高一数学章末检测卷(一)　第六章

章末检测卷(一)第六章(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知线段上A，B，C三点满足eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则这三点在线段上的位置关系是()答案A解析由题意可知eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))同向共线，且BC＝2AB.2.设e1，e2为一组基底，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A.2 B.－3 C.－2 D.3答案A解析易知eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)，又A，B，D三点共线，则eq\o(DB,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，则k＝2.3.设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()A.5 B.2eq\r(5) C.eq\r(10) D.10答案C解析因为向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0⇒x＝2，1×(－4)－2y＝0⇒y＝－2，从而a＋b＝(2，1)＋(1，－2)＝(3，－1)，因此|a＋b|＝eq\r(32＋（－1）2)＝eq\r(10).4.已知a＝(λ，2)，b＝(3，－5)，且a与b的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(10,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(10,3)))答案D解析因为a与b的夹角θ是钝角，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3λ－10,\r(λ2＋4)·\r(9＋25))<0，且2×3≠－5λ，解得λ<eq\f(10,3)且λ≠－eq\f(6,5).5.在▱ABCD中，点E满足eq\o(DE,\s\up6(→))＝－2eq\o(CE,\s\up6(→))，且O是边AB的中点.若AE交DO于点M，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,7) C.eq\f(5,3) D.eq\f(3,4)答案B解析如图，在▱ABCD中，因为△AOM∽△EDM，所以eq\f(AM,EM)＝eq\f(OM,DM)＝eq\f(AO,ED)＝eq\f(\f(1,2)AB,\f(2,3)DC)＝eq\f(3,4)，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝－2eq\o(CE,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝eq\f(3,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(DC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,7)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,7)eq\o(AB,\s\up6(→)).因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＋μ＝eq\f(5,7).6.黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与全长的比值为eq\f(\r(5)－1,2)的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示.已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：eq\f(AC,AB)＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(\r(5)－1,2).若△CDE是顶角为36°的等腰三角形，则cos216°＝()A.－eq\f(\r(5)＋1,4) B.－eq\f(\r(5)－1,4) C.－eq\f(\r(5)＋1,2) D.－eq\f(\r(5)－1,2)答案A解析由题意得，在正五角星中，C，D为AB的两个黄金分割点，易知BC＝CE.因为eq\f(CD,BC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以eq\f(CD,CE)＝eq\f(\r(5)－1,2).不妨设CE＝2，则CD＝eq\r(5)－1，在△CDE中，由余弦定理得cos36°＝eq\f(22＋22－（\r(5)－1）2,2×2×2)＝eq\f(\r(5)＋1,4)，所以cos216°＝cos(180°＋36°)＝－cos36°＝－eq\f(\r(5)＋1,4).7.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20000m，速度为900km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为()A.5000(eq\r(3)＋1)m B.5000(eq\r(3)－1)mC.5000(3－eq\r(3))m D.5000(5－eq\r(3))m答案C解析如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意知A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°，AB＝900×80×eq\f(1,3600)＝20(km).在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq\f(AB·sinA,sin∠ACB)＝10eq\r(2)(km).在△BCD中，CD＝BCsin∠CBD＝BC·sin75°＝10eq\r(2)×sin75°＝5＋5eq\r(3)(km)，所以山顶的海拔高度为20000－5000(eq\r(3)＋1)＝5000(3－eq\r(3))(m).8.已知P是△ABC的外心，且3eq\o(PA,\s\up6(→))＋4eq\o(PB,\s\up6(→))－2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则cosC＝()A.－eq\f(\r(15),4) B.－eq\f(1,4)C.eq\f(\r(15),4)或－eq\f(\r(15),4) D.eq\f(1,4)或－eq\f(1,4)答案B解析因为P是△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|.由题知2eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))＋4eq\o(PB,\s\up6(→))，两边平方得4|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝9|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋16|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＋24eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))，即4|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝9|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋16|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＋24|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|cos2C，即4＝9＋16＋24cos2C所以－eq\f(7,8)＝cos2C＝2cos2C－1，则cosC＝±eq\f(1,4).又由2eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))＋4eq\o(PB,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＋3eq\o(CA,\s\up6(→))＋4eq\o(PC,\s\up6(→))＋4eq\o(CB,\s\up6(→))，得eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up6(→)).因为eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)>1，所以C与外心P在AB的异侧，则C在劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，所以C为钝角，即cosC＝－eq\f(1,4).二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.设a，b是两个非零向量，若b⊥(a－b)，则下列结论正确的是()A.a·b＝|b|2B.|a|＝|a－2b|C.a在b上的投影向量为bD.cos〈a，b〉＝eq\f(|a|,|b|)答案ABC解析因为b⊥(a－b)，所以b·(a－b)＝b·a－b2＝0，所以a·b＝b2＝|b|2，所以选项A正确；因为a·b＝|b|2，所以a2＝a2－4a·b＋4b2，所以|a|＝|a－2b|，所以选项B正确；a在b上的投影向量为eq\f(|a|cos〈a，b〉,|b|)·b＝eq\f(a·b,|b|2)·b＝b，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|b|2，所以cos〈a，b〉＝eq\f(|b|,|a|)，所以选项D错误.10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.若A>B，则sinA>sinBB.若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C.若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2<c2D.若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为eq\r(3)答案ABD解析对于A选项，若A>B，则a>b，由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA>sinB，故A正确；对于B选项，bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA<a<b，所以△ABC有两解，故B正确；对于C选项，当△ABC为钝角三角形，且C为钝角时，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可得a2＋b2<c2，若C不为钝角，则得不到a2＋b2<c2，故C错误；对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得4＝a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\r(3)，故D正确.11.在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(2\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则下列说法正确的是()A.sinC＝eq\f(4,5)B.△ABC的面积为2C.△ABC的外接圆直径是eq\f(5\r(5),4)D.△ABC的内切圆半径是eq\f(3－\r(5),2)答案ABD解析因为coseq\f(C,2)＝eq\f(2\r(5),5)，所以cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(3,5)，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(4,5)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×1×5×eq\f(4,5)＝2，故A，B正确；由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝12＋52－2×1×5×eq\f(3,5)＝20，所以c＝2eq\r(5)，所以△ABC外接圆的直径2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(2\r(5),\f(4,5))＝eq\f(5\r(5),2)，故C错误；设△ABC的内切圆半径为r，则S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，即eq\f(1,2)(1＋5＋2eq\r(5))r＝2，所以r＝eq\f(3－\r(5),2)，故D正确.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，－1)，c＝(4，4)，且满足a·c＝b·c，则a＝________(写出满足条件的一种即可).答案(0，－2)(答案不唯一，满足x＋y＝－2即可)解析由题意得a·c＝4x＋4y，b·c＝－4－4＝－8，由于a·c＝b·c，所以有x＋y＝－2，取x＝0，y＝－2，得a＝(0，－2)(答案不唯一).13.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB＝b2sinAcosB，则△ABC的形状为________________.答案等腰三角形或直角三角形解析由a2cosAsinB＝b2sinAcosB及正弦定理，得sin2A＝sin2B，所以A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，故△ABC是等腰三角形或直角三角形.14.设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模为|a×b|＝|a|·|b|·sinθ.若a＝(－1，1)，b＝(0，2)，则|a×b|＝________.答案2解析由a＝(－1，1)，b＝(0，2)，得|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，a·b＝－1×0＋1×2＝2，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,\r(2)×2)＝eq\f(\r(2),2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4)，则sinθ＝eq\f(\r(2),2).又|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，所以|a×b|＝eq\r(2)×2×eq\f(\r(2),2)＝2.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2.(1)求|a|，|b|；(2)求a与b的夹角.解(1)因为e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，则|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝eq\f(1,2).又a2＝(2e1＋e2)2＝4eeq\o\al(2,1)＋4e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝7，所以|a|＝eq\r(7)，同理b2＝(－3e1＋2e2)2＝9eeq\o\al(2,1)－12e1·e2＋4eeq\o\al(2,2)＝7，所以|b|＝eq\r(7).(2)由题得，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6eeq\o\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝－eq\f(7,2).设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq\f(1,2).因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3)，则a与b的夹角为eq\f(2,3)π.16.(15分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up6(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线.(1)求实数λ的值；(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up6(→))的坐标；(3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.解(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(EC,\s\up6(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,k－1－λ＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,λ＝－\f(3,2).))(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2).(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).设A(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3－x，5－y).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－7，－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7，))即点A的坐标为(10，7).17.(15分)如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝75°，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°.(1)求BD的长；(2)求CD的长.解(1)在△ABD中，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60°，由余弦定理可得，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠BDA,即49＝25＋BD2－2×5·BD·cos60°，则BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8(BD＝－3舍去).(2)在△BCD中，∠BDC＝∠ADC－∠BDA＝75°－60°＝15°，又∠BCD＝135°，则∠CBD＝180°－135°－15°＝30°.由(1)得BD＝8，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，即eq\f(CD,sin30°)＝eq\f(8,sin135°)，解得CD＝4eq\r(2).18.(17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝eq\f(25,31)，求△ABC的周长.(1)证明法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，结合正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*).由余弦定理可得accosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2)，abcosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2)，2bccosA＝b2＋c2－a2，得上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA得，a2＝2bccosA，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.19.(17分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bc