线性方程组的解结构课件

线性方程组的解结构

如果可以的话，我们对解的情况就能更好地把握，这个问题就是线性方程组的解结构问题。在解决线性方程组是否有解的判别条件之后，我们知道在秩A=秩方程组有唯一解。在秩A=秩=n（方程组未知量个数）时，<n时，方程组有无穷多解。这时，我们要问，这些解之间有没有什么关系？能否用有限个解把全部解表示出来？

在讨论线性方程组的解结构之前，我们先考虑其特殊情况：齐次线性方程组解的情况。一、齐次线性方程组的解结构。设齐次线性方程组为：（3.6.1）它的解具有以下两个重要性质：性质1：证：分别是（3.6.1）的两个解，和设齐次线性方程组（3.6.1）的两个解的和仍是方程组（3.6.1）的解。即有把这两个解之和代入方程组（3.6.1）得：故两个解之和仍是方程组（3.6.1）的解。性质2：齐次线性方程组（3.6.1）解的倍数仍是方程组的解。证：设是方程组（3.6.1）的解，即有用乘这个解得把它代入方程组（3.6.1）得：故是方程组（3.6.1）的解。综合性质1，2得性质3：齐次线性方程组解的线性组合仍是方程组的解。

本性质表明，如果方程组（3.6.1）有r个解，则这r个解的所有可能的线性组合就给出（3.6.1）的无穷多解。我们想知道，齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限个解的线性组合表示出来？答案是肯定的，为此须引入以下定义。定义3.6.1：齐次线性方程组（3.6.1）的一组解称为方程组（3.6.1）的一个基础解系，如果①线性无关；②方程组（3.6.1）的任一个解都能表成的线性组合。

这里，条件①保证基础解系中没有多余的解，而条件②则说明方程组（3.6.1）的任一解都能由线性表示，实际上（3.6.1）的解向量的极大线性无关组。是方程组

下面的定理证明，齐次线性方程组确有基础解系，定理的证明过程实际上就是具体求基础解系的方法。定理3.6.1：在齐次线性方程组（3.6.1）有非A的秩。向量的个数等于n-r，这里n为未知量的个数，r是零解的情况下，它有基础解系，且基础解系所含解

因为A中行向量组中前r个向量线性无关，而后在（3.6.1）有非零解的情况下，r<n。为方便计不妨设A的左上角的r阶子式不为零。（3.6.2）证明：

设齐次线性方程组（3.6.1）系数矩阵A的秩为r。（3.6.1）与以下方程组同解。n-r个向量可由前r个向量线性表示。于是，方程组把（3.6.2）改写成（3.6.3）也是（3.6.1）的解。注意：对方程组（3.6.3）的把自由未知量的任一组值代入（3.6.3）的右边，由克莱姆法则可得（3.6.3）的解，从而任两个解，只要自由未知量的取值一样，这两个解就完全一样。在（3.6.3）中，分别用以下组数：代替自由未知量就得到方程组（3.6.3），从而是（3.6.1）的个解：下证是一个基础解系。首先证线性无关，设由于是得故线性无关。再证方程组（3.6.1）的任一解可由线性表示。设是（3.6.1）的一个解，由于是（3.6.1）的解，故其线性组合也是（3.6.1）的一个解。比较这两个解的最后个分量知，这两个解完全一样，故由此可知，确为（3.6.1）的一个基础解系。方程组（3.6.1）的通解可表为

要注意的是：方程组（3.6.1）的基础解系并非一个，任何一个线性无关且与某一基础解系等价的向量组都是其基础解系。例3.6.1：的一个基础解系。求齐次线性方程组解：因此，原方程组与以下方程组同解令自由未知量得方程组的一个解是方程组的基础解系。二、一般线性方程组的解结构如果把其中的常数项换为0，就得齐次方程组：对一般线性方程组（3.5.1）（3.6.1）方程组（3.6.1）称为方程组（3.5.1）的导出组。（3.5.1）的解与其导出组（3.6.1）的解有密切联系。证：1、线性方程组（3.5.1）的两个解的差是它的导出组（3.6.1）的解。是方程组（3.5.1）的解，即有和设把这两个解的差代入方程组左边得故这两个解的差是其导出组（3.6.1）的解。2、线性方程组（3.5.1）的一个解r与它的导出组（3.6.1）的一个解之和仍是这个方程组的解。证：设是（3.5.1）的解，则有又是（3.6.1）的解，则有把代入方程组（3.5.1）的左边得故是方程组（3.5.1）的解。定理3.6.2：有了以上的准备工作，下面可以推出一般线性方程组（3.5.1）的解结构。如果是线性方程组（3.5.1）的一个特解。而是其导出组的一个解，则方程组（3.6.4）当（3.5.1）的任一解可以表成取遍它的导出组的全部解时，（3.6.4）就给出（3.5.1）的全部解。证明：设是方程组（3.5.1）的一个特解，r是（3.5.1）的任一解。由性质1知，是其导出组（3.6.1）的一个解。令则可见方程组（3.5.1）的任一解都可表为（3.6.4）的形式，当η取遍（3.6.1）的全部解时，就取遍（3.5.1）的全部解。定理3.6.2表明，要求线性方程组的全部解，只要找出它的一个特解