全品高考备战2027年数学一轮学生用书06培优专题(五)数列与其他知识交汇融合问题【正文】听课手册

新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,而数列与其他知识的交汇备受青睐,如2025年全国卷1第16题考查的是数列与导数的交汇,2024年新课标Ⅰ卷第19题考查的是数列与概率的交汇,2024年新课标Ⅱ卷第19题考查的是数列与解析几何的交汇,本专题将探究数列中交汇融合问题.类型一数列与集合的交汇问题数列与集合交汇融合问题通常涉及数列的项与集合的元素之间的关系,以及利用集合的性质对数列进行分析或构造.常见类型有:集合的性质与数列的项的关系、数列的子集与和的关系、新定义的数列与集合的问题.例1[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知{an}为等差数列,{bn}为公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数.

总结反思对于数列与集合交汇问题,解题思路如下:(1)明确数列的通项公式或递推关系,以便分析数列的性质.(2)分析集合的元素构成和性质,如元素的范围、和、差等.(3)结合数列和集合的条件进行推导和计算,可能涉及等差、等比数列的求和公式,或利用集合的包含关系、元素的组合等.自测题已知数列{an}满足(n+1)an+1=(n+2)an,且a1=2,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)集合M={a1,a2,…,an},将集合M的所有非空子集中最小元素相加,其和记为Sn,求Sn.

类型二数列与函数、导数的交汇问题数列与函数、导数的交汇融合问题是高中数学的难点和重点,常以压轴题的形式出现.这类问题主要考查两个方向:一是利用函数解析式构造数列,二是通过导数研究函数性质来解决数列问题.例2[2025·全国一卷]已知数列{an}中,a1=3,an+1n=a(1)证明:数列{nan}是等差数列;(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).

总结反思对于数列与函数、导数的交汇问题的解题思路如下:(1)利用函数性质求解数列问题,需结合函数的单调性、周期性、对称性等性质分析数列的特征;(2)当数列的通项公式或递推公式与函数相关时,需将数列问题转化为函数问题求解,可通过函数的最值、零点等性质确定数列的取值范围或证明数列的性质;(3)利用导数证明数列不等式,先通过导数研究函数的单调性、凹凸性等性质,再将函数的结论应用于梳理不等式的证明.自测题1.若函数f(x)满足∀x∈R,f(x+50)+f(x)=50,且f(x)在[0,100]上有且仅有一个零点,则f(x)在[0,2026]上的零点之和不可能为 ()A.21000 B.20750C.20500 D.202502.[2025·四川德阳二模]已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=3Sn-2n+4,且a1=4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn,n∈N*,讨论f'(1)与8n2

类型三数列与解析几何的交汇问题数列与解析几何交汇融合问题是高考和竞赛中的常见题型,通常涉及数列的递推关系、通项公式与解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等图形的性质相结合.例3[2025·江西赣州二模]已知点M到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1,点M的轨迹为C.点P1(t,t+1)(t≥0)在C上,过点P1作斜率为-1的直线交C于另一点Q1,设P2与Q1关于x轴对称,过点P2作斜率为-1的直线交C于另一点Q2,设P3与Q2关于x轴对称,…,以此类推,设Pn(xn,yn).(1)求C的方程;(2)设数列1xn+yn的前n项和为Tn,证明:13(3)求△PnPn+1Pn+2的面积.

总结反思对于数列与圆锥曲线的综合问题,主要是关注直线与坐标轴或圆锥曲线的交点坐标的递推关系组成的数列.自测题[2026·湖南长沙模拟]位于第一象限或x轴正半轴的一点P1(x1,y1)满足x12>2y1,过P1作曲线x2=2y的切线,切点为A1(xA1,yA1),且满足x1<xA1,设P2(x2,y2(1)证明:x12-2y1=x22(2)若过P2的另一条切线切曲线x2=2y于A2,设P3为P2