全品高考备战2027年数学一轮备用题库03第38讲等比数列及其前n项和【答案】作业手册

第38讲等比数列及其前n项和1.A[解析]设数列{an}的公比为q,由题意可得a1(则S5=a1(1-q5)1-q=-22.C[解析]因为数列{an}为等比数列,且a2a5=16,所以a2a5=a3a4=16,所以log2a3+log2a4=log2(a3a4)=log216=log224=4,故选C.3.D[解析]设等比数列{an}的公比为q,则(a1+a3+a5)q=a2+a4+a6,解得q=2.S12-S6=a7+a8+…+a12=(a1+a2+…+a6)×26=3×26=192.故选D.4.B[解析]对数列{an},an+1=2an,若a1=0,则可得a2=a3=…=an=0,此时{an}不是公比为2的等比数列;若{an}是公比为2的等比数列,则an+1an=2,即an+1=2an.故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件5.B[解析]因为等比数列{an}的前n项和为Sn,所以S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则(S8-S4)2=S4·(S12-S8),即(8-S4)2=S4·(26-8),解得S4=32或S4=2.设等比数列{an}的公比为q,则q≠1,S8S4=1-q81-q4=1+q4>1,则S8>S4>6.32[解析]因为an·an+1=2n,所以an+1·an+2=2n+1,两式相除得an+2an=2,故数列{a2k}是公比为2的等比数列,由a2=2,得a10=a2·25-1=27.-3[解析]设等比数列{an}的公比为q,由a3a5=a2a6,a1a3a5=a2a6,得a1=1,由a4a13=-27,得q3·q12=q15=-27,所以a6=q5=-3.8.B[解析]由题意得a5=a1q4=5q4,a15=a5+10d=5q4+10d=240.当q=1时,d不是正整数;当q=2时,d=16;当q≥3时,5q4≥405,d不是正整数.所以q=2,d=16,所以该数列前5项的和为5×(1-25)9.C[解析]设数列{an}的公比为q,由a3=a1q2≥1,得a1>0,则a5=a1q4>0,所以a1+a5≥2a1a5=2a3≥2,当且仅当a1=a5,即q2=1时取等号,故充分性成立;a1+a5≥2,即a3q2+a3q2≥2,若q2=12,则a3≥10.BCD[解析]当an=0时,满足a52=a3a7,但{an}不是等比数列,故A错误.由等比数列的性质可知a52=a3a7,故B正确.由Sn=3n-1,得Sn-1=3n-1-1,则an=Sn-Sn-1=2×3n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=2,则an=2×3n-1,从而可知{an}是等比数列,故C正确.由Sn=3n+a,得a1=3+a,S2=9+a,S3=27+a,由等比数列的性质可知a22=a1a3,又a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,所以62=18(3+a),解得a=-1,结合C选项可知此时{an}为等比数列,故11.BCD[解析]若T8=T12,则T12T8=a9a10a11a12=(a10a11)2=1,可得a10a11=±1,即选项A错误.而T20=a1a2…a19a20=(a10a11)10=1,即选项B正确.若a1=1024,且T10是数列{Tn}中唯一最大项,当q<0时,T10=a1a2…a9a10=(a1a10)5=(a1a1q9)5<0,不合题意;当q>0时,由T10>T9,T10>T11,可得a10>1,a11<1,即1024q9>1,1024q10<1,解得12109<q<12,即选项C正确.若T10>T11>T9,当q<0时,T9=a1a2…a9=a1(a2a9)4=a1(a1a1q9)4>0,T10<0,不满足T10>T9,不合题意;当q>0时,由T10>T11,T10>T9,T11>T9,可得a11<1,a10>1,a10a11>1,所以a1>0,1>q>0,则{an}为递减数列,因此当n≤10,n∈N*时,an>1,当n>10,n∈N*时,an<1,因此当n≤10,n∈N*时,{Tn}为递增数列,当n>10,n∈N*时,{Tn}为递减数列,又T1>1,T12.2[解析]依题意,a1+a3+a5+…+a2n+1=85,即a2q+a4q+…+a2nq=84,而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2.13.20[解析]由S6-2S3=5,得S6-S3=S3+5.因为{an}的各项都是正数,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,所以(S6-S3)2=S3×(S9-S6),则S9-S6=(S3+5)2S3=S32+10S3+25S3=S3+25S3+10≥2S3×25S3+10=20,当且仅当S3=25S3,即S3=514.解:(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8,解得q=12(舍去),q=2.由题设得a1=2,所以{an}的通项公式为an=2n(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n,所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.15.解:(1)证明:因为an+1=3an2an+1(n∈N*),所以1a所以1an+1-1=23+13an-1=131an-1,又1a1-1=(2)由(1)知1an-1=23×13n-1=2×13n,得1an=2×13n+1,所以S16.AD[解析]对于A,因为an+1an=(-1)n+1·(-1)n=(-1)2n+1=-1,所以数列{(-1)n}是2级等积数列,故A正确;对于B,设an+3an+2an+1an=sin(n+4)π4sin(n+3)π4sin(n+2)π4sin(n+1)π4=f(nsin(n+1)π4+πsin(n+1)π4=-1≠1,矛盾,故B错误;对于C,由题意,若{an2}为k级等积数列,则an+k2an2=1,即an+kan=1或an+kan=-1,所以{an}不一定是k级等积数列,故C错误;对于D,由题意,若{17.50[解析]记第n个正方形的面积为Sn,第n个正方形的边长为an,则第n个正方形