高一数学周测卷5　(范围：§8.1～§8.3)

周测卷5(范围：§8.1～§8.3)(时间：50分钟满分：100分)一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1.某人用如图所示的纸片沿折痕向外折粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形作灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯逆时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①②③处可依次写上()A.乐、新、快 B.快、新、乐C.新、乐、快 D.乐、快、新答案B解析根据四棱锥图形，当灯逆时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为①为快，②为新，③为乐.2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是()A.eq\f(\r(2),2) B.1 C.eq\r(2) D.2eq\r(2)答案D解析∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，且O′B′＝2，∴O′A′＝eq\r(2)，从而平面图形的两条直角边OA＝2eq\r(2)，OB＝2，∴原平面图形的面积S△AOB＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2＝2eq\r(2).3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，当底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2 C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2答案A解析如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，AB＝a，∴PA＝PB＝PC＝eq\f(\r(2),2)a，∴表面积为eq\f(\r(3),4)×a2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)×3＝eq\f(\r(3),4)a2＋eq\f(3,4)a2＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.4.已知一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为4π，则该圆锥的体积为()A.eq\f(\r(15)π,3) B.eq\f(4π,3) C.3π D.eq\r(15)π答案A解析设圆锥底面圆半径为r，母线长为l.因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，所以2πr＝eq\f(π,2)l，解得l＝4r.因为该圆锥的侧面积为4π，所以πrl＝4πr2＝4π，解得r＝1，则l＝4，即底面圆的面积S＝π×r2＝π，则圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(15)，故圆锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(15),3)π.5.已知三棱锥O－ABC，侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC＝2，则以O为球心且1为半径的球与三棱锥O－ABC重叠部分的体积是()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)答案B解析由题可知以O为球心且1为半径的球与三棱锥O－ABC的重叠部分为球的eq\f(1,8)，故对应的体积为eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(π,6).6.如图，圆锥的母线长为4，M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周到达点B，这条绳子的最短长度为2eq\r(5)，则此圆锥的表面积为()A.4πB.5πC.6πD.8π答案B解析设圆锥的底面半径为r，因为母线长为4，所以侧面展开图扇形的圆心角α＝eq\f(2πr,4)＝eq\f(πr,2).将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM，如图所示.在△ABM中，由余弦定理得，BM的长度为BM＝eq\r(42＋22－2×4×2cos\f(πr,2))＝eq\r(20－16cos\f(πr,2))＝2eq\r(5)，解得coseq\f(πr,2)＝0，所以r＝1，所以圆锥的表面积S＝π×12＋π×1×4＝5π.二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)7.下列说法中，正确的是()A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B.由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥D.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥答案BC解析A中，如图，侧棱延长线可能不交于一点，故A错误；B中，符合多面体的定义，故B正确；C中，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等的小正三角形，所以正六棱锥棱长不可能与底面边长相等，故C正确；D中，不一定是正三棱锥，如图所示：三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，满足底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定等于AD，即三条侧棱不一定全部相等，故D错误.8.已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2eq\r(3)，则下列叙述正确的是()A.正三棱锥高为3B.正三棱锥的斜高为eq\f(\r(39),2)C.正三棱锥的体积为eq\f(27\r(3),4)D.正三棱锥的侧面积为eq\f(9\r(39),4)答案ABD解析如图，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝eq\r(（2\r(3)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(39),2)，EF＝eq\f(1,3)×3×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故PE＝eq\r(PF2－EF2)＝3，故A，B正确.正三棱锥的体积为eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),4)×32＝eq\f(9\r(3),4)，侧面积为3×eq\f(1,2)×3×eq\f(\r(39),2)＝eq\f(9\r(39),4)，故C错误，D正确.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)9.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27π，则该几何体的表面积为________.答案36π解析依题设，旋转所得的几何体为圆柱体，设正方形的边长为a，则V柱＝πa2·a＝27π，即a＝3.因此S圆柱侧＝2π×3×3＝18π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋18π＝36π.10.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是eq\f(32,3)π，那么这个三棱柱的体积是________.答案48eq\r(3)解析设球的半径为r，则eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4eq\r(3)，所以正三棱柱的体积V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).11.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为________.答案eq\f(3,16)解析设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.画图可知(图略)，R2＝eq\f(1,4)R2＋r2，∴eq\f(3,4)R2＝r2.∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝eq\f(3,4)πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为eq\f(\f(3,4)πR2,4πR2)＝eq\f(3,16).四、解答题(本题共3小题，共43分)12.(13分)如图所示，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求该圆柱的体积及表面积.解设圆柱的底面半径为r，高为h′，易知圆锥的高h＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).又∵h′＝eq\r(3)，∴h′＝eq\f(1,2)h，∴eq\f(r,2)＝eq\f(h－h′,h)＝eq\f(1,2)，∴r＝1.故圆柱的体积V＝πr2h′＝eq\r(3)π，S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh′＝2π＋2π×eq\r(3)＝(2＋2eq\r(3))π.13.(15分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.解如图，⊙O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.设将球取出后，水面在MN处，MN与CD交于点E.则DO＝r，AD＝eq\r(3)r，AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)r，∴CD＝3r.由题意，V圆锥CD＝eq\f(π,3)(eq\r(3)r)2·3r＝3πr3，V圆锥CE＝V圆锥CD－V球O＝3πr3－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，又V圆锥CE∶V圆锥CD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)π·ME2·CE))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)π·AD2·CD))，且ME∶AD＝CE∶CD，∴V圆锥CE：V圆锥CD＝CE3∶CD3，则eq\f(5πr3,3)∶3πr3＝CE3∶(3r)3，∴CE＝eq\r(3,15)r，∴球从容器中取出后，水的深度为eq\r(3,15)r.14.(15分)现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥(底面为正方形且顶点在底面的射影为正方形的中心)P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？解(1)PO1＝2m，则OO1＝8m，VP－A1B1C1D1＝eq\f(1,3)SA1B1C1D1·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)，VABCD－A1B1C1D1＝SABCD·OO1＝62×8＝288(m3)，V＝VP－A1B1C1D1＋VABCD－A1B1C1D1＝312(m3)，故仓库的容积为312m3.(2)设PO1＝xm，下部分的侧面积为S(x)，则OO1＝4xm，A1O1＝eq\r(36－x2)，A1B1＝eq\r(2