高一数学培优课　空间角的求法

培优课空间角的求法课标要求1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握三类空间角的常用求法.一、异面直线所成的角例1如图，已知在三棱锥A－BCD中，AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求异面直线AC与BD所成的角的大小.解如图，取AB，AD，DC，BD的中点分别为E，F，G，M，连接EF，FG，GM，ME，EG.则MG綉eq\f(1,2)BC，EM綉eq\f(1,2)AD.因为AD⊥BC，所以EM⊥MG.在Rt△EMG中，有EG＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1.由图可知，∠EFG为异面直线AC与BD所成的角(或补角).在△EFG中，因为EF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(13),4)，FG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),4)，所以EF2＋FG2＝EG2，所以EF⊥FG，即AC⊥BD.所以异面直线AC与BD所成的角的大小为90°.思维升华求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).训练1如图，在每个面都为等边三角形的四面体S－ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角.解如图，连接CF，SF，设四面体S－ABC的棱长为a，则SF＝CF＝eq\f(\r(3),2)a.因为E为SC的中点，所以EF⊥SC.在Rt△SEF中，SE＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(1,2)a，所以EF＝eq\r(SF2－SE2)＝eq\f(\r(2),2)a.取SB的中点为D，连接ED，FD，则FD∥SA，所以∠DFE为异面直线EF与SA所成的角(或补角).因为BC＝SA＝a，而FD∥SA，且FD＝eq\f(1,2)SA，ED∥CB，且ED＝eq\f(1,2)CB，所以FD＝ED＝eq\f(1,2)a，所以FD2＋ED2＝EF2.故△DEF是等腰直角三角形，可得∠EFD＝45°，即异面直线EF与SA所成的角是45°.二、直线与平面所成的角例2如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)答案B解析如图，取PC的中点E，连接OE，则OE∥BC.∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又OE∥BC，∴OE⊥平面PAC，∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角.设PA＝AC＝BC＝2，则OE＝1，CE＝eq\r(2)，OC＝eq\r(3)，∴cos∠OCE＝eq\f(CE,OC)＝eq\f(\r(6),3).思维升华求斜线和平面所成的角的步骤(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算.(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角.(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.训练2(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列说法正确的是()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°答案ABD解析如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；连接A1C1，交B1D1于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.因为OB平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a，则易得BC1＝eq\r(2)a，OC1＝eq\f(\r(2)a,2)，所以在Rt△BOC1中，OC1＝eq\f(1,2)BC1，所以∠OBC1＝30°，故C错误；因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正确.三、二面角角度1定义法在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.例3如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝eq\r(3)，求二面角V－AB－C的大小.解取AB的中点D，连接VD，CD，∵在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝eq\r(3)，同理CD⊥AB，CD＝eq\r(3)，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.思维升华利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.角度2垂面法过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.例4如图，将正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)答案B解析∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD.连接A1C交BD于点O，连接AO，则AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO平面ABD，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD.取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC，∴OM⊥CD，∴CD⊥平面AOM，∴∠AMO即为二面角A－CD－B的平面角.不妨设正方形A1BCD的边长为2，则AO＝eq\r(2)，OM＝1，∴AM＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3).∴cos∠AMO＝eq\f(OM,AM)＝eq\f(\r(3),3).思维升华二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角.角度3垂线法过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.例5如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α－l－β的大小.解如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，则AE⊥BD，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴BD⊥平面AEF，∴BD⊥平面AEF，又EF平面AEF，∴BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α－l－β的平面角.依题意知∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，∴AF＝CF＝eq\r(2)，AE＝1，∴sin∠AFE＝eq\f(AE,AF)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠AFE＝45°.∴二面角α－l－β的大小为45°.思维升华如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，通过证明线面垂直，可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.角度4射影面积法若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cosθ＝eq\f(S′,S).例6在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.解如图，∵PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴PA⊥AD.又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB平面PAB，∴AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB.设平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为θ，∴cosθ＝eq\f(S△PAB,S△PCD)＝eq\f(\f(1,2)a2,\f(1,2)×a×\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°.思维升华应用射影面积法的两种情况：(1)二面角所涉及的两个多边形面积易求，可用射影面积法.(2)二面角是无棱二面角且棱很难找出，导致不易做出二面角的平面角.训练3如图，已知矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\f(4,5)，则二面角A－BD－P的正切值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.－eq\f(1,2) D.－eq\f(1,3)答案B解析如图，过点A作AO⊥BD，交BD于点O，连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\f(4,5)，∴BD＝eq\r(32＋42)＝5，PO⊥BD，∴∠POA是二面角A－BD－P的平面角.∵eq\f(1,2)·BD·AO＝eq\f(1,2)·AB·AD，∴AO＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，∴tan∠POA＝eq\f(PA,AO)＝eq\f(\f(4,5),\f(12,5))＝eq\f(1,3).∴二面角A－BD－P的正切值为eq\f(1,3).【课堂达标】1.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于()A.20° B.70°C.90° D.110°答案B解析∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF与C1D所成角的大小是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案D解析如图，在正方体中，连接A1B，CD1，且CD1∩C1D＝O.因为E，F分别是棱AA1，AB的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以∠COD即为异面直线EF与C1D所成的角(或补角).因为四边形CDD1C1为正方形，所以∠COD＝eq\f(π,2)，所以异面直线EF与C1D所成角的大小为eq\f(π,2).3.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则侧面与底面所成的二面角的大小为________.答案60°解析正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则底面边长为2eq\r(3)，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为eq\r(3)，故所求的二面角的大小为60°.4.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC和平面ABC所成角的正切值为________.答案2解析因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC和平面ABC所成的角.在Rt△PAC中，因为AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.一、基础巩固1.若斜线段AB的长是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是()A.60° B.45°C.30° D.120°答案A解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角.因为AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(BO,AB)＝eq\f(1,2)，所以∠ABO＝60°.2.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，则异面直线A1C与B1C1所成的角为()A.60° B.30°C.90° D.45°答案A解析∵几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)，∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝eq\r(2)，CA1＝eq\r(2)，又BC＝eq\r(2).∴△BCA1是等边三角形，∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.3.已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则直线AC1与直线BD所成的角的大小为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案A解析如图，连接AC交BD于点O，连接BC1，OC1，C1D.∵CD＝CB，CC1＝C1C，∠C1CD＝∠C1CB，∴△CDC1≌△CBC1，∴DC1＝C1B.∵底面ABCD是菱形，∴OB＝OD，∴OC1⊥BD.∵AC⊥BD，AC∩OC1＝O，AC，OC1⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，∴直线AC1与直线BD所成的角的大小为eq\f(π,2).4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)答案D解析如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，连接OO1，OD1，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，则cos∠O1OD1＝eq\f(O1O,OD1)＝eq\f(1,\r(\f(3,2)))＝eq\f(\r(6),3).5.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是()A.30° B.45°C.60° D.90°答案B解析∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角.在Rt△PAD中，由PA＝AD＝1，可得∠PDA＝45°.即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°.6.如图，若平面α∥平面β且两平面间的距离为10，AC是夹在这两个平面间的线段，且长为20，则AC与这两个平面所成的角为________.答案30°解析如图，过A作平面β的垂线AB，垂足为B，因为α∥β，则AB＝10.连接BC，则∠ACB即为AC与平面所成的角.因为△ABC是直角三角形，所以sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(1,2).因为∠ACB是锐角，所以∠ACB＝30°.7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则二面角C－BB1－D的正切值是________.答案eq\f(3,4)解析由长方体特点可知，BB1⊥平面ABCD.又BC平面ABCD，BD平面ABCD，∴BC⊥BB1，BD⊥BB1，∴∠CBD即为二面角C－BB1－D的平面角.又CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，BC⊥CD，∴tan∠CBD＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(3,4).8.已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝eq\r(3)，则二面角B－CD－A的正切值为________.答案1解析∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC平面ABC，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠ACB为二面角B－CD－A的平面角.∵BC⊥CD，∴BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(2).∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB＝eq\r(AD2－BD2)＝1，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝1.9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值.解如图，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而直线BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2a，则EM＝AD＝2a，BE＝eq\r(（2a）2＋（2a）2＋a2)＝3a.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq\f(2,3).10.在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为eq\r(2)，其余各棱长都为1，求二面角A－CD－B的余弦值.解如图，由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1，得△BCD为等边三角形，取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD，在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，连接BF，则∠BEF为二面角A－CD－B的平面角.∵EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(3),2)，BF＝eq\f(\r(2),2)，∴cos∠BEF＝eq\f(EF2＋BE2－BF2,2BE·EF)＝eq\f(\f(1,4)＋\f(3,4)－\f(1,2),2×\f(\r(3),2)×\f(1,2))＝eq\f(\r(3),3)，即二面角A－CD－B的余弦值为eq\f(\r(3),3).二、综合运用11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D.2答案A解析延长D1E与直线CD相交于F，连接AF，则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，又∵C1D1∥CD，∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角，∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，∴tan∠AFD＝eq\f(AD,DF)＝eq\f(1,2).12.如图，在四棱锥V－ABCD中，四边形ABCD是正方形，△VAD是正三角形，平面VAD⊥平面ABCD，则二面角A－VD－B的余弦值为________.答案eq\f(\r(21),7)解析如图，取VD的中点E，连接AE，BE，则AE⊥VD.∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD.又平面VAD⊥平面ABCD，AB平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面VAD，则AB⊥AV，∴∠VAB＝90°.∵△VAD是正三角形，四边形ABCD为正方形，∴由勾股定理，可知BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(AB2＋VA2)＝VB，∴BE⊥VD，∴∠AEB就是所求二面角的平面角.在Rt△BAE中，∠BAE＝90°，AE＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(\r(3),2)AB，BE＝eq\f(\r(7),2)AB，∴cos∠AEB＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(\r(21),7)，即所求二面角的余弦值为eq\f(\r(21),7).13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.(1)求PB与平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A－PD－C的正弦值.(1)解在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，故PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB与平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°，所以PB与平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA，又CD⊥CA，PA∩CA＝A，PA，CA⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AE，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以AC＝AB，所以PA＝AC，又E为PC的中点，所以AE⊥PC，又CD∩PC＝C，CD，PC⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.(3)解如图，过点E作EM⊥PD于M，连接AM，则AM⊥PD，所以∠AME即二面角A－PD－C的平面角，设PA＝a，则AE＝eq\f(\r(2),2)a，在四边形ABCD中，∠CA