线性变换的运算课件

线性变换的运算

L(V)={A│A:V→V的线性变换}

A:V→V是线性空间V上的一种运动，变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算，联系及进一步的特征性质。VL(V)一.L(V)上的加法运算定义1

对任意的A,,B

∈L(V),α∈V,

规定

(A+B)(α)=A,(α)+B(α)称为A,与B的和，记为A+B.命题1

对任意的A,,B,C

∈L(V)A+B∈L(V),且具有如下性质：(A+B)+C=A+(B+C)；2.

A+B=B+A；3.

存在O∈L(V),O+A=A；对任意的A∈L(V)，存在－A∈L(V),

A+(－A)=

O.据4，可定义

A－B=A＋(－B)，故L(V)中有加法的逆运算：减法运算.证明：首先要证明A+B∈L(V)，即证明A+B

是V上的变换；且对向量加法和数乘保持不变.二.L(V)上的乘法运算定义2

对任意的A,,B

∈L(V),α∈V,

规定

A,B(α)=A,(B(α))称A,B是A,与B的积，记为A,B.

A,与B的乘法即映射的合成.命题2

对任意的A,,B,C∈L(V)

A,B

∈L(V),且具有如下性质：5.(A,B)

C＝A,(B

C)；6.A,(B＋

C)＝A,B＋A,

C；7.(B＋

C)A,

＝BA,

＋

CA,

；8.EA,

＝A,

E＝A,

（为V上的恒等变换）.证明：首先证明A,B∈L(V),即A,B是上的变换，且保持向量加法，数乘运算不变.据映射合成即知确为V上的变换.对任意的α,β∈V,k∈P,A,B

(α+β)=A,(B

(α+β))=A,(B

(α)+B(β))=

A,(B

(α))+A,(B(β))=A,B

(α)+A,B(β)；

A,B

(kα)=A,(B

(kα))=A,(kB

(α))=kA,(B

(α))=kA,B

(α).故A,B是V上的线性变换，即A,B∈L(V).因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.(A,(B＋

C))(α)=A,((B＋

C)(α))=A,(B(α)+C(α))=A,(B(α))+A,(C(α))=A,B

(α)+A,C(α)=(A,B＋A,

C)(α)→6.成立.7.同上可证明7.成立.8.显然成立.□注:该命题有以下注意问题三.L(V)上的数乘运算定义3

设k∈P,A

∈L(V),对任意的α∈V，规定

(kA

)(α)=kA

(α)称kA

为k与A的数量乘法.

设K是L(V)中的数乘变换（见前例6，P274例4）→即K(α)=kα，则(kA

)(α)=kA

(α)=

KA

(α)→即kA=KA.所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算.本教材即用此定义数乘运算，两种定义方法是一致的.如上定义2是一种定性描述，而教材定义方式可利用乘法的性质直接推出数乘的性质，使用起来方便.

命题3

对任意的k,l∈P,A

∈L(V)

kA

∈L(V),且具有如下性质：11.(kl)A

=k(lA)；12.k(A

+B)=kA+kB

；13.(k+l)A=kA

+lA

；14.(kA)B=k(AB)；15.1A=A.证明：仅证11.

其它性质类似可证.（kA

∈L(V)证明略）据kA=KA可知，(kl)A=(KL)A=K(LA)=k(lA).(其中用到乘法的结合律成立).□

据L(V)的加法和数乘及其性质(命题1,3)可知,L(V)关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的线性空间.

L(V)上的可逆变换定义4

变换A:V→V称为可逆变换，如果存在B:V→V,使得AB=BA=E.这时称B为A的逆变换，记为A－1

=B.

B:V→V即为A:V→V的逆映射.命题4

A∈L(V)，且可逆A－1∈L(V),规定:16.A－n=(A－1)n.

16.是一种规定，也可看成是性质.即将An中的幂指数扩充到整数范围（n∈Z）.可以证明幂运算的性质9.10.依然成立.证明：证A－1∈L(V),即证A－1是V上的变换，且保持向量的加法和数乘运算不变.A－1显然是V上的变换，关键证其为线性变换.A－1(α+β)=A－1

(AA－1

(α)+AA－1

(β))=A－1

(A(A

－1

(α))+A(A－1

(β)))=A－1

(A(A

－1

(α)+A－1

(β)))=(A－1A)(A－1

(α)+A－1

(β))=A－1

(α)+A－1

(β).A－1(kα)=A－1(k(AA－1

)(α))=A－1(k(A(A－1(α))))=A－1(A(kA－1(α)))=(A－1A)(kA－1(α))=kA－1(α).故A－1∈L(V),□五.线性变换的多项式注:该性质的证明略，注意问题如下:例1α(≠0)∈R3,Пα是把向量ζ射到α上的内射影变换，则

Пα(ζ)ζ

α

Пx(ζ)

x

Rx(x)分析:性质1),2)即7.1节例2.这里仅需证明3),4),5)例2

1）线性空间P[λ]n中，求微商是线性变换(P274例5),