高中数学第八章　§8.6　习题课　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法

习题课异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法学习目标1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.(重点)2.掌握直线与平面所成角的概念及求法.(难点)一、异面直线所成的角例1已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为6，PO=42，OA，OB是底面半径，且OA⊥OB，M为线段AB的中点，如图所示.求异面直线PM与OB所成角的余弦值.解如图，取OA的中点N，连接PN，MN，OM，因为N为OA的中点，M为AB的中点，所以MN∥OB，于是∠PMN(或其补角)是异面直线PM与OB所成的角.因为M为AB的中点，OA=OB=2，且OA⊥OB，则OM=12AB=2又PN=ON2+POPM=OM2+PO所以cos∠PMN=P=34+1-33234=则异面直线PM与OB所成角的余弦值为3434反思感悟作异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角有三步：作角、证明、求解，其中，作角时常用的方法主要有三种：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线).(2)中位线平移法.(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).跟踪训练1如图，已知在三棱锥A-BCD中，AD=1，BC=3，且AD⊥BC，BD=132，AC=32，求异面直线AC与BD解取AB，AD，DC，BD的中点分别为E，F，G，M，连接EF，FG，GM，ME，EG.则MG=12BC=32，EM=12AD因为AD⊥BC，所以EM⊥MG.在Rt△EMG中，EG=12由题图可知，∠EFG(或补角)为异面直线AC与BD所成的角.在△EFG中，因为EF=12BD=134，FG=12AC=34，且EF2+FG2=EG2，所以即AC⊥BD.所以异面直线AC与BD所成的角为90°.二、直线与平面所成的角例2如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB=BC=2，∠CBD=45°，则直线BD与平面ACD所成角的大小为.

答案30°解析取AC的中点E，连接BE，DE，由题意知AB⊥平面BCD，而CD⊂平面BCD，故AB⊥CD，由题意得BD是底面圆的直径，∴∠BCD=90°，即CD⊥BC，∵AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，∴CD⊥BE，∵AB=BC=2，AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE=2，又AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，又BD=2BC=22，∴sin∠BDE=BEBD=222∵∠BDE为锐角，∴∠BDE=30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.反思感悟求斜线和平面所成的角的步骤(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算.(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角.(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.跟踪训练2如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，M是AB的中点，AC=CB=CC1=2.(1)证明：直线CM⊥平面AA1B1B；(2)求直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小.(1)证明因为A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以A1A⊥CM，因为M是AB的中点，AC=CB，所以CM⊥AB，又因为A1A，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB=A，所以直线CM⊥平面AA1B1B.(2)解连接A1M，由(1)知，直线CM⊥平面AA1B1B，所以∠CA1M即为直线A1C与平面AA1B1B所成的角，因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AC，又因为AC=CC1=2，所以在正方形AA1C1C中，A1C=22，因为∠ACB=90°，AC=CB=2，所以∠BAC=45°，CM=2，因为CM⊥平面AA1B1B，A1M⊂平面AA1B1B，所以CM⊥A1M，在Rt△A1CM中，sin∠CA1M=CMA1C=2又因为0°<∠CA1M<90°，所以∠CA1M=30°，即直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小为30°.三、折叠问题例3如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图2.(1)求证：BC⊥平面A1CD；(2)当AD的长为多少时，异面直线DE，A1B所成的角最小？求出此时所成角的余弦值.(1)证明在题图2中，因为A1D⊥DE，A1D⊥DC，DE∩DC=D，DE，DC⊂平面BCDE，所以A1D⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE，所以A1D⊥BC.又BC⊥DC，A1D∩DC=D，A1D，DC⊂平面A1CD，所以BC⊥平面A1CD.(2)解连接DB(图略)，设AD=A1D=x，则DC=6-x，0<x<6.由(1)得BC⊥A1C，A1D⊥DB，在Rt△BCD中，DB2=DC2+BC2=(6-x)2+32=x2-12x+45，所以在Rt△A1DB中，A1B=A1D2+D显然，当x=3，即AD=3(或D为AC的中点)时，线段A1B的长取得最小值，最小值是33.因为BC∥ED，所以∠A1BC即为异面直线DE，A1B所成的角，在Rt△A1CB中，cos∠A1BC=BCA1B=3A1因为余弦函数在0，π2上单调递减，所以当cos∠A1BC取最大值33时，∠A综上，当AD=3时，异面直线DE，A1B所成的角最小，此时所成角的余弦值为33反思感悟折叠问题在空间几何中主要看折叠前后哪些量保持不变，哪些量发生改变.跟踪训练3如图1，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起到△BPD的位置，且P在平面ABD上的射影O恰好在AB上，如图2.(1)求证：PB⊥平面PAD；(2)求点A到平面BPD的距离；(3)求直线AB与平面PBD所成角的正弦值.(1)证明∵点P在平面ABD上的射影O在AB上，∴PO⊥平面ABD，DA⊂平面ABD，∴PO⊥DA.又∵AD⊥AB，AB∩PO=O，AB，PO⊂平面ABP，∴DA⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴DA⊥BP.又∵BC⊥CD，∴BP⊥PD.∵DA∩PD=D，DA，PD⊂平面APD，∴BP⊥平面APD.(2)解如图所示，过A作AE⊥PD，垂足为E，连接BE.∵BP⊥平面APD，AE⊂平面APD，∴BP⊥AE，又BP∩PD=P，BP，PD⊂平面BPD，∴AE⊥平面BPD.故AE的长就是点A到平面BPD的距离.又DA⊥平面ABP，AP⊂平面ABP，∴DA⊥AP.在Rt△APB中，AP=AB2-在Rt△BPD中，PD=CD=33.在Rt△PAD中，AE=AP·ADPD=26×∴点A到平面BPD的距离是26(3)解由(2)知AE⊥平面BPD，则BE为AB在平面BPD内的射影，∴∠ABE是AB与平面BPD所成的角.在Rt△AEB中，sin∠ABE=AEAB=263即直线AB与平面BPD所成角的正弦值为221.知识清单：(1)异面直线所成的角.(2)直线与平面所成的角.(3)折叠问题.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角.1.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线D'A与BB'所成的角可以表示为()A.∠DD'AB.∠AD'C'C.∠ADB'D.∠DAD'答案A2.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A'-DEF，则HG与IJ所成角的大小为()A.90° B.60°C.45° D.0°答案B解析如图所示，在三棱锥A'-DEF中，因为G，H，I，J分别为A'F，A'D，A'E，DE的中点，所以IJ∥A'D，HG∥DF，故HG与IJ所成的角与A'D与DF所成的角相等.显然A'D与DF所成角的大小为60°，所以HG与IJ所成角的大小为60°.3.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC=30°，PA=AB，则直线PC和平面ABC所成角的正切值为.

答案2解析因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC和平面ABC所成的角.在△PAC中，因为AC=12AB=12PA，所以tan∠PCA=4.如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=1，BC=2.则OA与平面α所成角的大小为.

答案45°解析∵OA=OB=OC=1，∠AOB=∠AOC=60°，∴△AOB，△AOC为正三角形，∴AB=AC=1，又BC=2，∴△BAC为等腰直角三角形.∵OB=OC=1，BC=2，∴△BOC为等腰直角三角形.如图，取BC的中点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，易得△AHB≌△AHO，∴AH⊥OH，又OH∩BC=H，OH，BC⊂平面α，∴AH⊥平面α，∠AOH为OA与平面α所成的角.在Rt△AOH中，AH=22∴sin∠AOH=AHAO=22，∴∠AOH即OA与平面α所成角的大小为45°.课时对点练[分值：80分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与CD所成的角的余弦值为()A.32 B.C.12 D.答案B2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小变化为()A.变大 B.变小C.不变 D.有时变大有时变小答案C解析∵BC⊂平面ABC，l⊥平面ABC，∴BC⊥l，又BC⊥CA，CA∩l=A，∴BC⊥平面ACP，∴BC⊥CP，∴∠PCB=90°.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1C1与平面AB1D1所成角的正弦值为()A.13 B.C.33 D.答案C解析如图，连接A1C交平面AB1D1于点O，O为体对角线A1C的三等分点，A1O⊥平面AB1D1，因为B1C1∥A1D1，所以直线B1C1与平面AB1D1所成的角就是直线A1D1与平面AB1D1所成的角，所以∠A1D1O即为直线B1C1与平面AB1D1所成的角，设正方体的棱长为a，则A1C=3a，A1O=33asin∠A1D1O=A1OA1D4.在四面体ABCD中，棱AB，AC，AD长度相等且两两互相垂直，棱BD的中点为E，则异面直线AE与BC所成角的大小为()A.30° B.45°C.60° D.90°答案C解析如图，取CD的中点F，连接AF，EF，由中位线的性质可得∠AEF为异面直线AE与BC所成的角，设AB=AC=AD=2，由AB，AC，AD长度相等且两两互相垂直可得AF=AE=12CD=124+4又EF=12BC=2所以∠AEF=60°，即异面直线AE与BC所成角的大小为60°.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C与平面ADD1A1所成的角为α，A1C与AB所成的角为β，则()A.α=βB.α+β=πC.α+β=πD.α-β=π答案C解析如图，连接A1D，由长方体的性质可得CD⊥平面ADD1A1，故A1C与平面ADD1A1所成的角α即为∠CA1D，又A1D⊂平面ADD1A1，故CD⊥A1D，即∠CDA1=π2又AB∥CD，故A1C与AB所成的角与A1C与CD所成的角相等，故β即为∠A1CD，又∠A1CD+∠CA1D+∠CDA1=π，故α+β=π-∠CDA1=π26.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为()A.12 B.C.32答案A解析延长D1E与直线DC相交于点F，连接AF，如图所示，则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，而C1D1∥CD，∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角，∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD=CF，∴tan∠AFD=ADDF=1二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，AA1=2AB=2，则下列说法正确的是()A.直线BD1⊥平面BC1DB.三棱锥P-BC1D的体积为1C.异面直线BC1与DD1所成角的正切值为1D.存在点P使直线PC1与平面BC1D所成的角为π答案BC解析对于A，若直线BD1⊥平面BC1D，因为BD⊂平面BC1D，则BD1⊥BD，易知BD1与BD不垂直，矛盾，故A错误；对于B，连接AC1，因为AB∥C1D1，AB=C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，又BC1⊂平面BC1D，AD1⊄平面BC1D，故AD1∥平面BC1D，又因为点P在线段AD1上，所以V三棱锥P-BC1D=V三棱锥A-BC1D=V对于C，因为DD1∥CC1，则异面直线BC1与DD1所成的角即为∠BC1C，在Rt△BC1C中，CC1=2BC，所以∠BC1C的正切值为12，故C对于D，设点P到平面BC1D的距离为h，又BD=2，BC1=DC1=5，故S△BC1D=12×2×(5)2-2则13×32h=13，解得h设直线PC1与平面BC1D所成的角为θ，则sinθ=hPC1又D1C1≤PC1≤AC1，即1≤PC1≤6，故69≤sinθ≤23，又32故不存在θ使得sinθ=32即不存在点P使直线PC1与平面BC1D所成的角为π3，故D错误8.如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，四边形ABDC为圆台的轴截面，E为AB的中点，则下列结论正确的是()A.圆台的侧面积为6πB.直线AC与下底面所成角的大小为πC.圆台的体积为3D.异面直线AC和DE所成角的大小为π答案ABD解析由题意可得上底面半径r1=1，下底面半径r2=2，母线l=2，则圆台的侧面积为S=π(r1+r2)l=π(1+2)×2=6π，故A正确；如图1，在轴截面ABDC中作CM⊥AB，DN⊥AB，分别交AB于点M，N，则直线AC与下底面所成的角为∠CAB，且CD=MN=2，则AM=BN=1，且AC=2，则cos∠CAB=AMAC=1因为0<∠CAB<π2所以∠CAB=π3，故B因为上底面圆的面积S1=πr12下底面圆的面积S2=πr22圆台的高h=CM=22-1则圆台的体积V=13(S1+S2+S1=13(π+4π+π·4π)×3=7如图2，取AB的中点O，连接OD，OE，由E为AB的中点，O为底面圆圆心，可得OE⊥AB，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH，因为OA=CD=2，且OA∥CD，则四边形AODC为平行四边形，所以AC∥OD，AC=OD，则异面直线AC和DE所成的角即为OD与DE所成的角，即为∠ODE，又DH=h=3，OD=AC=BD=2，则OH=12OB=1EH=OE2+OH所以DE=DH2+EH在△ODE中，OD=OE=2，DE=22，OD2+OE2=DE2，则△ODE为等腰直角三角形，则∠ODE=π4故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.

答案6解析如图，取BC的中点H，连接EH，AH，又E为BC的中点，所以HE⊥BC，易知轴截面ABCD与上底面垂直，且与上底面相交于BC，又HE在上底面内，所以HE⊥平面ABCD，又AH⊂平面ABCD，所以HE⊥AH，即∠EHA=90°.不妨设AB=2，则BH=HE=1，AH=5，所以AE=6.连接ED，则ED=6，AD=2，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD.在△EAD中，cos∠EAD=6+4-62×6×2=66.所以异面直线10.如图1，E，F分别为等腰梯形底边AB，CD的中点，AB=2AD=2CD=2BC=4，将四边形EFCB沿EF进行折叠，使BC到达B1C1的位置，连接AB1，C1D，如图2，使得∠AEB1=π3，则B1C1与平面AEFD所成角的正切值为.答案39解析如图，延长B1C1，EF，BC相交于点H，过B1作B1G⊥AE于点G，连接GH.因为B1E⊥EF，AE⊥EF，AE∩B1E=E，AE，B1E⊂平面AEB1，所以EF⊥平面AEB1，又B1G⊂平面AEB1，所以B1G⊥EF，又B1G⊥AE，且AE∩EF=E，AE，EF⊂平面AEFD，则B1G⊥平面AEFD，故∠B1HG为B1C1与平面AEFD所成的角.因为AB=2AD=2CD=2BC=4，所以∠B=π3，所以HE=23在Rt△B1GE中，∠AEB1=π3，EB1=2可得GE=1，B1G=3，则HG=HE2+所以tan∠B1HG=B1GHG=3四、解答题(共28分)11.(13分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.解如图所示，把三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠