八年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京三十五中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）．1.(2分)下列四个式子中，最简二次根式为（）A.(−2B.12C.3D.72.(2分)下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A.2，3，4B.6，8，11C.5，12，14D.1，1，23.(2分)下列各式中，从左向右变形正确的是（）A.4B.(−3C.6D.84.(2分)如图，在▱ABCD中，∠A+∠C=110∘，则A.70B.110C.120D.1255.(2分)下列命题中正确的是（）A.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组对边平行的四边形是平行四边形6.(2分)在平面直角坐标系xOy中，点P(x1，y1)，Q(x2，A.点P在第二象限B.坐标原点不在此函数图象上C.yD.y7.(2分)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB=CD，∠ABD=30∘，∠BDC=80A.15B.25C.30D.358.(2分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的点，AE=AF，且AE<ED，过点E作EH⊥BC于点H，过点F作FG⊥CD于点G，EH，FG交于点O，连接OB，OD，BD.设AE=a，ED=b，BD=c，给出下面三个结论：①a+b>a2+b2；②A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）．9.(2分)函数y=x−5自变量x的取值范围是10.(2分)已知正比例函数y=kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式.11.(2分)直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为.12.(2分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=2，∠AOB=60∘，则BD的长为13.(2分)一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是.14.(2分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合),PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=4，∠BAD=60∘，则EF的最小值为15.(2分)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示.在图2中，若正方形ABCD的边长为7，正方形IJKL的边长为1，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为.16.(2分)甲车与乙车同时从M地出发去往N地，如图所示，折线O−A−B−C和线段OC分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往N地，两车同时到达N地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达N地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米.其中正确的有.​三、解答题（本题共68分，17题10分，19、26每题8分，18、20-25每题6分）．17.(10分)计算：(1)25(2)48÷18.(6分)下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BO是斜边求证：BO=1方法一证明：如图，延长BO至点D，使得OD=OB，连接AD，CD.方法二证明：如图，取BC的中点D，连接OD.19.(8分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求作：以AC为对角线的矩形ADCE.作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；③连接AE，CE.四边形ADCE为所求的矩形.(1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成以下证明.证明：∵AE=CD，CE=AD，∴四边形ADCE为平行四边形(______).(填推理的依据)由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB=AC，∴AD⊥BC(______).(填推理的依据)∴∠ADC=90∘∴平行四边形ADCE是矩形(______).(填推理的依据)20.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点.(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)若AB=10，BC=16，求四边形AEDF的面积.21.(6分)如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长.22.(6分)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y=−kx+3的图象交于点(2,1).（1）求k，b的值；（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数y=−kx+3的值，直接写出m的取值范围.23.(6分)数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计.经过实验测量，他们得到了6组拉力x(N)与弹簧长度y弹簧受到的拉力x(单位：N)0510152025弹簧的长度y(单位：cm)6810121416(1)在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；(2)结合表中数据，求出弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式；(3)若弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值.24.(6分)邻边比为5−12的矩形叫做“黄金矩形”.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD剪出一个以AB为边的黄金矩形ABMN①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F；②连接AF，作∠BAF的角平分线，交BC于点M；③过点M作MN⊥AD于点N.矩形ABMN即为所求.小松证明四边形ABMN是黄金矩形的思路如下，请补全小松的证明.作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x，根据角平分线的性质，可知MP=BM=x.根据条件，可求得AF的长度为______，AP的长度为______.在Rt△MPF和Rt△CMF中，由勾股定理可得MP由此可列关于x的方程为______.解得BM=x=______.所以矩形ABMN为黄金矩形.25.(6分)有这样一个问题，探究函数y=|x−1|+x+12的图象与性质.小范根据学习函数的经验，对函数y=(1)化简函数解析式，当x⩾1时，y=______，当x<1时，y=______；(2)根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y=|x−1|+x+1(3)结合函数图象，写出该函数的一条性质：______；(4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1=|x−1|+x+12只有一个实数解，直接写出实数26.(8分)在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF=EB.(1)如图1，当点E在线段AO上（不与端点重合）时，①求证：∠AFE=∠ABE；②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明；(2)如图2，当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系.四、选做题（共10分，第27题4分，第28题6分）27.(4分)甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A、B、C、D四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色.两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如表所示：ABCD甲9568乙7793(1)如果按照A→B→C→D的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为分钟；(2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是.28.(6分)在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段PP1，PP2的中点，连接P1P2，我们称线段P(1)已知点M(2,2)，点P关于线段OM的“关联点”是点Q①若点P的坐标是(2,0)，则点Q的坐标是______；②若点E的坐标是(1,−1)，点F的坐标是(3,−1).点P是线段EF上任意一点，求线段PQ长的取值范围；(2)点A是直线l:y=x+1上的动点.在矩形ABCD中，边AB∥x轴，AB=3，BC=2.点P是矩形ABCD边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q.过点A作x轴的垂线，垂足为点G.设点G的坐标是(t,0).当点A沿着直线l运动到点A'时，点G沿着x轴运动到点G'(t+m,0)，点Q覆盖的区域的面积S满足20⩽S⩽302024-2025学年北京三十五中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）．1、【答案】D【知识点】最简二次根式2、【答案】D【知识点】勾股定理的逆定理3、【答案】B【知识点】二次根式的混合运算4、【答案】D【知识点】平行四边形的性质5、【答案】A【知识点】命题与定理6、【答案】D【知识点】一次函数图象上点的坐标特征7、【答案】B【知识点】三角形中位线定理8、【答案】A【知识点】正方形的性质二、填空题（本题共16分，每小题2分）．9、【答案】x⩾5【知识点】函数自变量的取值范围10、【答案】y=−x(答案不唯一)【知识点】正比例函数的性质11、【答案】5cm【知识点】直角三角形斜边上的中线,勾股定理12、【答案】4【知识点】等边三角形的判定与性质,矩形的性质13、【答案】x>2【知识点】一次函数的图象,一次函数的性质14、【答案】3【知识点】垂线段最短,等边三角形的判定与性质,菱形的性质,矩形的判定与性质,轴对称的性质15、【答案】5【知识点】数学常识,勾股定理的证明16、【答案】②③④【知识点】函数的图象三、解答题（本题共68分，17题10分，19、26每题8分，18、20-25每题6分）．17、【解答】解：(1)2=2=35(2)48==4−2=2.【知识点】二次根式的混合运算18、【解答】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD=OB，连接AD，CD，∵BO是斜边AC的中线，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC=90∴四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵BO=DO=1∴BO=1方法二：如图，取BC的中点D，连接OD，∵点O是AC的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AB，∴∠ODC=∠ABC=90∴OD是BC的垂直平分线，∴OB=OC，∵AO=CO=1∴BO=1【知识点】直角三角形斜边上的中线19、【解答】(1)解：图形如图所示：(2)证明：∵AE=CD，CE=AD，∴四边形ADCE为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB=AC，∴AD⊥BC(三线合一)，∴∠ADC=90∴平行四边形ADCE是矩形（有一个角是90∘故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，三线合一，有一个角是90∘【知识点】平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,作图—复杂作图,作一个角的平分线20、【解答】(1)证明：∵AB=AC，∴1∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴AE=12AB∴AE=AF，∵点D为BC的中点，∴DF=12AB∴AE=DF，AF=DE，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形.(2)解：∵AB=AC=10，BC=16，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，∴EF=12BC=8，BD=CD=∴∠ADB=90∴AD=A∵四边形AEDF是菱形，∴AD⊥EF，∴S∴四边形AEDF的面积为24.【知识点】等腰三角形的性质,三角形中位线定理,菱形的判定与性质21、【解答】解：∵△ABF≌△AEF，∴AE=AB=5.在矩形ABCD中，AD=BC=4，在Rt△ADE中，AD∴DE=3，CE=CD−DE=2.设FC=x，则EF=BC−FC=4−x.在Rt△ECF中，EF即(4−x)28x=12，x=3∴FC=3【知识点】矩形的性质,翻折变换（折叠问题）22、【解答】解：(1)∵直线y=−kx+3点(2,1)，∴−2k+3=1，解得k=1，将点(2,1)代入y=x+b得：2+b=1，解得b=−1.(2)∵当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x−1的值，也大于函数y=−x+3∴m⩾1.∴m的取值范围是m⩾1.【知识点】点的坐标,两条直线相交或平行问题23、【解答】解：（1）描点、连线如图所示：(2)设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y=kx+b，将(0,6)，(5,8)代入函数解析式得，&b=6解得：&k=故弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y=2(3)当y=30cm，2解得：x=60，故弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值为60N.【知识点】一次函数的应用-其他问题24、【解答】解：如图，作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x，则CM=2−x，根据角平分线的性质，可知MP=BM=x，∵EF是AB的垂直平分线，∴DF=CF=1∴AF=A在Rt△ABM和Rt△APM中，&AM=AM∴Rt△ABM≌Rt△APM(HL)∴AP=AB=2，∴PF=AF−AP=5在Rt△MPF和Rt△CMF中，由勾股定理可得MP∴x解得x=5即BM=5∴BM∴矩形ABMN为黄金矩形.故答案为：5；2；x2+(【知识点】四边形综合题25、【解答】解：（1）当x⩾1时，y=x−1+x+12=x，当x<1时，故答案为：x；1；(2)根据（1）中的结果，在所给坐标系中画出函数y=|x−1|+x+1(3)结合函数图象，该函数的一条性质为：不过原点；故答案为：不过原点；(4)∵y=ax+1过点(0,1)∴当a<0或a⩾1时，方程ax+1=|x−1|+x+1故答案为：a<0或a⩾1.【知识点】有序数对26、【解答】(1)①证明：如图1，过点E作MN⊥AD于N，交BC于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90∘，AB=BC=AD，∵MN⊥AD，∴四边形ABMN是矩形，△ANE是等腰直角三角形，∴AB=MN，AN=BM，AN=NE，AE=2∴NE=BM，又∵EF=BE，∴Rt△EFN≌Rt△BEM(HL)∴EM=FN，∠AFE=∠BEM，∵AB∥MN，∴∠ABE=∠BEM，∴∠AFE=∠ABE；方法二，连接DE，∵AD=AB，∠BAE=∠DAE=45∘，∴△ABE≌△ADE(SAS)∴BE=DE，∠ABE=∠ADE，∵BE=EF，∴BE=DE=EF，∴∠AFE=∠ADE，∴∠AFE=∠ABE；②解：AB=2∵AB=MN=NE+EM，∴AB=NE+AF+NE=2NE+AF=2方法二、如图，过点E作EH⊥AC，交AB于H，∵∠BAC=45∘，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AE=EH，AH=2AE，∴∠EAF=∠EHB=135又∵∠AFE=∠ABE，∴△AEF≌△HEB(AAS)∴AF=BH，∴AB=2(2)解：AB=2如图2，过点E作MN⊥AD于N，交BC于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90∘，AB=BC=AD，∵MN⊥AD，∴四边形ABMN是矩形，△ANE是等腰直角三角形，∴AB=MN，AN=BM，AN=NE，AE=2∴NE=BM，又∵EF=BE，∴Rt△EFN≌Rt△BEM(HL)∴EM=FN，∵AB=MN=NE+EM，∴AB=NE+AN−AF=2NE−AF=2【知识点】四边形综合题四、选做题（共10分，第27题4分，第28题6分）27、【答案】35,B−C−A−D或B−C−D−A【知识点】二元一次方程组的应