高一数学10.1.4　概率的基本性质

10.1.4概率的基本性质课标要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.【引入】前面我们学习了概率的意义，知道概率是指事件在某些条件下发生的可能性大小，我们看几个例子：电话铃响时，响第一声拿起话筒，响第二声拿起话筒，这两个事情是不可能同时发生的，又如甲、乙两个运动员进行射击比赛，甲运动员射中10环，乙运动员射中10环，这两件事情能够同时发生，这些事件里面体现了概率的某些性质.一、概率的基本性质探究一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.(1)事件R＝“两次都摸到红球”与事件G＝“两次都摸到绿球”，R∪G＝“两次摸到的球颜色相同”，试比较P(R)，P(G)与P(R∪G)之间的关系；(2)R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，“两个球中有红球”＝R1∪R2，那么P(R1∪R2)和P(R1)＋P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2)?提示(1)因为n(Ω)＝12，n(R)＝2，n(G)＝2，n(R∪G)＝2＋2＝4，所以P(R)＝P(G)＝eq\f(2,12)，P(R∪G)＝eq\f(4,12)，因此，P(R∪G)＝eq\f(2＋2,12)＝P(R)＋P(G).(2)P(R1∪R2)≠P(R1)＋P(R2).因为n(Ω)＝12，n(R1)＝n(R2)＝6，n(R1∪R2)＝10，所以P(R1)＋P(R2)＝eq\f(6,12)＋eq\f(6,12)＝1，P(R1∪R2)＝eq\f(10,12)，而P(R1∩R2)＝eq\f(2,12)，因此P(R1∪R2)＝P(R1)＋P(R2)－P(R1∩R2).【知识梳理】性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P()＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5：如果AB，那么P(A)≤P(B).性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).温馨提示性质4体现了“正难则反”的思想，当一个事件较为复杂时，而它的对立事件较为简单，利用性质4可简化计算.例1(1)下列说法正确的个数是()①必然事件的概率等于1；②某事件的概率等于1.1；③某事件的概率是0.A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析①必然事件的概率等于1，此说法正确，必然事件一定发生，故其概率是1；②某事件的概率等于1.1，必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，此说法不正确；③不可能事件的概率就是0，故说法正确.(2)投掷一枚骰子(均匀的正方体)，设事件A为“掷得偶数点”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为()A.P(A)>P(B) B.P(A)＝P(B)C.P(A)<P(B) D.不确定答案A解析法一因为n(A)＝3，n(B)＝1，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，故P(A)>P(B).法二因为BA，所以P(A)>P(B).思维升华1.由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间，所以任何事件的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.2.利用概率性质进行判断，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义.训练1若A，B为互斥事件，则()A.P(A)＋P(B)<1 B.P(A)＋P(B)>1C.P(A)＋P(B)＝1 D.P(A)＋P(B)≤1答案D解析因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.二、互斥事件概率公式的应用例2(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件A＝“出现1点”，B＝“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝eq\f(1,6)，求出现1点或2点的概率.(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A＝“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B＝“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解(1)设事件C＝“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，所以出现1点或出现2点的概率是eq\f(1,3).(2)设事件D＝“3只球中既有红球又有白球”，因为A，B是互斥事件，P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5)，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是eq\f(4,5).思维升华运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件.解题的一般步骤：(1)确定各事件彼此互斥；(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.训练2在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8，10)[10，12)[12，14)[14，16)[16，18]概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].解记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)因为P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24，所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18]的概率分别为0.82，0.38，0.24.三、对立事件的概率公式的应用例3(链接教材P243例11)甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.解(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).(2)法一设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法二设事件A为“甲不输”，是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，即甲不输的概率是eq\f(2,3).思维升华利用对立事件的概率公式解题的思路(1)当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较烦琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率.(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么.该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.训练3甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个题，其中选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2，则“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p3，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.因此样本点的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)；记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，又P(A)与P(B)为互斥事件，故“甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题”的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C，则事件eq\o(C,\s\up6(－))为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意得P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)＝1－P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).【课堂达标】1.(多选)下列结论正确的是()A.若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则P(B)＝0B.若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥C.若事件A与B对立，则P(A∪B)＝1D.若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥答案ABC解析若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则A为必然事件，故B为不可能事件，则P(B)＝0，故A正确；若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不可能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确；若事件A与B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，故C正确；若事件A，B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误.2.在掷骰子的游戏中，向上的点数是5或6的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.1答案B解析事件“向上的点数是5”与事件“向上的点数是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是eq\f(1,6)，所以“向上的点数是5或6”的概率是eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).3.从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为eq\f(4,5)，那么所选3人中都是男生的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4) C.eq\f(4,5) D.eq\f(1,6)答案A解析设A＝“3人中至少有1名女生”，B＝“3人都是男生”，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5).4.已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3.(1)如果BA，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝________.答案(1)0.50.3(2)0.80解析(1)如果BA，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3.(2)如果A，B互斥，那么A∩B＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0.一、基础巩固1.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A.0.7 B.0.2 C.0.1 D.0.3答案D解析∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.2.下列说法错误的个数为()①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B为对立事件.A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；只有A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，②错误；若事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，但A∪B∪C不一定是必然事件.例如，设样本空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成的且事件D与A∪B∪C为对立事件，当P(D)≠0时，P(A)＋P(B)＋P(C)<1，③错误；若使A，B为对立事件，还需满足A∩B＝，故④错误.3.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8) C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)答案D解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的方法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的方法，所以所求的概率为eq\f(14,16)＝eq\f(7,8).4.从一副混合后的扑克牌(不含大小王)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝()A.eq\f(7,26) B.eq\f(11,26) C.eq\f(15,26) D.eq\f(19,26)答案A解析一副混合后的扑克牌(不含大小王)共有52张，则事件A的概率为P(A)＝eq\f(1,52).一副扑克牌有13张黑桃，则事件B的概率为P(B)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，而事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,26).5.(多选)甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,3)，乙获胜的概率为eq\f(1,6)，则下列说法正确的是()A.甲获胜的概率是eq\f(1,2) B.甲不输的概率是eq\f(1,2)C.乙输的概率是eq\f(2,3) D.乙不输的概率是eq\f(1,2)答案AD解析“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6)，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为eq\f(1,2)，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，故D正确.6.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.4和0.35，那么黑球有________个.答案25解析由题意，可得任取一球是黑球的概率为1－(0.4＋0.35)＝0.25，所以黑球有100×0.25＝25(个).7.设事件A的对立事件为B，已知事件B的概率是事件A的概率的2倍，则事件A的概率是________.答案eq\f(1,3)解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＋P（B）＝1，,P（B）＝2P（A），))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(2,3).8.某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：月收入[1000，1500)[1500，2000)[2000，2500)[2500，3000)概率0.12ab0.14已知月收入在[1000，3000)内的概率为0.67，则月收入在[1500，3000)内的概率为________.答案0.55解析记这个商店月收入在[1000，1500)，[1500，2000)，[2000，2500)，[2500，3000)内分别为事件A，B，C，D，因为事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.67－0.12＝0.55.9.某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率.解记事件A＝“抽取的为女职工”，记事件B＝“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有P(A)＝eq\f(1600＋1400＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(35,113)，P(B)＝eq\f(800＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(13,113)，P(A∩B)＝eq\f(500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(5,113)，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(35,113)＋eq\f(13,113)－eq\f(5,113)＝eq\f(43,113).10.某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，命中不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.解记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件B，“这个射手在一次射击中命中10环、9环、8环、不够8环”分别为事件A1，A2，A3，A4.由题意知，A2，A3，A4彼此互斥，∴P(A2∪A3∪A4)＝P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.又∵A1与A2∪A3∪A4互为对立事件，∴P(A1)＝1－P(A2∪A3∪A4)＝1－0.76＝0.24.∵A1与A2互斥，且B＝A1∪A2，∴P(B)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.24＋0.28＝0.52.二、综合运用11.某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能答对这3个问题，即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为________.答案0.4解析记“答对0个问题”为事件A，“答对1个问题”为事件B，“答对2个问题”为事件C，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D，则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件eq\o(D,\s\up6(－))，且eq\o(D,\s\up6(－))＝A∪B∪C，显然P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P(D)＝1－P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝1－0.6＝0.4.12.甲、乙两人从1，2，3，…，10中各取一数(不重复)，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为________.答案eq\f(13,18)解析甲、乙两人从1，2，3，…，10中各取一数(不重复)，甲取到的数是5的倍数，设甲取的数为m，乙取的数为n，其样本点记为