全品高考备战2027年数学一轮学生用书06第34讲平面向量的综合问题【正文】听课手册

第34讲平面向量的综合问题【课标要求】会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系,用表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为;

(2)通过,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.三角形“四心”的概念与性质(1)重心——三角形的三条中线的交点.(2)垂心——三角形的三条垂线的交点.(3)内心——三角形的三个内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心).(4)外心——三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心).(5)各心的性质:重心将中线长度分成2∶1;垂线与对应边垂直;角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心到三角形各顶点的距离相等.3.向量在物理中的应用(1)向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是既有大小又有方向的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系.(2)用向量法解决物理问题的一般步骤:①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.③参数的获取:求出数学模型的相关解.④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.常用结论1.“四心”向量形式的条件:已知H,G,O,I是△ABC所在平面上的任意点,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边.(1)H为垂心⇔HA·HB=HB·HC=HC·HA⇔|HA|2+|BC|2=|HB|2+|CA|2=|HC|2+|AB|2.(2)G为重心⇔GA+GB+GC=0.(3)O为外心⇔(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0⇔|OA|=|OB|=|OC|⇔OA2=OB2=(4)I为内心⇔aIA+bIB+cIC=0.2.平面向量与平面几何综合的有关结论(1)λMA|MA|+MB|MB|=(2)在▱ABCD中,(AB+AD)·(AB-AD)=0⇔▱ABCD是菱形;|AB+AD|=|AB-AD|⇔▱ABCD是矩形.3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论(1)在平面四边形ABCD中,有AC·BD=(AD(2)在平面四边形ABCD中,若AC⊥BD,则有AD2+BC2=AB2(3)在平面四边形ABCD中,有cos<AC,BD>=(AD4.三角形面积公式的向量表示平面上O,A,B三点不共线,设OA=a=(x1,y1),OB=b=(x2,y2),则S△OAB=12a2b2-(a·b)2=12题组一常识题1.[教材改编]在平面四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为.

2.[教材改编]如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,则m+n=.

3.[教材改编]一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=J.

题组二常错题◆索引:不理解各心的概念致误.4.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的心.

5.已知点P是△ABC的内心(三个内角的平分线的交点)、外心(三条边的中垂线的交点)、重心(三条中线的交点)、垂心(三条高的交点)之一,且满足2AP·BC=AC2-AB2,则点P一定是△ABC的平面向量与三角形的“四心”例1(1)[2025·山东临沂模拟]在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为 ()A.212 B.C.3 D.23(2)点M,N,P在△ABC所在平面内,且满足MA+MB+MC=0,|NA|=|NB|=|NC|,PA·PB=PB·PC=PC·PA,则M,N,P依次是△ABC的 ()A.重心、外心、内心 B.重心、外心、垂心C.外心、重心、内心 D.外心、重心、垂心总结反思用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.变式题(1)已知平面四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,G,H,且AB2+CD2=AD2+BC2,则四边形EFGH一定为 ()A.正方形 B.菱形C.矩形 D.直角梯形(2)已知正三角形ABC的边长为2,点D在AC边上且AD=13AC,点E为AB边的中点,CE与BD交于点O,则∠DOC的余弦值为平面向量在物理中的应用例2[人教A版必修第二册P40例3改编]在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,如图,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ(0<θ<π),则当两人拎起行李包且保持平衡时,下列结论正确的是 ()A.|G|=|F1|+|F2|B.当θ=π2时,|F1|=22|C.当θ越大时,用力越小D.当|F1|=|G|时,θ=π总结反思1.用向量方法解决物理问题的“三步曲”2.向量在物理学中的应用一般涉及力、速度或位移的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图是前提.变式题[2025·全国一卷]帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(线段长度代表速度大小,单位m/s),则真风为 ()级数名称风速大小2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风平面向量数量积与解三角形综合例3[2025·湖南长沙一中月考(六)]已知△ABC的面积为S,且AB·AC=S.(1)求tan2A的值;(2)若B=π4,|CB-CA|=3,求

总结反思求解平面向量数量积与解三角形综合题的方法:选取合适的基底,把三角形中的边对应的向量用基底表示,利用平面向量数量积结合正余弦