高中数学第八章　周末练7　范围：§8.1~§8.3

周末练7范围：§8.1~§8.3[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.如图所示的几何体是数学奥林匹克竞赛的奖杯，该几何体由()A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成B.一个球、一个长方体、一个棱台构成C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成答案B解析由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.2.下列关于圆柱的说法中不正确的是()A.圆柱的所有母线长都相等B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，所得截面是与底面全等的圆面C.用一个平面截圆柱，所得截面始终是圆面D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱答案C解析用一个不平行于圆柱底面的平面，如和轴平行的平面截圆柱，截面可以是矩形，故C错.3.已知p：“M是长方体”，q：“M是直平行六面体”，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析根据直平行六面体的定义，底面为平行四边形的直四棱柱为直平行六面体，知长方体的定义可为底面为矩形的直四棱柱为长方体，而直平行六面体的底面不一定为矩形，所以p是q的充分不必要条件.4.建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅(如图所示)，因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台O1O2，已知该圆台的上、下底面积分别为16πcm2和9πcm2(这里的上底面是指大的那个底面)，高超过1cm，该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球O的表面上，且球O的表面积为100πcm2，则该圆台的体积为()A.80πcm3 B.259π3cmC.260π3cm3 D.87πcm答案B解析设球O的半径为R，上、下底面分别为圆O1，O2(这里上底面是指大的那个底面)，依题意，4πR2=100π，解得R=5，因为O2A2=9=32，则OO2=R2-32=4同理可得，OO1=3cm，因为圆台的高超过1cm，则该圆台的高为7cm，该圆台的体积为13×(9π+16π+12π)×7=259π3(cm35.在如图所示的多面体ABCDD1B1C1中，四边形ABCD、四边形BCC1B1、四边形CDD1C1都是边长为6的正方形，则此多面体的体积是()A.72 B.144 C.180 D.216答案C解析把该多面体补成一个正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，所求体积V=V正方体-V=63-13×12×6×66.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A.1∶1 B.1∶2C.1∶3 D.1∶2答案C解析如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则面对角线长为2a，S三棱锥D1-AB1C=4×34×(2a)2=23a2，S正方体ABCD二、多项选择题(每小题6分，共18分)7.下列说法中，正确的是()A.棱柱中每一个面都不会是三角形B.各个侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体C.经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形D.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，正方形的直观图是菱形答案BC解析A选项，三棱柱的上底面和下底面是三角形，A错误；B选项，各个侧面都是正方形，若上、下底面是菱形，则这样的四棱柱不是正方体，B正确；C选项，圆锥的两条母线相等，故经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形，C正确；D选项，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，如图所示，正方形的直观图不是菱形，D错误.8.已知一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为3π的扇形，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列结论中正确的是()A.r=3B.从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为23C.该圆锥的体积为πD.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为3答案AC解析由2πr2=3π，得r=3，所以假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，则其侧面展开图是一个圆心角为3π2的扇形，所以从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为2×2×sin3π22=4sin3π因为r=3，母线长为2，所以该圆锥的高为1，所以其体积为13×π×(3)2×1=π，故C过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，设其顶角为θ，则该三角形的面积为S=12×2×2sinθ.故当θ=π2时，Smax=12×2×2×1=2≠3，故9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2答案CD解析∵圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，∴圆柱的侧面积为2πR·2R=4πR2，A错误；圆锥的母线长l=R2+(2R)侧面积为πRl=5πR2，B错误；∵球的表面积为4πR2，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；∵V圆柱=πR2·2R=2πR3，V圆锥=13πR2·2R=23πR3，V球=43π∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∶2，D三、填空题(每小题5分，共15分)10.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为81π的圆锥，则该圆锥的高为.答案2解析设圆柱的底面半径为r1，母线长为l1，圆锥的底面半径为r2，高为h，则圆柱的侧面积为2πr1·l1=36π，又2r1=l1，代入解得r1=3，l1=6，故V圆柱=πr12l1又πr22又V圆锥=13πr22h=27πh=54π11.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆的半径的比值为.答案1解析因为正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为r，则底面正六边形的边长为r，又因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为r2cosα=r2cosα，所以侧棱与12.★★一个高为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度为cm.答案5π解析把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A、点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.又AC=AB2+BC2=5π(四、解答题(共27分)13.(13分)在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.(1)说明所得几何体的结构特征；(5分)(2)求所得几何体的表面积和体积.(8分)解(1)该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体.(2)由图中的数据可知圆锥的底面半径为2，母线长为4，高为23，圆柱的底面半径为2，高为2，球的半径为2，所以S组合体=S圆锥侧+S圆柱侧+S半球=π×2×4+2π×2×2+2π×22=8π+8π+8π=24π，该几何体的体积为V组合体=V圆锥+V圆柱-V半球=13×π×22×23+π×22×2-23π×23=14.(14分)如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCD-A1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V，AB=x.(1)