高中数学第八章　8.6.3　第2课时　平面与平面垂直的性质定理

第2课时平面与平面垂直的性质定理学习目标1.探究、发现平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用.(难点)一、平面与平面垂直性质定理的应用问题黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？提示找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面.知识梳理面面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言简记面面垂直，则线面垂直例1(课本例10)如图所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.证明如图所示，过点A作AE⊥PB，垂足为E.∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB.例1如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.反思感悟应用面面垂直的性质定理的策略(1)应用步骤：面面垂直线面垂直→线线垂直.(2)应用类型：面面垂直的性质定理得到的结论是线面垂直，所以该定理主要应用于以下两个方面：①证明线面垂直，进而可以再证明线线垂直；②通过作交线的垂线，找到点在平面内的射影，从而作直线与平面所成的角或二面角的平面角.提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.跟踪训练1如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，PA=AB，E，F分别为PC，PB的中点.证明：平面DEF⊥平面PBC.证明因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，所以CB⊥平面PAB，因为E，F分别为PC，PB的中点，所以EF∥CB，所以EF⊥平面PAB，因为PB⊂平面PAB，所以EF⊥PB，连接AF(图略)，因为EF∥CB∥AD，所以A，D，E，F四点共面，因为PA=AB，所以PB⊥AF，因为AF∩EF=F，AF，EF⊂平面DEF，所以PB⊥平面DEF，因为PB⊂平面PBC，所以平面DEF⊥平面PBC.二、垂直关系的相互转化例2(多选)已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是()A.若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βB.若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则n⊥mC.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD.若m⊂α，n⊥β，α∥β，则m⊥n答案CD解析对于A，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故A不正确；对于B，如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故B不正确；对于C，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面γ与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，又l⊂α，从而α⊥β，故C正确；对于D，若n⊥β，α∥β，则n⊥α，又m⊂α，那么m⊥n，故D正确.反思感悟空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下：线线垂直线面垂直面面垂直从上面的图中可以看出，面面垂直与线线垂直缺少直接转化的定理或结论，但实际上，我们可以借助于二面角的平面角的定义来实现，但是求解二面角比较复杂，所以我们一般很少用此种方法.跟踪训练2若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案C解析对于A，m⊂β，α⊥β，若α∩β=m，则m⊂α，所以A错误；对于B，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，又n∥β，则m与n有可能垂直、平行或既不垂直也不平行，所以B错误；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m'⊂α，则α⊥β，所以C正确；对于D，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，所以D错误.三、线面垂直与面面垂直的综合应用例3如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，CD=2AB，E为PC的中点.(1)求证：PA⊥BC；(2)求证：平面PBC⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.(2)设F为PD的中点，连接AF，EF，如图，因为E为PC的中点，则EF綉12CD，又AB綉12CD，所以EF綉AB，四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥因为PA=AD且F为PD的中点，所以AF⊥PD，又∠DAB=90°，所以AB⊥AD，又PA⊥AB，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以EF⊥平面PAD，又AF⊂平面PAD，所以AF⊥EF，又PD∩EF=F，PD，EF⊂平面PCD，所以AF⊥平面PCD.所以BE⊥平面PCD.又因为BE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.反思感悟空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴转动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.解(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，DE⊂平面ADB，所以DE⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可得DE=3，EC=1.在Rt△DEC中，CD=DE(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当点D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当点D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因为AC=BC，所以AB⊥CE.又因为DE，CE⊂平面CDE，DE∩CE=E，所以AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.1.知识清单：(1)垂直关系的相互转化.(2)平面与平面垂直性质定理.(3)有关垂直的综合问题.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：由面面垂直找线面垂直时，未先找交线.1.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，则BD与CC1()A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直答案C2.(多选)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A.CD⊥平面ABDB.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面ADC答案AD解析由已知得AB⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，A正确；又AB⊂平面ABD，则CD⊥AB，因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，D正确.3.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD，则AD与平面BCD所成的角是()A.30° B.45°C.60° D.75°答案B解析如图，过点A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADO=45°.∴AD与平面BCD所成的角为45°.4.如图所示，平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，点C∈平面β，若AB=3，BC=4，则AC=.

答案5解析由面面垂直的性质得，AB⊥平面β，又BC⊂平面β，所以AB⊥BC，由勾股定理，得AC=5.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若α⊥β，m∥β，则m⊥αC.若m∥α，n∥α，则m∥nD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案D解析对于A，两个平面垂直于同一个平面，这两个平面还可能相交，故A错误；对于B，直线m还可能在平面α内或平行于平面α或与平面α斜交，故B错误；对于C，直线m，n还可能相交或异面，故C错误；D是线面垂直的性质定理，故D正确.2.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案B解析作AE⊥BD交BD于点E(图略)，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE⊂平面ABD，所以AE⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC，又因为AE∩DA=A，AE，DA⊂平面ABD，所以BC⊥平面ABD，而AB⊂平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形.3.已知直线m，n，平面α，β，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥n是α⊥β的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析依题意，由m⊥l，m⊥n，当n∥l时，不能证得m⊥β，从而不能证得α⊥β；当α⊥β，m⊥l时，由已知及面面垂直的性质知m⊥β，而n⊂β，因此m⊥n，所以m⊥n是α⊥β的必要不充分条件.4.(多选)若α⊥β，α∩β=l，点P∈α，P∉l，则下列命题中正确的有()A.过点P垂直于l的平面垂直于βB.过点P垂直于l的直线垂直于βC.过点P垂直于α的直线平行于βD.过点P垂直于β的直线在α内答案ACD解析当过点P垂直于l的直线不在α内时，该直线与β不垂直，故B不正确，A，C，D正确.5.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()A.PE⊥ACB.PE⊥BCC.平面PBE⊥平面ABCDD.平面PBE⊥平面PAD答案D解析因为PA=PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，又AC，BC⊂平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论一定成立；又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论一定成立；若平面PBE⊥平面PAD，平面PBE∩平面PAD=PE，AD⊂平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.6.已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且CD=2，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为()A.1 B.2C.62 D.答案C解析如图所示，取CD边的中点为M，连接PM，QM，PQ，又P是CE的中点，则PM∥ED，所以PM⊥CD，又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，PM⊂平面CDEF，故PM⊥平面ABCD，又QM⊂平面ABCD，故PM⊥QM，在Rt△PMQ中，PM=12ED=1，PQ=PM2+QM2=1+QM2，要使PQ最小，只需要QM最小，因为当QM⊥BD时，QM最小，QMmin=DQ=14BD=14×227.等边△ABC的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达点A'的位置.若平面A'DE⊥平面BCED，则线段A'B的长为()A.32 B.C.102 D.答案C解析如图，易知△A'DE是边长为1的等边三角形，过A'作A'H⊥DE，垂足为H，由平面A'DE⊥平面BCED，平面A'DE∩平面BCED=DE，A'H⊥DE，A'H⊂平面A'DE，则A'H⊥平面BCED，且H为线段DE的中点，A'H=32，连接BH，则A'H⊥BH，取BC的中点为F，连接FH则FH⊥BC，且FH=32所以BH=BF2+所以A'B=BH2+8.(5分)如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，则PB=.

答案5解析因为侧面PAC⊥底面ABC，侧面PAC∩底面ABC=AC，∠PAC=90°，所以PA⊥AC，PA⊂侧面PAC，所以PA⊥底面ABC，又AB⊂底面ABC，所以PA⊥AB，所以PB=PA2+AB9.(5分)在四面体ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD=90°，平面ABD⊥平面BDC，E是CD的中点，则∠AED=.

答案90°解析如图所示，设AB=BC=CD=AD=a，取BD的中点为F，连接AF，CF，则AF⊥BD，CF⊥BD，则由题意可得AF=CF=22a又平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD，AF⊥BD，CF⊥BD，则∠AFC为二面角A-BD-C的平面角，且∠AFC=90°，AF⊥CF.在Rt△AFC中，AC=AF2+所以△ACD为正三角形.又E是CD的中点，所以AE⊥CD，即∠AED=90°.10.(10分)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F分别在棱AD，BD上(E与A，D不重合)，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(4分)(2)AD⊥AC.(6分)证明(1)因为在△ABD中，AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BC⊥BD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB=B，BC，AB⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.11.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC与平面ABC所成角的大小为60°，则PC等于()A.1 B.2C.3 D.2答案C解析取AB的中点D，连接PD，CD，因为PA=PB=AB=AC=BC=2，则PD⊥AB，CD⊥AB，PD=CD=3，又PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，可得AB⊥平面PCD，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，又平面ABC∩平面PCD=CD，由面面垂直的性质可知，点P在平面ABC内的射影落在直线CD上，且PD=CD=3，可知点P在平面ABC内的射影落在线段CD内，又因为PC与平面ABC所成角的大小为60°，则∠PCD=60°，可知△PCD为等边三角形，所以PC=3.12.(5分)如图，△ABC是正三角形，E，F分别为线段AB，AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，设AEAF=λ，当AE⊥CF时，λ的值为.答案2或1解析如图所示，过A作AH⊥EF于H，由平面AEF⊥平面BCFE，平面AEF∩平面BCFE=EF，AH⊂平面AEF，可得AH⊥平面BCFE，因为CF⊂平面BCFE，所以AH⊥CF，又AE⊥CF，AH∩AE=A，AH，AE⊂平面AEF，故CF⊥平面AEF.所以CF⊥EF，由图可得，此时H必与F重合，则∠AFE是直角.所以∠AEF=30°，所以AE=2AF，故λ=2.又当AE垂直于底面时显然满足题意，此时有AF=2AE，故此情况下有λ=12综上，λ的值为2或1213.(多选)如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是()A.动点A'在平面ABC内的射影在线段AF上B.三棱锥A'-FED的体积有最大值C.恒有平面A'GF⊥平面BCEDD.异面直线A'E与BD不可能互相垂直答案ABC解析在正三角形ABC中，AF为中线，DE为中位线，所以AF⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥A'G，DE⊥GF，又A'G∩GF=G，A'G，GF⊂平面A'GF，所以DE⊥平面A'GF.又DE⊂平面BCED，所以平面A'GF⊥平面BCED，故C正确；过点A'作A'H⊥AF，垂足为点H(图略)，则A'H⊂平面A'GF，又平面A'GF⊥平面BCED，平面A'GF∩平面BCED=AF，所以A'H⊥平面ABC，故A正确；三棱锥A'-FED的底面△FED的面积是定值，高是点A'到平面FED的距离.易知当A'G⊥平面FED时点A'到平面FED的距离(即高)最大，此时三棱锥A'-FED的体积最大，故B正确；易知BD∥EF，所以∠A'EF(或其补角)是异面直线A'E与BD所成的角.因为正三角形ABC的边长为2a，所以A'E=a，EF=a.而0<A'F<AF，所以A'F的长度的取值范围是(0，3a)，当A'F=2a时，A'E2+EF2=A'F2，此时∠A'EF=90°，即直线A'E与BD互相垂直，故D错误.14.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点.(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；(5分)(2)若AD=2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积.(8分)(1)证明∵△PAD为正三角形，F为棱PA的中点，∴PA⊥DF.又PA⊥CD，CD∩DF=D，CD，DF⊂平面EFDC，∴PA⊥平面EFDC，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面EFDC.(2)解∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB.∵∠BAD=90°，∴AB⊥AD，又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB∥CD，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD为直线PC与平面