高中数学第八章　§8.2　立体图形的直观图

学习目标1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点)2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.(难点)3.掌握直观图与原图形的长度、角度和面积间的关系.导语想象一下，你手中的一张平面图纸，如何能跃然呈现出金字塔的巍峨、魔方的灵动，甚至宇宙飞船的精密结构？立体几何直观图正是打开三维思维的魔法钥匙！它用巧妙的斜二测画法打破维度壁垒，让长方体在纸上“站立”，使圆柱体拥有光影的呼吸感.这不仅是一门将空间折叠进纸面的艺术，更是工程师绘制蓝图、建筑师构想空间的科学语言.在这里，线条与视角的舞蹈将唤醒你沉睡的空间想象力，带你穿透平面，触摸几何世界的立体灵魂.准备好让你的思维跳出纸面了吗？一、水平放置的平面图形的直观图的画法问题1我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？提示在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图1所示，当两坐标轴的夹角不是90°时，如图2所示，台面看起来就是平行四边形了.知识梳理用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤注意点：斜二测画法的“三变”与“三不变”.(1)三变.①坐标轴的夹角改变；②与y轴平行的线段的长度改变；③图形的形状改变.(2)三不变.①线段的平行关系不变；②与x轴平行或重合的线段的长度不变；③点的相对位置不变.例1(课本例1)用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.解(1)如图(1)所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O.在图(2)中，画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°.(2)在图(2)中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD，在y'轴上取M'N'=12MN.以点N'为中点，画B'C'平行于x'轴，并且等于BC；再以M'为中点，画F'E'平行于x'轴，并且等于FE(3)连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'，并擦去辅助线x'轴和y'轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'，如图(3).例1用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图.解(1)如图①，以平行于CD的直线为x轴，过点A且垂直于CD的直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，CD与y轴交于点F，再建立如图②所示的平面坐标系O'x'y'，使∠x'O'y'=45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系O'x'y'中作O'H'=OH，O'G'=OG，O'A'=12OA，O'F'=12OF.过F'作C'D'∥x'轴且C'D'=CD，C'F'=(3)在平面坐标系O'x'y'中，过G'作G'B'∥y'轴，且G'B'=12GB，过H'作H'E'∥y'轴，且H'E'=12HE.连接A'B'，B'C'，D'E'，E'A'，擦去辅助线，得五边形A'B'C'D'E'为正五边形ABCDE水平放置的直观图，如图反思感悟画平面图形直观图的技巧(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定平面直角坐标系(注意一般要使平面多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上)，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系.(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在坐标轴上或在与坐标轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在坐标轴上且不在与坐标轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与坐标轴平行的线段，将此点转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.跟踪训练1如图所示，在△ABC中，BC=8，BC边上的高AD=6，试用斜二测画法画出其直观图.解(1)在△ABC中建立如图①所示的平面直角坐标系Oxy，再建立如图②所示的坐标系O'x'y'，使∠x'O'y'=45°.(2)在坐标系O'x'y'中，在x'轴上截取O'B'=OB，O'C'=OC；在y'轴上截取O'A'，使O'A'=12OA(3)连接A'B'，C'A'，擦去辅助线，得到△A'B'C'，即为△ABC的直观图(如图③所示).二、直观图的还原与计算例2(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.答案D解析实际图形和直观图如图①②所示，由②可知，A'B'=AB=a，O'C'=12OC=34在图②中作C'D'⊥A'B'于点D'，则C'D'=22O'C'=68所以S△A'B'C'=12A'B'·C'D'=12×a×=616a2(2)如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，C'A'=2，B'D'∥y'轴且B'D'=1.5.①将其恢复成原图形；②求原平面图形△ABC的面积.解①画法：(ⅰ)画平面直角坐标系Oxy，在x轴上取OA=O'A'，即CA=C'A'.(ⅱ)在x轴上取OD=O'D'，过D作BD∥y轴，并使BD=2B'D'.(ⅲ)连接AB，BC，则△ABC即为△A'B'C'原来的图形，如图.②∵B'D'∥y'轴，∴BD⊥AC.又B'D'=1.5且C'A'=2，∴BD=3，CA=2.∴S△ABC=12BD·CA延伸探究若一个三角形的原图形的面积为S，则其直观图的面积S'为多少？解设原图形的高为h，则直观图的高为24h.又平行于x轴的线段长度不变，所以S'=24反思感悟(1)直观图还原平面图形的策略还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.(2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=24S原跟踪训练2(1)如图是水平放置的四边形ABCD的直观图A'B'C'D'，A'D'∥y'轴，A'B'∥C'D'∥x'轴，则原四边形ABCD的面积是()A.14 B.102 C.28 D.142答案C解析如图，将直观图还原为平面图.∵A'D'∥y'轴，A'B'∥C'D'∥x'轴，A'B'≠C'D'，∴原图形是一个直角梯形.又C'D'=2，A'B'=5，A'D'=4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积S=12×(2+5)×(2)如图所示，矩形O'A'B'C'是由斜二测画法得到的水平放置的四边形OABC的直观图，其中O'A'=6cm，C'D'=2cm，则四边形OABC的形状是.答案菱形解析如图，在四边形OABC中，有BC=OA=O'A'=6cm，AB=OC，OD=2O'D'=2×22=42(cm)，CD=C'D'=2cm，∴OC=OD2+CD2=∴OA=OC，故四边形OABC是菱形.三、空间几何体的直观图的画法问题2我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？提示先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图.知识梳理1.立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面：按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中的平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.2.圆柱的直观图的画法步骤(1)画轴：画x轴、z轴，使∠xOz=90°.(2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面.(3)画上底面：在Oz上截取点O'，使OO'等于侧面母线长，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A'，B'.(4)成图：连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图.3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线.4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆.例3(1)(课本例2)已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.解(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.(3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB'，CC'，DD'.(4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了.(2)(课本例4)某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.解如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.例3画出正四棱锥的直观图.解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面.画出正方形的直观图ABCD，使AB，CD平行于x轴，AD，BC平行于y轴，且AD=BC=12AB=12CD，O为正方形ABCD的中心，如图(3)画顶点.在z轴上截取OP，使OP的长度是原正四棱锥的高，如图②.(4)成图.连接PA，PB，PC，PD，如图③，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到正四棱锥的直观图，如图④.反思感悟画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出.(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致.(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴.此例题也可以以AC，BD所在直线为x，y轴，从而使底面的四个顶点均落在坐标轴上.跟踪训练3已知某几何体分为上、下两部分，上部分是圆锥，下部分是圆台，圆台的下底面与圆锥的底面重合，请用斜二测画法画出该几何体的直观图.解(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画圆台的两底面.利用椭圆模板，画出上底面☉O，在z轴上截取OO'，使OO'等于圆台的高度，过点O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，类似底面☉O的作法作出下底面☉O'.(3)画圆锥的顶点.在O'z上截取O'P，使O'P等于圆锥的高度.(4)成图.连接PA'，PB'，A'A，B'B，整理得到该几何体的直观图，如图②.1.知识清单：(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.(2)直观图的还原与计算.(3)空间几何体的直观图的画法.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是()A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形答案AB解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.2.若利用斜二测画法画一个高为10cm的圆柱，则圆柱的高应()A.平行于z轴且长度为10cmB.平行于z轴且长度为5cmC.与z轴成45°且长度为10cmD.与z轴成45°且长度为5cm答案A解析平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.3.如图所示是水平放置的△ABC的直观图，其中A'O'=B'O'=C'O'=1，则原△ABC是一个()A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案C解析将水平放置的△ABC的直观图还原，可知AO=2A'O'=2，OB=OC=B'O'=C'O'=1，AO⊥BC，由勾股定理知AB=AC=12+22=5，注意到AB=AC=所以△ABC是等腰三角形，不是等边三角形，根据三边关系易知，△ABC是锐角三角形，不是直角三角形，综上所述，只有C选项符合题意.4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是.答案16解析由图可知O'B'=4，则对应△AOB中，OB=4.又和y'轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8，所以△AOB的面积为12×4×课时对点练[分值：80分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.利用斜二测画法画出边长为3的水平放置的正方形的直观图，正确的是()答案C解析正方形的直观图就是一内角为45°的平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2.如图，△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O'为坐标原点，顶点A'，B'均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O'B'的长度为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析画出△AOB的原图为直角三角形，且OA=O'A'=6，因为12OB×OA=12所以OB=4，所以O'B'=12OB3.已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()答案A解析根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确.4.已知两个底面重合在一起的圆锥，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2cm B.3cm C.2.5cm D.5cm答案D解析两顶点间的距离为2+3=5(cm)，与z轴平行(或在z轴上)的线段在直观图中长度不变，仍为5cm.5.如图，在平面直角坐标系中，点A(1，0)，B(-1，2)，C(-1，0)，D(0，-2)，则四边形ABCD的直观图的面积S等于()A.42 B.32C.22 D.2答案D解析依题意可得AC=BC=OD=2，OA=OC=1，AC⊥BC，所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12×2×2+12×2×则S=24S四边形ABCD=24×4=6.如图所示，水平放置的等腰梯形OABC的上底为1，下底为3，底角为45°，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C'，则梯形O'A'B'C'的高为()A.24 B.23 C.2答案A解析因为等腰梯形OABC的上底为1，下底为3，底角为45°，所以点C到x轴的距离为1，在直观图中，平行关系不变，所以图形的高为h=1×12×22=二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是()A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不变B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为原来的1C.画与平面直角坐标系Oxy对应的平面坐标系O'x'y'时，∠x'O'y'必须是45°D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同答案ABD解析对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不变，所以A正确；对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为原来的12，所以B对于C，由直观图的画法规则，可知画与平面直角坐标系Oxy对应的平面坐标系O'x'y'时，∠x'O'y'为45°或135°，所以C错误；对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确.8.已知一个水平放置的正方形由斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为4，则此正方形的面积可以为()A.16 B.64C.32 D.无法确定答案AB解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.三、填空题(每小题5分，共10分)9.在用斜二测画法画水平放