高一数学周测卷9　(范围：§10.1)

周测卷9(范围：§10.1)(时间：50分钟满分：100分)一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1.从集合{1，2，3，4，5，6}中任取两个数，事件“这两个数之和为偶数”包含的样本点个数为()A.3 B.4 C.5 D.6答案D解析事件“这两个数之和为偶数”包含的样本点有：(1，3)，(1，5)，(2，4)，(2，6)，(3，5)，(4，6)，共6个.2.从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有一个是红球，至少有一个是绿球B.恰有一个红球，恰有两个绿球C.至少有一个红球，都是红球D.至少有一个红球，都是绿球答案B解析样本点为一个红球一个绿球、两个红球、两个绿球.选项A，这两个事件既不互斥也不对立；选项B，是互斥事件，但不是对立事件；选项C，既不互斥也不对立；选项D，是互斥事件也是对立事件.3.甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.6，两人下成和棋的概率为0.2，则甲不输的概率是()A.0.12 B.0.8 C.0.48 D.0.6答案B解析记事件A＝“甲获胜”，事件B＝“两人下成和棋”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.2，且事件A与B互斥.记事件C＝“甲不输”，则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以甲不输的概率是0.8.4.自然对数的底数e＝2.718281…，e是一个奇妙有趣的无理数，它取自数学家欧拉Euler的英文字头.某教师为帮助同学们了解“e”，让同学们从小数点后的3位数字7，1，8中随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字不大于2.78的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)答案A解析由题意，得到的数字有2.17，2.71，2.78，2.87，2.18，2.81，共6个，其中数字不大于2.78的有2.17，2.18，2.71，2.78，共4个，所以得到的数字不大于2.78的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).5.口袋中装有编号为①②的2个红球和编号为①②③④⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外完全相同.现从中取出1个小球，设事件A＝“取到的小球的编号为②”，事件B＝“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是()A.A与B互斥 B.A与B对立C.P(A＋B)＝eq\f(6,7) D.P(AB)＝eq\f(6,7)答案C解析依题意，A∩B＝取到的小球为黑球且编号为②，即事件A与B同时发生，则A与B不互斥，也不对立，故A，B都不正确；由古典概型的概率得P(A)＝eq\f(2,7)，P(B)＝eq\f(5,7)，P(AB)＝eq\f(1,7)，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(6,7)，故C正确，D不正确.6.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)答案B解析从1，2，3，4中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12个样本点，其中能被4整除的有：12，24，32，共3个样本点，所以这个两位数能被4整除的概率为p＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)7.在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是()A.A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件B.A1∪A2∪A3是必然事件C.P(A2∪A3)＝0.8D.P(A1∪A2)≤0.5答案ABC解析三个事件A1，A2，A3不一定是两两互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1.A1∪A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件.故选ABC.8.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则()A.他只属于音乐小组的概率为eq\f(1,13)B.他只属于英语小组的概率为eq\f(8,15)C.他属于至少2个小组的概率为eq\f(3,5)D.他属于不超过2个小组的概率为eq\f(13,15)答案CD解析由题图知参加兴趣小组的共有6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60(人)，只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8，故只属于音乐小组的概率为eq\f(8,60)＝eq\f(2,15)，只属于英语小组的概率为eq\f(6,60)＝eq\f(1,10).“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为eq\f(11＋10＋7＋8,60)＝eq\f(3,5).“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”，故他属于不超过2个小组的概率是p＝1－eq\f(8,60)＝eq\f(13,15).三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)9.已知事件A，B互斥，且事件A发生的概率P(A)＝eq\f(1,5)，事件B发生的概率P(B)＝eq\f(1,3)，则事件A，B都不发生的概率是________.答案eq\f(7,15)解析因为事件A，B互斥，且P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，所以事件A，B至少发生一个的事件为A＋B，其概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15).而事件A，B都不发生是事件A＋B的对立事件，则其概率为1－P(A＋B)＝1－eq\f(8,15)＝eq\f(7,15)，即事件A，B都不发生的概率是eq\f(7,15).10.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为________.答案eq\f(2,3)解析记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率p＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).11.同时掷两枚骰子，向上的点数之和是10的概率为________，向上的点数之和不小于10的概率为________.答案eq\f(1,12)eq\f(1,6)解析同时掷两枚骰子的样本空间如表所示1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)所以，同时掷两枚骰子一共有36个样本点.其中向上的点数之和是10的样本点有(4，6)，(5，5)，(6，4)，共3个，由古典概型的概率公式得向上的点数之和是10的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).其中向上的点数之和不小于10的样本点有(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共6个，由古典概型的概率公式得向上的点数之和不小于10的概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).四、解答题(本题共3小题，共43分)12.(13分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.解(1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.(2)不公平.甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)共5种，甲胜的概率为p1＝eq\f(5,12)，乙胜的概率为p2＝1－eq\f(5,12)＝eq\f(7,12)，所以eq\f(5,12)＜eq\f(7,12)，所以此游戏不公平.13.(15分)有4张卡片，其中有2张是珍藏版.(1)有放回地从卡片中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是珍藏版的概率；(2)无放回地从卡片中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是珍藏版的概率.解(1)将4张卡片分别记作A，B，C，D，规定A，B是珍藏版，则有放回地取出2张卡片的所有结果列表如下：ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)可见所有结果共16种，取出的2张是珍藏版结果有4种，故所求概率是eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).(2)我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序.如果考虑顺序的话，我们可以在(1)中的表格里去掉对角线上的(A，A)，(B，B)，(C，C)，(D，D)，得到的就是所有结果数，为12，当然这个所有结果数还可以用树状图法或列举法得到，而取出的2张是珍藏版的结果有2种，故所求概率是eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).如果不考虑顺序的话，可以在(1)中的表格里要么只取对角以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况，这时可以看出所有的结果有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是珍藏版的结果只有1种，故所求概率是eq\f(1,6).综上所述，无放回地从卡片中任取2次，取出的2张都是珍藏版的概率为eq\f(1,6).14.(15分)某中学的环保社团参照国家环境标准，制定了某区域空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300).空气质量指数(0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该区域在2024年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下，把该直方图所得频率估计为概率.(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2024年11月的空气质量情况的依据，则2024年11月中有多少天的空气质量达到优良？(2)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为2000元.若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3000元的概率.解(1)由频率分布直方图，可得这10天中1级优1天，2级良2天，3～6级共7天，所以这10天中空气质量达到优良的概率为p＝eq\f(3,10)，因为30×eq\f(3,10)＝9，所以11月中有9天的空气质量达到优良.(2)设空气质量指数在(0，50]的一天为A，空气质量指数在(50，100]的两天为b，c，空气