全品高考备战2027年数学一轮学生用书06第65讲全概率公式及应用【答案】听课手册

第65讲全概率公式及应用●课前基础巩固【对点演练】1.0.65[解析]设事件A1=“第一天选择一餐厅就餐”,事件B1=“第一天选择二餐厅就餐”,事件A2=“第二天选择一餐厅就餐”,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.7,由全概率公式可知P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.7=0.65.2.86.4%[解析]设事件A=“生产线初始状态良好”,事件B=“第一件产品为合格品”,则P(A)=80%,P(B|A)=95%,P(B|A)=60%,所以P(A|B)=P(80%×95%803.0.25[解析]设事件=“第i天去2楼阅读”,事件Bi=“第i天去3楼阅读”,i=1,2,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(B2|A1)=1-0.7=0.3,P(B2|B1)=1-0.8=0.2,所以P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×0.3+0.5×0.2=0.25.4.15[解析]设事件A=“第一位顾客中奖”,事件B=“第二位顾客中奖”,则P(A)=210=15,P(A)=1-15=45,P(B|A)=19,P(B|A)=29,由全概率公式可知P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=15×5.0.323[解析]设事件A=“化验结果为阳性”,事件B=“患有此种疾病”,则P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%,所以P(B|A)=P(AB)P(A●课堂考点探究例1[思路点拨]利用条件概率和全概率公式,结合对立事件的概率求解.(1)B(2)0.25[解析](1)由P(A)=14=1-P(A),得P(A)=34.由P(B|A)=13,得P(B|A)=23,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=34×23+14×12=58,所以P(B(2)因为P(A)=0.6,所以P(A)=1-P(A)=1-0.6=0.4,所以由P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.4,得0.6×0.5+0.4P(B|A)=0.4,解得P(B|A)=0.25.变式题(1)B(2)58[解析](1)由题意可得P(A|B)=1-P(A|B)=34,P(A|B)=1-P(A|B)=12,所以P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=12[1-P(B)]+34P(B)=23,解得P((2)因为P(A)=14,所以P(A)=1-P(A)=1-14=34,所以P(B)=P(BA)+P(BA)=P(B|A)·P(A)+P(B|A)·P(A)=12×14+2例2[思路点拨]由题意设出事件,写出事件的概率以及条件概率,利用全概率公式可得答案.(1)D(2)A[解析](1)设事件A1=“该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”,事件A2=“该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”,B=“该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学是女生”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B⊆Ω.由题意知P(A1)=25,P(A2)=35,且P(B|A1)=35,P(B|A2)=25,由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=25×35+35×2(2)设事件A表示“随机抽一名教师,该教师喜欢跑步”,事件B1,B2,B3分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”.∵高一、高二、高三年级的教师人数之比为3∶3∶4,∴P(B1)=33+3+4=0.3,P(B2)=33+3+4=0.3,P(B3)=43+3+4=0.4.∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人数的40%,30%,35%,∴P(A|B1)=40%=0.4,P(A|B2)=30%=0.3,P(A|B3)=35%=0.35,根据全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.3×0.4+0.3×0.3+0.4×0.35=0.12+0.09+0.14=0变式题(1)B(2)1360[解析](1)设A队员每局上场的概率为p,则不上场的概率为1-p,由全概率公式可知23p+12(1-p)=35,解得p(2)设随机取1袋酸奶来自第一箱为事件A1,来自第二箱为事件A2,来自第三箱为事件A3,则A1,A2,A3彼此互斥,且A1∪A2∪A3=Ω,P(A1)=P(A2)=P(A3)=13.设随机取1袋酸奶,取出的酸奶是水果味为事件B,则P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=13×210+13×315+1例3[思路点拨](1)根据题意,由贝叶斯公式代入计算,即可得到结果.(2)设事件A1,A2,A3分别表示购买一辆此款智能汽车是甲、乙、丙车企生产的,事件B表示智驾出现故障,由贝叶斯公式得P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B)即可求解.(1)C(2)B[解析](1)记“该视频是伪造的”为事件A,“该视频被鉴定为”为事件B,则P(A)=0.001,P(A)=0.999,P(B|A)=0.98,P(B|A)=0.04,由贝叶斯公式得P(A|B)=P(A)P(B(2)设事件A1,A2,A3分别表示购买一辆此款智能汽车是甲、乙、丙车企生产的,则P(A1)=510,P(A2)=410,P(A3)=110,设事件B表示智驾出现故障,则由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510×2100+410×3100+110×5100=271000,由贝叶斯公式得P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=1027,P变式题(1)C(2)11250[解析](1)依题意可得P(A0)=C32C52=310,P(A1)=C21C31C52=35,P(A2)=C22C52=110.若A0发生,则乙箱中有n个红球和5个黑球,此时P(B|A0)=5n+5;若A1发生,则乙箱中有n+1个红球和4个黑球,此时P(B|A1)=4n+5;若A2发生,则乙箱中有n+2个红球和3个黑球,此时P(B|A2)=3n+5.所以P(A0B)=P(B|A0)P(A0)=5n+5×310,P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=35×4n+5,P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=110×3n+5,所以P(B)=P(A0B)+P(A1B)+(2)设任取1件瓷器来自甲厂为事件A1、来自乙厂为事件A2、来自丙厂为事件A3,则A1,A2,A3彼此互斥,且A1∪A2∪A3=Ω,P(A1)=400400+400+200=25,P(A2)=400400+400+200=25,P(A3)=200400+400+200=15.设任取1件瓷器,取到的是次品为事件B,则P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=25×5%+25×4%+15×4%=441000=11250.若取到的是次品,则它来自甲厂的概率为P(A1例4[思路点拨](1)设事件=“第i次降落成功”,则Ai=“第i次降落未成功”,再利用全概率公式即可求解;(2)X的所有可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,从而可写出分布列,即可求出期望值;(3)当i≥2时,整理可得Pi,Pi-1之间的关系,构建等比数列Pi解:(1)设事件=“第i次降落成功”,则Ai=“第i次降落未成功”,i=1,2,3,…由全概率公式得P(A2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=34×45+14(2)由题意得,P(A1)=34,P(A1)=14,P(A2|A1)=45,P(A2|X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P(X=1)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=34×P(X=2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=34×45=所以X的分布列为X012P1193所以E(X)=0×112+1×1960+2×35(3)证明:由题意得P1=34当i≥2时,P()=P(-1)+P(Ai-1)=P(-1)P(|-1)+P(Ai-1即Pi=Pi-1×45+(1-Pi-1)×23=215Pi-1+2整理得Pi-1013=215Pi-1-1013(所以数列Pi-1013是以-故Pi-1013=-152215i-1,即Pi=-152215i-1+1013变式题解:(1)设第n个月使