2024-2025学年北京西城外国语学校七年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京市西城外国语学校七年级（下）期中数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共16分）1.(2分)8的立方根是（）A.2B.±2C.−2D.5122.(2分)下列命题中的真命题是（）A.邻补角互补B.两点之间，直线最短C.同位角相等D.同旁内角互补3.(2分)若&x=2&y=1是二元一次方程x−my=1A.−1B.−C.1D.14.(2分)如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A.∠3=∠4B.∠D=∠DCEC.∠1=∠2D.∠D+∠ACD=1805.(2分)如图，直线a∥b,点B在直线b上，AB⊥BC，∠1=25∘，那么A.65B.55C.25D.756.(2分)已知a，b满足方程组&2a−b=2&a+2b=6A.4B.8C.−4D.−87.(2分)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”.意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同)，称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计)。问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A.&B.&C.&D.&8.(2分)某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目.规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级)，第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分(a>b>c，a，b，c均为正整数)；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和.该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c和a的值分别为（）A.7，4B.8，5C.9，5D.8，4二、填空题（每小题2分，共16分）9.(2分)6的平方根为.10.(2分)在实数−3、0、−3、3中，最小的实数是11.(2分)如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则AB的长度为；若点A对应的数是−4，则点B对应的数是.12.(2分)点P(−2,1)向上平移2个单位后的点的坐标为13.(2分)如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是平方米.14.(2分)如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点15.(2分)已知：OA⊥OC，∠AOB:∠AOC=2:3.则∠BOC的度数为.16.(2分)如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0∘<α<180∘)三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题12分，第20～23题每题6分，共54分）17.(8分)求下列各式的x值.(1)x(2)118.(10分)计算：(1)1(2)319.(12分)解方程组(1){(2){20.(6分)如图，四边形ABCD中,AD∥BC.(1)画线段CE⊥AB，垂足为E，画直线DF⊥BC，垂足为F；测得点C到AB的距离为______cm(精确到mm)；测得点C到DF的距离为______cm(精确到mm).(2)连接CA，不测量比较下列两条线段的大小：CE______CA(用“>”或“<”或“=”填空）依据是______.21.(6分)完成下面的证明.已知：如图，D是∠ABC平分线上一点,DE∥BC交AB于点E.求证：∠1=2∠2.证明：∵DE∥BC，∴∠1=∠______(______)，∠2=∠______(______).∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠______.∴∠1=2∠2.22.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,2)，B(1,0)，C(5,−3)，三角形ABC中任意一点P(x0，y0)，经平移后对应点为P'(x0−6，y0+2)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A(1)点A'的坐标为______，点B(2)①画出三角形A'②写出三角形A'(3)过点A'作A'D∥y轴，交B'C23.(6分)如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，∠A=∠D，∠1=∠2，求证：∠B=∠C.四、解答题（本题共2个小题，第24小题6分，第25小题8分，共14分）24.(6分)为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车.计划购买A型和B型两种公交车（两种都需购买），其中每台的价格，年载客量如表：A型B型价格（万元/台)ab年载客量（万人/年)60100若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.(1)求a，b的值；(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由.25.(8分)长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a∘/秒，灯B转动的速度是b∘/秒，且a，b满足|a−3|+b−1=0(1)求a，b的值；(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明.(3)如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行.五、选做题（本题共10分，第26题4分，第27题6分，计入总分但总分不超过26.(4分)如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上.并求出所画正方形的边长.27.(6分)在平面直角坐标系xOy中，对于点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，定义|x1−x2|与|y1−y2|如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数.(1)若将点A，C分为第Ⅰ类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d1=______，(2)将点A，B，C，D，E分为两类，分类系数d的最小值为______；(3)点F的坐标为(m,2)，已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出m的取值范围：______.2024-2025学年北京市西城外国语学校七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共16分）1、【答案】A【知识点】立方根2、【答案】A【知识点】命题与定理3、【答案】C【知识点】二元一次方程的解4、【答案】C【知识点】平行线的判定5、【答案】A【知识点】垂线,平行线的性质6、【答案】A【知识点】二元一次方程组的解7、【答案】D【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组8、【答案】B【知识点】列代数式二、填空题（每小题2分，共16分）9、【答案】±【知识点】平方根10、【答案】−3【知识点】实数大小比较11、【答案】π,−4+π【知识点】数轴,实数与数轴12、【答案】(−2,3)【知识点】坐标与图形变化-平移13、【答案】162【知识点】生活中的平移现象14、【答案】118【知识点】垂线,平行线的性质15、【答案】30∘或【知识点】角的计算,垂线16、【答案】15∘，45∘，105∘，【知识点】平行线的性质,旋转的性质三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题12分，第20～23题每题6分，共54分）17、【解答】解：(1)∵∴x=−4；(2)移项得，12两边都乘以2得，x2根据平方根的定义可得，x=±4.【知识点】平方根18、【解答】解：（1）1==3+3−12=−6；(2)=−3+=−5+3【知识点】实数的运算19、【解答】解：（1）{x+2y=7②−①×2，得3x−2x=17−14，∴x=3.把x=3代入①，得3+2y=7，∴y=2.∴原方程组的解为&x=3(2){由②，得3x−y+2+y=17，∴3x=15，∴x=5.把x=5代入①，得15−y−7=0，∴y=8.∴原方程组的解为&x=5【知识点】解二元一次方程组20、【解答】解：（1）如图，线段CE，直线DF即为所求，CE≈2.3cm，CF≈故答案为：2.3，0，6；(2)根据垂线段最短可知，CE<CA，故答案为：<，垂线段最短.【知识点】作图—复杂作图,近似数和有效数字,比较线段的长短,平行线的性质21、【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠1=∠ABC(两直线平行，内错角相等)，∠2=∠DBC(两直线平行，同位角相等)。∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC.∴∠1=2∠2.故答案为：ABC，两直线平行，内错角相等，DBC，两直线平行，同位角相等，DBC.【知识点】平行线的性质22、【解答】解：(1)∵三角形ABC中任意一点P(x0，y0)∴△ABC向左平移6个单位，向上平移2个单位，∵三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,2)，B(1,0)，∴点A'(−2,4)，点B'故答案为：(−2,4)，(−5,2)；(2)①如图所示：②△A'B(3)∵S∴A∵点A'∴点D(−2，−1故答案为：(−2，−1【知识点】坐标与图形变化-平移23、【解答】证明：∵∠1=∠2(已知),∠1=∠AHB(对顶角相等)，∴∠2=∠AHB(等量代换)。∴AF∥ED(同位角相等，两直线平行)。∴∠D=∠AFC(两直线平行，同位角相等)。又∵∠A=∠D(已知)，∴∠A=∠AFC(等量代换)。∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)。∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)。【知识点】平行线的判定与性质四、解答题（本题共2个小题，第24小题6分，第25小题8分，共14分）24、【解答】解：（1）根据题意得：&a+2b=400解得：&a=100答：a的值为100，b的值为150；(2)当购进3辆A型公交车，6辆B型公交车时，年载客最多，理由如下：设购进x辆A型公交车，y辆B型公交车，根据题意得：100x+150y=1200，∴x=12−3∵x，y均为正整数，∴&x=9&y=2或∴共有3种购买方案，方案1：购进9辆A型公交车，2辆B型公交车，年载客60×9+100×2=740(万人)；方案2：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车，年载客60×6+100×4=760(万人)；方案3：购进3辆A型公交车，6辆B型公交车，年载客60×3+100×6=780(万人)，∵740<760<780，∴当购进3辆A型公交车，6辆B型公交车时，年载客最多.【知识点】二元一次方程组的应用-方案问题25、【解答】解：(1)∵a、b满足|a−3|+b−1∴a−3=0，且b−1=0，∴a=3，b=1；(2)∠BAC与∠BCD的数量关系是：2∠BAC=3∠BCD.证明如下：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN=180∴∠BAC=45∵PQ∥MN，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180∵∠ACD=90∴∠BCD=90∴∠BAC:∠BCD=3:2，即2∠BAC=3∠BCD；(3)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0<t<60时，3t=(40+t)×1解得t=20；②当60<t<120时，3t−3×60+(40+t)×1=180解得t=80；③当120<t<140时，3t−360=t+40，解得t=200>140(不合题意)，综上所述，当t=20秒或80秒时，两灯的光束互相平行.【知识点】非负数的性质：算术平方根,非负数的性质：绝对值,平行线的判定,平行线的性质五、选做题（本题共10分，第26题4分，第27题6分，计入总分但总分不超过26、【解答】解：如图所示：【知识点】无理数,勾股定理,作图—应用与设计作图27、【解答】解：(1)观察坐标图，根据题意得知，d1=d(A,C)=|xA因为d2∴分类系数为5.故答案为：2；5；5；(2)∵由题意可知，d(A,B)=4，d(A,C)=2，d(A,D)=3，d(A,E)=4，d(B,C)=4，d(