高一数学第二课时　古典概型(二)

第二课时古典概型(二)课标要求1.进一步理解古典概型的定义.2.熟练掌握古典概型的概率计算公式.【引入】上一节课我们学习了古典概型的定义和计算公式，解决了简单的古典概型问题，本节课我们学习古典概型与其他知识相综合、较复杂的古典概型问题.一、列举法解决古典概型问题例1(链接教材P246T7)一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张.(1)求“抽取的卡片上的数字之和为5”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字完全相同”的概率.解将3张卡片有放回的抽取3次，每次抽1张的样本点有：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27个，且都等可能.(1)记事件A为“抽取的卡片上的数字之和为5”，则其对应的样本点为(1，1，3)，(1，2，2)，(1，3，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(3，1，1)，共6个，所以P(A)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)，所以“抽取的卡片上的数字之和为5”的概率为eq\f(2,9).(2)记事件B为“抽取的卡片上的数字完全相同”，则其对应的样本点为(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3个，所以P(B)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，所以“抽取的卡片上的数字完全相同”的概率为eq\f(1,9).思维升华解题时要注意是“有放回地抽取”还是“无放回地抽取”，若是“有放回地抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“无放回地抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化.训练1某市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”四种不同的垃圾桶.一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,9) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案D解析记“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”的垃圾桶分别为1，2，3，4，小陈提的“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”分别为a，b，c，d，每桶投一袋的样本点有：(a1，b2，c3，d4)，(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b3，c4，d2)，(a1，b4，c3，d2)，(a1，b4，c2，d3)，(a2，b1，c3，d4)，(a2，b1，c4，d3)，(a2，b3，c1，d4)，(a2，b3，c4，d1)，(a2，b4，c3，d1)，(a2，b4，c1，d3)，(a3，b1，c2，d4)，(a3，b1，c4，d2)，(a3，b2，c1，d4)，(a3，b2，c4，d1)，(a3，b4，c1，d2)，(a3，b4，c2，d1)，(a4，b1，c3，d2)，(a4，b1，c2，d3)，(a4，b2，c3，d1)，(a4，b2，c1，d3)，(a4，b3，c1，d2)，(a4，b3，c2，d1)，共24个，且都等可能，恰好有两袋垃圾投对的样本点有：(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b4，c3，d2)，(a2，b1，c3，d4)，(a3，b2，c1，d4)，(a4，b2，c3，d1)，共6个，所以恰好有两袋垃圾投对的概率p＝eq\f(6,24)＝eq\f(1,4).二、概率的应用例2某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}，其中共有16个样本点.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数为5，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1).所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，则事件B包含的样本点个数为6，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的样本点个数为5，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.思维升华应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件包含的样本点个数，最后代入公式求出概率.训练2某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(1)用球的标号列出所有的样本点；(2)有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.解(1)所有样本点包含(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2).(2)不正确，理由如下：由(1)知，所有样本点共12个，其中摸出的2个球都是红球的样本点有(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4个，所以中奖的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中奖的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故不中奖的概率比较大.三、概率与统计的综合问题例3某中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若在这100人中，成绩在[90，100]的学生中恰有2位是男生，现从样本中成绩在[90，100]的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.解(1)由频率分布直方图可知(0.005＋0.04＋0.03＋a＋0.005)×10＝1，解得a＝0.020，所以这100人的平均成绩为(55×0.005＋65×0.04＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.005)×10＝73，即这100人的平均成绩为73分.(2)依题意可知成绩在[90，100]的有100×0.005×10＝5(人)，其中2位男生、3位女生，设3位女生分别为a，b，c，2位男生分别为A，B.从中任取3人的样本点有(a，b，c)，(a，b，A)，(a，b，B)，(a，c，A)，(a，c，B)，(a，A，B)，(b，c，A)，(b，c，B)，(b，A，B)，(c，A，B)，共10个，其中恰有一位男生的样本点有(a，b，A)，(a，b，B)，(a，c，A)，(a，c，B)，(b，c，A)，(b，c，B)，共6个，所以恰有一位男生的概率p＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).思维升华概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有：第一步：根据题目要求求出数据(有的用到按比例分配分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)；第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数；第三步：找出所求事件包含的样本点个数；第四步：根据古典概型概率计算公式求解；第五步：明确规范地表述结论.训练3海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解(1)因为样本量与总体中的个体数的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以样本包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1，150×eq\f(1,50)＝3，100×eq\f(1,50)＝2，所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，则从这6件样品中抽取的2件商品，样本空间Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}，共15个样本点.每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个，所以P(D)＝eq\f(4,15)，即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,15).【课堂达标】1.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，恰有一次正面朝上的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案D解析将一枚质地均匀的硬币连掷2次，样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次正面朝上的样本点有(正，反)，(反，正)，故其概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).2.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1答案B解析记3件合格品分别为A1，A2，A3，2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个样本点，其中恰有一件次品包含6个样本点，故所求事件概率为eq\f(6,10)＝0.6.3.北京市环境保护监测中心每月向公众发布北京市各区域的空气质量状况.某年1月份各区域的PM2.5浓度情况如表：各区域1月份PM2.5浓度(单位：微克/米3)表区域PM2.5浓度区域PM2.5浓度区域PM2.5浓度怀柔27海淀34平谷40密云31延庆35丰台42门头沟32西城35大兴46顺义32东城36经开区46昌平32石景山37房山47朝阳34通州39从上述表格中随机选择一个区域，其这年1月份PM2.5的浓度小于36微克/米3的概率是()A.eq\f(1,17) B.eq\f(4,17) C.eq\f(5,17) D.eq\f(9,17)答案D解析从题中表格内随机选择一个区域，共有17个样本点，其中PM2.5的浓度小于36微克/米3的地区有9个样本点，则这年1月份PM2.5的浓度小于36微克/米3的概率是eq\f(9,17).4.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.答案eq\f(1,3)解析样本空间Ω＝{(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)}，共9个，其中颜色相同的样本点有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3个，故所求的概率p＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).一、基础巩固1.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)答案C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10个样本点，分别为(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)，取出的2支彩笔中含有红色彩笔的样本点有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个，故所求概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8) C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)答案C解析∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，∴共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，正确的开机密码只有1种，∴p＝eq\f(1,15).3.杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世之中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》.语文老师打算从“三吏”中选两首，从“三别”中选一首推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的古诗中包含《新安吏》和《无家别》的概率是()A.eq\f(2,9) B.eq\f(4,9) C.eq\f(5,9) D.eq\f(7,9)答案A解析《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a，b，c，《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d，e，f.从“三吏”中选两首，从“三别”中选一首，有样本点：(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，共9个且每个样本点的出现都是等可能的，其中包含《新安吏》和《无家别》的样本点有(a，b，e)，(a，c，e)，共2个，所以所求概率为eq\f(2,9).4.一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球，则第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5) C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案C解析设3个黑球编号分别为A1，A2，A3，2个白球编号分别为B1，B2，先后两次从袋中不放回地各取一球，样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B2，A1)，(B2，A2)，(B2，A3)，(B2，B1)，共20个，其中，第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的情况有6个样本点，∴所求概率p＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).5.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,6)答案A解析由题意得到如图正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，样本点有(GH，AB)，(GH，EF)，(GH，CD)，(AB，CD)，(AB，EF)，(EF，CD)，共6个，其中异面直线的样本点有(GH，AB)，(GH，EF)，(AB，CD)，共3个，故在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).6.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为________.答案eq\f(3,10)解析从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个样本点，甲、乙都被选中的样本点有3个，故所求的概率为eq\f(3,10).7.从3名男同学和3名女同学中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.答案eq\f(1,5)解析用A，B，C分别表示3名男同学，用a，b，c分别表示3名女同学，则从6名同学中选出2名的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15个，其中2名都是女同学包括(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，故所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).8.把一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，则使得关于x的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根的概率为________.答案eq\f(17,36)解析若方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根，则a2－4b>0.一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，记为(a，b)，所有的样本点有36个，其中满足题意的有(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共17个.故使得关于x的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根的概率为eq\f(17,36).9.从两台台式电脑(记为A和B)、两台笔记本电脑(记为C和D)中任意抽取两台.(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按比例分配分层随机抽样的样本空间；(2)在三种抽样方法下，分别计算抽到的两台都是笔记本电脑的概率.解设第一次抽到的电脑记为x，第二次抽到的电脑记为y，则可用数组(x，y)表示两次抽取的样本点.(1)根据相应的抽样方法可知，有放回简单随机抽样的样本空间：Ω1＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，D)}.不放回简单随机抽样的样本空间：Ω2＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)}.按比例分配分层随机抽样，先从台式电脑中抽一台，再从笔记本电脑中抽一台，其样本空间：Ω3＝{(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)}.(2)设事件E＝“抽到两台笔记本电脑”，则对于有放回简单随机抽样，E1＝{(C，C)，(C，D)，(D，C)，(D，D)}.因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点出现的可能性都相等，所以这是一个古典概型，因此P(E1)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).对于不放回简单随机抽样，E2＝{(C，D)，(D，C)}.因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点出现的可能性都相等，所以这是一个古典概型，因此P(E2)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).因为按比例分配分层随机抽样，不可能抽到两台笔记本电脑，所以E3＝，因此P(E3)＝0.10.某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.78米以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率.解(1)由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型.设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78米以下”，则M＝{AB，AC，BC}，共含有3个样本点，所以P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(2)从该小组同学中任选2人，这一试验E2的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型.设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”，则N＝{CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P(N)＝eq\f(3,10).二、综合运用11.先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成钝角三角形的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2) C.eq\f(13,36) D.eq\f(2,9)答案D解析要使a，b，4能够构成钝角三角形，则a，b，4需要满足a2＋b2<42或a2＋42<b2或42＋b2<a2，且能够满足三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.样本点的总数是36，结合上述条件可知，当a＝1时，均不符合要求，有0种情况；当a＝2时，b＝3，5符合要求，有2种情况；当a＝3时，b＝2，6符合要求，有2种情况；当a＝4时，b＝6符合要求，有1种情况；当a＝5时，b＝2符合要求，有1种情况；当a＝6时，b＝3，4符合要求，有2种情况；所以能构成钝角三角形的共有8种情况.故a，b，4能够构成钝角三角形的概率p＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).12.(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是()A.任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是eq\f(1,2)B.每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16C.每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是eq\f(1,2)D.每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16答案ACD解析记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品.在A中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率p＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，A正确；每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(