2024-2025学年北京海淀区首师大附中七年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.(3分)《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力.通过平移图“哪吒头像”可以得到的图形是（）A.B.C.D.2.(3分)下列运算正确的是（）A.9B.3C.−D.(−33.(3分)下列四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（）A.B.C.D.4.(3分)在平面直角坐标系中，如果点P(−2,a−1)在第二象限，那么aA.−2B.0C.1D.25.(3分)若x>y，则下列不等式一定成立的是（）A.1+x<1+yB.−2x<−2yC.3x<3yD.1−x>1−y6.(3分)如图，AB⊥AC，∠CAD=37∘，DE∥AB,则A.120B.127C.133D.1437.(3分)3月14日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动.活动中，小阳和小光展开了如下对话：小阳说：“我比你多解了3道题!”小光回应：“如果你给我3道题，我的解题数量就是你的两倍啦.”若两人的陈述均为真，设小阳解了x道题，小光解了y道题，则可列方程组（）A.&B.&C.&D.&8.(3分)若将关于x，y的方程组&3x−2y=4&2x+y=7的解记作&A.−1B.2C.8D.119.(3分)如图，电子宠物P在圆上运动，点O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收.若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中______号点的位置时，接收到的信号最强.（）A.①B.②C.③D.④10.(3分)在平面直角坐标系xOy中，点P(x1，n)，Q(x2，n)位于第四象限，其中x1<x2，连接PQ，①当n=−2a时，存在∠PQO=45②若点Q到两坐标轴距离相等，则三角形PMO的面积可表示为12③若三角形PMO的面积为3，则总有2(x上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11.(3分)若&x=3&y=−2是关于x，y的方程ax+y=7的一组解，则a12.(3分)比较大小：521.(填“>”或“<”或“13.(3分)如图，请添加一个条件，使得AB∥CD，则可以添加的条件是.(写出一个即可）14.(3分)平面直角坐标系中，点A(−2,1)，若AB∥y轴，且AB=2，则点B的坐标为15.(3分)已知正数a的平方根为x和y，若xy=−5，则a的值为.16.(3分)甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵.甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树.(1)若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要天完成；(2)若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少天.三、解答题（本大题共10小题，共52分，第17题5分，第18题6分，第19～20题，每题5分，第21～23题，每题4分，第24～25题，每题6分，第26题7分）17.(5分)计算：16−18.(6分)求出下列等式中x的值：(1)2x(2)x19.(5分)解下列方程组：&x−2y=5&20.(5分)完成下面的证明：已知：如图，∠BED=∠B+∠D.求证：AB∥CD.证明：过点E作EF∥AB∴∠B=______(依据：______).∵∠BED=∠BEF+∠DEF，∠BED=∠B+∠D，∴∠D=∠DEF.∴______∥______(依据：______).∴AB∥CD(依据：______).21.(4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A(4,1)，B(2,−2).过点B作x轴的垂线，垂足为M，在BM的延长线上截取MC=BM，将线段AB平移得到线段CD(其中点A的对应点为点C，点B的对应点为点D)(1)补全图形，直接写出点C和点D的坐标；(2)直接写出三角形ABD的面积.22.(4分)如图，已知______，且AD∥BC，求证：______.给出下列两个条件：①∠B=∠C；②∠EAD=∠CAD.请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明.证明：23.(4分)列二元一次方程组解决实际问题：为丰富课余生活，加强体育锻炼，七年级（1）班计划购置跳绳和排球作为锻炼器材.已知购买2个排球和5根跳绳共需350元；购买4个排球和3根跳绳则需490元.该班共有45名学生，需为每人配备1根跳绳，且每三名学生共用1个排球.若该班统一采购这两种器材，已筹集经费2700元.请问这笔经费是否能满足本次采购需求？24.(6分)定义：对于关于x，y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c)，若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的“对称方程”.例如方程3x+2y=7的“对称方程”为7x+2y=3.(1)写出方程2x−3y=−1的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；(2)若关于x，y的二元一次方程3x+my=8与它的“对称方程”组成的方程组的解为&x=m&y=n，求m(3)若关于x，y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a−b+c=0，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx+ny=P的一个解，直接写出代数式(m−n)m+p(n−p)+202525.(6分)如图1，直线MN上点P位于点Q的左侧，点A，B位于MN的上方，点C，D位于MN的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持∠CPD=∠AQB=45(1)∠AQB和∠CPD是否可能为对顶角______(填“是”或“否”)。(2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当PC∥BQ时，请在图2中补全图形，试判断AQ与PD的位置关系，并说理.(3)当PC∥AQ时，若设∠DPQ=α，∠BQN=β，直接写出α与β之间的数量关系（用等式表示)。26.(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b)，定义点P'(b,a)为点P的“镜像点”，给定一个长方形EFMN，若点P(a,b)，P'(1)写出点A(5(2)若长方形EFMN顶点的坐标分别为E(−2,1)，F(−2,−3)，M(3,−3)①点H(−2,0)，K(3，1)，G②若点P(a,0)是长方形EFMN的“内含镜像点”，则a(3)已知动点T(1,a)，其中−1⩽a⩽4.若点T是长方形EFMN的“内含镜像点”，则满足条件的长方形EFMN面积S2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1、【答案】A【知识点】生活中的平移现象2、【答案】C【知识点】立方根3、【答案】B【知识点】对顶角、邻补角4、【答案】D【知识点】点的坐标5、【答案】B【知识点】不等式的性质6、【答案】B【知识点】垂线,平行线的性质7、【答案】A【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组8、【答案】D【知识点】二元一次方程组的解9、【答案】A【知识点】弧长的计算10、【答案】D【知识点】点的坐标二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11、【答案】3【知识点】二元一次方程的解12、【答案】>【知识点】实数大小比较,算术平方根13、【答案】∠C=∠FEB(答案不唯一)【知识点】平行线的判定14、【答案】(−2,−1)或(−2,3)【知识点】点的坐标,坐标与图形性质15、【答案】5【知识点】平方根16、【答案】33,5【知识点】三元一次方程组的应用,一元一次方程的应用-工程问题三、解答题（本大题共10小题，共52分，第17题5分，第18题6分，第19～20题，每题5分，第21～23题，每题4分，第24～25题，每题6分，第26题7分）17、【解答】解：原式=4−3+3+=3+2【知识点】实数的运算18、【解答】解：(1)2x2∴x=6或x=−6；(2)xx3x3∴x=−2.【知识点】平方根,立方根19、【解答】解：根据题意得：&x−2y①①×2+②得：5x=35，解得：x=7，把x=7代入①中得：7−2y=5，解得：y=1，方程组的解为：&x=7【知识点】解二元一次方程组20、【解答】证明：过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF(两直线平行，内错角相等)。∵∠BED=∠BEF+∠DEF，∠BED=∠B+∠D，∴∠D=∠DEF.∴EF∥CD(内错角相等，两直线平行)。∴AB∥CD(平行于同一直线的两直线互相平行)。故答案为：∠BEF；两直线平行，内错角相等；EF；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行.【知识点】平行线的判定与性质21、【解答】解：(1)如图，线段MC和线段CD即为所求.由图可得，点C的坐标为(2,2)，点D的坐标为(0,−1).(2)三角形ABD的面积为12【知识点】点的坐标22、【解答】如图，已知∠B=∠C，且AD∥BC，求证：∠EAD=∠CAD，证明：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，∵∠B=∠C，∴∠EAD=∠CAD，故答案为：∠B=∠C；∠EAD=∠CAD.【知识点】命题与定理23、【解答】解：这笔经费不能满足本次采购需求，理由如下：设排球的单价为x元，跳绳的单价为y元，根据题意得：&2x+5y=350解得：&x=100∴45∵2850>2700，∴这笔经费不能满足本次采购需求.【知识点】二元一次方程组的应用-方案问题24、【解答】解：（1）方程2x−3y=−1的“对称方程”是−x−3y=2，&2x−3y=−1①①−②，得3x=−3，解得x=−1，将x=−1代入②，得1−3y=2，解得y=−1∴方程组的解为&x=−1故答案为：−x−3y=2，&x=−1(2)关于x，y的二元一次方程3x+my=8与它的“对称方程”组成的方程组为&3x+my=8将&x=m&y=n得&3m+mn=8①①−②，得−5m=5，解得m=−1，将m=−1代入①，得−3−n=8，解得n=−11，∴&(3)关于x，y的二元一次方程ax+by=c与它的“对称方程”组成的方程组为&ax+by=c①①−②，得(a−c)x=c−a解得x=−1，将x=−1代入①，得−a+by=c，解得y=a+c∵a−b+c=0，∴a+c=b，∴y=1，∴方程组的解为&x=−1将&x=−1&y=1代入mx+ny=P，得−m+n=p∴(m−n)m+p(n−p)+2025=−pm+pm+2025=2025【知识点】二元一次方程组的特殊解法25、【解答】解：(1)∵点P位于点Q∴点P与点Q不共点，∴∠AQB和∠CPD没有公共顶点，∴∠AQB和∠CPD不可能为对顶角，故答案为：否；(2)补全图形，如图，PD∥AQ，理由如下：∵PC∥BQ，∴∠CPQ=∠BQP，∵∠CPD=∠AQB=45∴∠CPQ−∠CPD=∠BQP−∠AQB，∴∠DPQ=∠AQP，∴PD∥AQ；(3)当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图，∵PC∥AQ，∴∠CPQ=∠AQP，∴45整理得α+β=90当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图，∵PC∥AQ，∴∠CPQ=∠AQP，∴α−45整理得α+β=180当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图，∵PC∥AQ，∴∠CPQ=∠AQP，∴α+45整理得α+β=180当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图，∵PC∥AQ，∴∠CPQ=∠AQP，∴α−45整理得α+β=270综上，α与β之间的数量关系为α+β=90∘或α+β=180【知识点】平行线的性质26、【解答】解：（1）由题意得：点A(5，−1)的“镜像点”的坐标为(−1，故答案为：(−1，5)(2)①如图1，∵点(0,−2)在长方形EFMN内部，∴点H(−2,0)是长方形EFMN∵点(1，3)不