全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题73第59讲成对数据的统计分析

第59讲成对数据的统计分析【备选理由】例1是成对数据的统计相关性判断及应用;例2是线性回归分析问题;例3是非线性回归分析问题;例4是模型拟合效果的分析问题,作为补充使用.例1[配例1使用][2025·黑龙江哈尔滨六中四模]对两组成对数据进行统计后得到如图所示的散点图,下列结论不正确的是 (C) A.图①、图②中两组成对数据都具有线性相关关系B.图①中成对数据正相关,图②中成对数据负相关C.图①中成对数据的样本相关系数r1小于图②中成对数据的样本相关系数r2D.图①中成对数据的样本相关系数和图②中成对数据的样本相关系数之和小于0[解析]对于A,因为散点图都呈直线型,所以图①、图②中两组成对数据都具有线性相关关系,所以A中结论正确;对于B,图①中的散点从左至右呈上升趋势,所以成对数据正相关,图②中的散点从左至右呈下降趋势,所以成对数据负相关,所以B中结论正确;对于C,图①中的成对数据正相关,图②中的成对数据负相关,所以C中结论不正确;对于D,设图①、图②的样本相关系数分别为r1,r2,因为图②中的成对数据相关程度更强,所以|r1|<|r2|,且r1>0,r2<0,则r1+r2<0,所以D中结论正确.故选C.例2[配例2使用][2025·云南丽江一中三模]某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了4次试验,得到数据如下:零件的个数x2345加工的时间y(小时)2.5344.5参考公式:经验回归方程y=bx+a中,b=∑i=1nxiyi(1)求y关于x的经验回归方程y=bx+a;(2)求各样本的残差;(3)试预测加工10个零件需要的时间.解:(1)由题得x=2+3+4+54=3.5,y=2.5+3+4+4∑i=14xiyi=2×2.5+3×3+4×4+5×4.∑i则b=52.5-4×3.5×3.554-4×3.故y关于x的经验回归方程为y=0.7x+1.05.(2)计算每个xi对应的预测值yiy1=0.7×2+1.05=1.4+1.05=2.y2=0.7×3+1.05=2.1+1.05=3.y3=0.7×4+1.05=2.8+1.05=3.y4=0.7×5+1.05=3.5+1.05=4.55计算残差ei=yi-yie1=2.5-2.45=0.05,e2=3-3.15=-0.15,e3=4-3.85=0.15,e4=4.5-4.55=-0.05.所以各样本的残差依次为0.05,-0.15,0.15,-0.05.(3)当x=10时,y=0.7×10+1.05=8.05,故预测加工10个零件需要8.05小时.例3[配例3使用]脑机接口,指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接,实现脑与设备的信息交换.未来10到20年,我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求,同时兼顾企业盈利的预期,某科技公司决定增加一定数量的研发人员,经过调研,得到年收益增量y(单位:亿元)与研发人员增量x(单位:人)的10组数据.现用模型①y=bx+a,②y=c+dx分别进行拟合,由此得到相应的经验回归方程,并进行残差分析,得到如图所示的残差图.根据收集到的数据,计算得到下表数据,其中ti=xi,t=110∑yt∑i=110(xi-∑i=110(ti-t∑i=110(yi-y)(xi-∑i=110(yi-y)(ti-7.52.2582.504.5012.142.88(1)根据残差图,判断应选择哪个模型,并说明理由;(2)根据(1)中所选模型,求出y关于x的经验回归方程,并用该模型预测,要使年收益增量超过8亿元,研发人员增量至少为多少人?(结果精确到1)附:对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑i=1n(xi-解:(1)选择模型②,理由如下:由于模型②的残差点比较均匀落在水平的带状区域中,且带状区域的宽度比模型①的带状宽度窄,所以模型②的拟合精度更高,回归方程的预报精度相应就会越高,所以模型②比较合适.(2)根据模型②,令t=x,y=c+dt,则d=∑i=110(y所以c=y-dt=7.5-0.64×2.25=6.则y关于t的经验回归方程为y=0.64t+6.06,所以y关于x的经验回归方程为y=0.64x+6.06.令y=0.64x+6.06>8,解得x>97322≈9.2,又x为整数,所以x所以要使年收益增量超过8亿元,研发人员增量至少为10人.例4[补充使用][2025·广东汕头一模]在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下,西北某地光伏发电装机量急剧上升,现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查,根据散点图选择了两个模型进行拟合,并得到相应的经验回归方程.为判断模型的拟合效果,甲、乙、丙三位同学进行了如下分析:(1)甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图,如图所示.(2)乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175,模型②的残差平方和为1.5625;(3)丙同学分别求出模型①的决定系数R12=0.9520,模型②的决定系数R22经检验,模型①拟合效果最佳,则甲、乙、丙三位同学中,运算结果肯定出错的同学是丙.(填“甲”“乙”或“丙”)

[解析]甲的残差图中,模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对