离散数学-教案 -第2章2.1-2.2 谓词逻辑基本概念

课堂教学设计6章节（专题）第2章谓词逻辑计划学时2课题（内容）2.1谓词逻辑基本概念教育教学目的1.理解谓词逻辑的概念2.掌握几种不同的谓词逻辑符号：个体词符号、谓词符号、量词符号。3.思政目标：通过谓词逻辑的严格定义和推理规则，培养学生严谨的学术态度。通过谓词逻辑的学习，激发学生的创新思维和解决实际问题的能力。通过介绍逻辑学的发展历史，增强学生的文化自信。教学重点及难点1.重点：几种不同的谓词符号的表示。2.难点：谓词逻辑的理解。教学方法及手段1.引导探究2.讲授法3.互动式教学4.多媒体辅助教学教学互动环节设计1.以问题的方式导入新课（命题逻辑的局限性）2.启发式提问引发课堂讨论（谓词逻辑的符号化）3.角色扮演：量词的“辩论”。两名学生分别扮演“存在量词”和“全称量词”。帮助学生直观理解量词的区别及其应用场景。存在量词：我只关心部分个体，比如“有些学生喜欢编成”。全称量词：我关注的是全部个体，比如“所有学生都必须学习数学”。课后总结与反思第2章谓词逻辑2.1谓词逻辑基本概念在命题逻辑中，命题是最基本的单位，且不考虑命题之间的内在联系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理.命题逻辑的局限性苏格拉底三段论： 凡是人都要死的. 苏格拉底是人. 所以苏格拉底是要死的.在命题逻辑中，只能用p、q、r表示以上3个命题，上述推理可表成(p∧q)→r这不是重言式思政内容：从苏格拉底三段论出发，引导学生不要因为人生的终点只有一个而消极对待人生，对于杯子中的半杯水，有的人看到的是只有半杯水了，有的人看到的还好有半杯水，今天让你痛苦的事明天再看就会不值一提，积极乐观的对待生命中的每件事，不要后悔，不要抱怨，开心快乐的度过每一天。基本概念——个体词、谓词、量词个体词（个体）:所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a,b,c表示个体变项：抽象的事物，用x,y,z表示个体域:个体变项的取值范围有限个体域，如{a,b,c},{1,2}无限个体域，如N,Z,R,…全总个体域:宇宙间一切事物组成在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域.谓词:表示个体词性质或相互之间关系的词考虑下面4个陈述句：指出下列语句中的个体和谓词。（1）4是偶数。（2）信阳是一个美丽的城市。（3）小王比小李高。（4）满足性质。在命题（1）中，“4”是个体词，“是偶数”是谓词；命题（2）中“信阳”是个体词，“是一个美丽的城市”是谓词；命题（3）中“小王”，“小李”都是个体词，“……比……高”是谓词；语句（4）中是个体词，是谓词。其中(1)、（2）中的谓词是刻画个体词性质的，（3）中的谓词是刻画个体之间关系的。谓词也有常项和变项之分，表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项，表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项。谓词常项和变项都用大写英文字母表示。如上例中（1）、（2）、（3）中的谓词是谓词常项，（4）中的谓词是谓词变项。一元谓词:表示事物的性质多元谓词(n元谓词,n＞2):表示事物之间的关系.如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，…实质上，n元谓词P(x1,x2,…,xn)可以看成以个体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数或关系.它不是命题.要想使它成为命题，必须用谓词常项取代P，用个体常项a1,a2,…,an取代x1,x2,…,xn，得P(a1,a2,…,an)是命题.有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词，例如,F(a),G(a,b),P(a1,a2,…,an)等都是0元谓词.当F,G,P为谓词常项时，0元谓词为命题.谓词逻辑中命题符号化例1用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再讨论它们的真值。(1)鸡有翅膀且羊有翅膀。(2)如果6能被2整除，则6是偶数。解（1）设表示“有翅膀“，表示”鸡“，表示“羊”。则命题可符号化为。此命题为假。（2）设表示“能被整除“，表示”是偶数“。则命题可符号化为命题前件和后件均为真命题，故该复合命题为真。量词:表示数量的词全称量词:表示任意的,所有的,一切的等如x表示对个体域中所有的x存在量词:表示存在,有的,至少有一个等如x表示在个体域中存在x例2在谓词逻辑中将下面命题符号化。（1）所有人都要呼吸。（2）有人早上喜欢吃热干面。解（1）令:是人。:要呼吸。则命题可符号化为（2）令:是人。:早上喜欢吃热干面。则命题可符号化为在上述例子中，个体域为全总个体域，为了将人和其他事物区别出来，引进谓词，一般将表示个体域的谓词称为特性谓词。如果在例1.3中个体域为人类集合。则（1）可符号化为，（2）可符号化。例3：考虑命题“对任意的𝑥，存在𝑦，使得𝑥+𝑦=5”若取个体域为实数集，这个命题的符号化是：xyHx,y，(其中H(𝑥,𝑦)：𝑥+如果将上述量词顺序颠倒：yxHx,注意：多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化（将下面语句表示为谓词逻辑的符号。所有的正数均可开方。解（1）若个体域为全体正实数。：可以开方。则命题符号化为：。（2）若个体域为全体实数集，令。则命题符号化为：。（3）若个体域为全体数集，令：是实数。则命题符号化为：对于含量词的谓词符号，说明以下几点。(1)含量词的谓词的真值规定。的真值为真，当且仅当对于的个体域中的任意个体，都有为真。但不含量词的谓词不是命题，而是命题函数，只有将个体变项换成个体常项的时候才是命题。的真值为真，当且仅当对于的个体域中的至少有一个个体，使得为真。（2）量词不能随便换顺序。一般情况下，当多个量词同时出现时，如果交换“”和“”这两个量词的位置，语句的意义会不同，相应真值也可能改变。例如，令个体域：自然数全体，小于。则表示“任意一个自然数，总存在自然数，使得小于。”该命题是真的。表示“存在一个自然数，使得对一切自然数，使小于,即是最大的自然数。”该命题是假的。（3）如果个体域是有限集，量词可以用逻辑联结词来解释。例如当时， 课堂教学设计7章节（专题）第2章谓词逻辑计划学时2课题（内容）2.2谓词公式及解释教育教学目的1.理解谓词公式的解释2.掌握特性谓词识别与翻译3.掌握个体变项的自由出现和约束出现4.课程思政目标：通过合式公式的学习，培养学生的逻辑思维能力和科学精神。通过合式公式的构造和解释，培养学生严谨的学术态度。通过逻辑推理的学习，培养学生的公平正义感和道德意识。教学重点及难点1.重点：谓词公式的解释、特性谓词、公式分类2.难点：个体变项的自由出现和约束出现教学方法及手段1.讲授法2.提问与讨论3.互动式教学4.多媒体辅助教学教学互动环节设计1.课前回顾（谓词逻辑基本概念）2.量词转化游戏，加深学生对全称量词和存在量词的理解，以及转换。3.真假判断练习，帮助学生理解谓词逻辑公式的解释及其真假判断。4.启发式提问引发课堂讨论（对闭式的理解）课后总结与反思第2章谓词逻辑2.2谓词逻辑公式及解释一、字母表定义字母表包含下述符号：(1)个体常项：a,b,c,…,ai,bi,ci,…,i1(2)个体变项：x,y,z,…,xi,yi,zi,…,i1(3)函数符号：f,g,h,…,fi,gi,hi,…,i1(4)谓词符号：F,G,H,…,Fi,Gi,Hi,…,i1(5)量词符号：,(6)联结词符号：,,,,(7)括号与逗号：(,),，二、项定义项的定义如下：(1)个体常项和个体变项是项.(2)若(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任意的n个项，则(t1,t2,…,tn)是项.(3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项。𝑎,𝑏,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦,𝑔(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦,𝑓(𝑎,𝑔(𝑥,𝑦))=𝑎+𝑥𝑦都是项。三、原子公式定义设R(x1,x2,…,xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…,tn是任意的n个项，则称R(t1,t2,…,tn)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x)，G(x)，F(x,y),F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式三、合式公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1)原子公式是合式公式.(2)若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3)若A,B是合式公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)也是合式公式(4)若A是合式公式，则xA,xA也是合式公式(5)只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.如x0,x(F(x)G(x)),xy(x+y=1)在谓词逻辑中，合式公式又称为谓词公式。最外层括号可以去掉。四、个体变项的自由出现与约束出现定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域.在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.例如,在公式x(F(x,y)G(x,z))中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元,A中x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现.例1指出各公式的指导变元，辖域、约束变元和自由变元。（1）（2）(3)解（1）量词的指导变元是，的辖域是后面整个式子。量词的指导变元是，的辖域仅此部分。两次出现均是约束出现，的一次出现是约束出现，故，是约束变元，而不是自由变元。（2）中，是指导变元，辖域是。中，和都是自由出现。变元第一次出现是约束出现，第二次出现是自由出现，所以第一个是约束变元，第二个是自由变元，本质上这两个的含义是不同的。的出现是自由出现，所以仅是自由变元。（3）是指导变元、的辖域是（）内的这部分。因此，第一、二、三、四次出现是约束出现，第五次出现是自由出现。而，的出现均是自由出现。五、闭式定义若公式A中无自由出现的个体変项，则称A为封闭的合式公式，简称闭式。指出下列各合式公式中的闭式。（1）x(（2）xF（3）xRx,y,z∧yH（4）x(注意：（2）中的x，出现两次，实际上是不同的変项，第一次是约束出现，第二次是自由出现；（3）中的y，出现两次，第一次是自由出现，第二次是约束出现，所以是相同的符号不同的含义。六、换名规则从以上例子中可以看出，在谓词公式中一个变元可能既是自由变元又是约束变元。本质上这两种出现用的是一个符号，实质上是不同的含义。为避免混淆，可对约束变元进行换名，使得一个变元在一个公式中只以一种形式出现，即约束出现或自由出现。将一个指导変项及其辖域中所有的约束出现替换成公式中没有出现的个体项符号。对各下列合式公式使用换名规则：（1）xF（2）xRx,y,z∧yH解：（1）zF（2）sRs,y,z∧tH这样变化的好处就是不会在一个公式里出现既是约束变元又是自由变元的项，可以避免混淆。七、谓词公式的解释定义解释I由下面4部分组成：(a)非空个体域D(b)对每一个命题常项符号指定一个D中的元素(c)对每一个函数符号指定一个D上的函数(d)对每一个谓词符号指定一个D上的谓词在使用解释I时解释公式A时，采用指定的个体域D，并将A中的所有个体常项符号、函数変项符号及谓词変项符号分别替换成I中指定的元素、函数及谓词。例2：对给定的解释I：（1）DI=2,3（2）a=2;（3）函数fx:f（4）谓词Fx:Gx,y:Gi,j

Lx,y:

L2,2=

L3,3在解释I下，求下列公式的真值。（1）公式A：x(Fx（2）公式B：x

(Ff(x)（3）公式C：x解：在解释I下，（1）A(F2∧G2,2)∧(F3∧G3,2)0（等值于矛盾式）例3：对给定的解释I：（1）DI=N为自然数集合;（2）a=0;（3）函数fx,y=x+y,g

（4）谓词Fx,y:在解释I下，判断下列公式是否为命题？真值？。（1）A：xF（2）B：xy(F（3）C：x（4）D：x（5）E：F解：（1）Ax(x∙0=x)是假命题；（2）Bx（3）Cx（4）Dx（5）Ex+y=y+z陈述句，但在论域内，真值随着个体变项的取值而变化，不是命题。问题：为什么（5）不是命题？原因是什么？（存在自由变元）八、谓词公式的赋值赋值：对每一个命题变项x指定一个值(x)D例上例（5）E：Fx,y,f(y,z)在解释（1）σ1：σ1(x)=1,σ1(y)=2,σ1E1+2=2+3是假命题；（2）σ2：σ2(x)=1,σ2(y)=2,σ2E1+2=2+1是真命题；在使给定解释I和赋值下，任何公式都是命题。闭公