2024-2025学年北京顺义区仁和中学七年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京市顺义区仁和中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1.(2分)下列不等式一定成立的是（）A.x+2<x+3B.5a>4aC.−a>−2aD.42.(2分)叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米.其中，0.00005用科学记数法表示为（）A.5×B.5×C.0.5×D.50×3.(2分)下列算式计算结果为a6A.aB.aC.aD.(4.(2分)不等式组&x+9<5x+1&x>a+1的解集是x>a+1A.a⩽2B.a⩾2C.a⩽1D.a⩾15.(2分)将多项式4aA.4B.4(C.(2a−2)D.46.(2分)方程组&2x+y=7A.x−2y=2B.x+2y=2C.x+y=−3D.x−y=37.(2分)如图，线段AB上有C、D两点，且AD=13AB，C是AD的中点，若DB=10，则线段A.15B.10C.5D.2.58.(2分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱.问优质酒、普通酒各买多少斗？如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（）A.&B.&C.&D.&二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）9.(2分)x的2倍与5的差大于13，用不等式表示为.10.(2分)如果把方程2x+y=1改写成用含x的代数式表示y的形式，那么y=.11.(2分)如果&x=1&y=2是关于x，y的方程ax+3y=8的解，那么12.(2分)分解因式：m2n−2mn+n=13.(2分)下列多项式：①16a4−1；②(a+1)2−4a(a+1)+414.(2分)若关于x的不等式组&3−2x>0&x⩾m有且只有2个整数解，则m15.(2分)综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有(填序号)。16.(2分)某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下：工艺品型号含甲种原料的重量/kg含乙种原料的重量/kg工艺品的重量/kgA347B325C235现要用甲、乙两种原料共31kg，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个.(1)若31kg原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为；(2)若使用甲种原料不超过13kg，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号工艺品的个数依次为.三、解答题（本题共68分，第17、18、20、21、23题，每小题5分，第19题16分，第22题6分，第24-26题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.(5分)解不等式组&5x−1⩽3(x+1)，18.(5分)解方程组：&2x+y=519.(16分)计算：(1)(2x(2)(3a−2)(4a−1)(3)(a+b)(4)(16x20.(5分)已知2x2−x−1=021.(5分)每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书.经市场调查发现，若购买A种书柜3个，B种书柜2个，共需资金1020元；若购买A种书柜1个，B种书柜3个，共需资金900元.(1)A、B两种规格的书柜的单价分别是多少？(2)若该校计划购买这两种规格的书柜共20个.学校至多投入4350元的资金购买书柜，则B种书柜最多可以购买多少个？22.(5分)已知关于x、y的方程组&x+2y=5(1)请写出x+2y=5的所有正整数解；(2)若方程组的解满足x+y=0，求m的值；(3)如果方程组有正整数解，求整数m的值.23.(6分)如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如4=22−0，12=42−2，20=6(1)24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？(2)试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数.(3)是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？24.(7分)学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1：∴278÷12=232，∴(x小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图（图3)，如下：(1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______；(2)多项式3x2−11x+10(3)已知x3+2x2−ax−10(4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为(a+8b)的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由.25.(7分)如图，点O是直线AB上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点O作射线OE平分∠BOC.(1)如图1，如果∠AOC=50∘，依题意补全图形，并出求(2)当直角三角板绕点O顺时针旋转一定的角度得到图2，使得直角边OC在直线AB的上方，若∠AOC=α，其他条件不变，请你用含α的代数式表示∠DOE的度数；(3)当直角三角板绕点O继续顺时针旋转一周，回到图1的位置，在旋转过程中你发现∠AOC与∠DOE(0∘⩽∠AOC⩽26.(7分)不妨约定：关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a，b，c为常数，且abc≠0)，若系数满足a+b=2c，则称这个方程为“开心”方程.例如：方程4x+2y=3，其中a=4，b=2，c=3，满足a+b=2c，且abc≠0，则方程4x+2y=3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组.根据上述规定，回答下列问题：(1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）；①4x+y=10______；②12x−1(2)若关于x，y的“开心”方程组&ax+y=b&x+by=a+2的解为&(3)关于x，y的“开心”方程组&mx+ny=−k2&(t−n)x+(m−t−2k)y=1满足n<k⩽m，其中n，m，k为整数，t2024-2025学年北京市顺义区仁和中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1、【答案】A【知识点】不等式的性质2、【答案】A【知识点】科学记数法—表示较小的数3、【答案】D【知识点】合并同类项,同底数幂的乘法,同底数幂的除法4、【答案】D【知识点】解一元一次不等式组5、【答案】A【知识点】因式分解-运用公式法,提公因式法与公式法的综合运用6、【答案】B【知识点】二元一次方程组的解,二元一次方程的解7、【答案】D【知识点】两点间的距离8、【答案】A【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）9、【答案】2x−5>13【知识点】不等式的定义10、【答案】1−2x【知识点】解二元一次方程11、【答案】2【知识点】二元一次方程的解12、【答案】n【知识点】提公因式法与公式法的综合运用13、【答案】①③【知识点】因式分解-运用公式法14、【答案】−1<m⩽0【知识点】一元一次不等式组的整数解15、【答案】①②③【知识点】平方差公式16、【答案】3个,2，1，2【知识点】一元一次不等式的应用三、解答题（本题共68分，第17、18、20、21、23题，每小题5分，第19题16分，第22题6分，第24-26题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17、【解答】解：&5x−1⩽3(x+1)①∵由①，得x⩽2，由②，得x>−2∴原不等式组的解集为−2∴原不等式组的所有整数解为0，1，2.【知识点】解一元一次不等式组,一元一次不等式组的整数解18、【解答】解：&2x+y=5①①×4+②得：11x=22，解得：x=2，把x=2代入①得：y=1，则方程组的解为&x=2【知识点】解二元一次方程组19、【解答】(1)(2=8=7x(2)=12=12a(3)==a(4)(16=16=−2x【知识点】整式的混合运算20、【解答】解：(3x+2)=9=6x∵2x∴2x当2x2−x=1【知识点】整式的混合运算—化简求值21、【解答】解：（1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，依题意得：&3x+2y=1020解得：&x=180答：A种书柜的单价是180元，B种书柜的单价是240元.(2)设购买B种书柜m个，则购买A种书柜(20−m)个，依题意得：180(20−m)+240m⩽4350解得：m⩽25又∵m为整数，∴m的最大值为12.答：B种书柜最多可以购买12个.【知识点】一元一次不等式的应用22、【解答】解：（1）方程x+2y=5，解得：x=−2y+5，当y=1时，x=3；当y=2，x=1；即解为&x=3&y=1(2)联立得&x+2y=5解得&x=−5代入x−2y+mx+9=0得：−5−10−5m+9=0，解得m=−6(3)∵&x=3&代入x−2y+mx+9=0得，3−2+3m+9=0或1−4+m+9=0解得：m=−103∴整数m的值为−6.【知识点】二元一次方程组的特殊解法23、【解答】解：(1)∵20=62∴24不是“聪明数”，∵36=10∴36是“聪明数”；(2)设两个连续偶数为2k，2k+2，则(2k+2)2∵2k+1是奇数，∴4(2k+1)不是8的倍数.即所有的“聪明数”都不是8(3)设两个连续奇数为2m−1和2m+1(m⩾0)其平方差为：(2m+1)2由（2）可得，所有的“聪明数”都不是8的倍数，∴不存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”.【知识点】平方差公式24、【解答】解：（1）余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数，故答案为：当余式的次数低于除式的次数；(2)列竖式如下：∴多项式3x2−11x+10除以多项式x−2，所得的商式为3x−5，故答案为：3x−5；(3)列竖式如下：∵x3+2∴2(8−a)−10=0解得：a=3，故答案为：3；(4)能，理由如下：根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b∴1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片的总面积为a2列竖式如下：∵余式为0，∴a2+9ab+8b2∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为(a+8b)的长方形，另一边长为(a+b).【知识点】整式的除法25、【解答】解：（1）如图1，补全图形；解题思路如下：①由∠AOC+∠BOC=180∘，得∠BOC=140②由OE平分∠BOC，得∠COE=70③由直角三角板，得∠COD=90④由∠COD=90∘，得∠DOE=20(2)①由∠AOC+∠BOC=180∘，得∠BOC=180②由OE平分∠BOC，得∠COE=90③由直角三角板，得∠COD=90④由∠COD=90∘，得∠DOE=1(3)∠DOE=12∠AOC(【知识点】角平分线的定义,角的计算,余角和补角26、【解答】解：(1)对于方程4x+y=10，a=4，b=1，c=10，∵a+b=5≠2×10=2c，∴方程4x+y=10不是开心方程；对于方程12x−1∵a+b=∴方程12对于