线性空间课件

线性空间一、集合二、映射§6.1

集合·映射一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：；

当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：

1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．

用小写字母a、b、c等表示集合的元素．

☆☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法

描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2N＝，2Z＝例3

M＝｛x|x具有性质P｝

M＝｛a1，a2，…，an｝2、集合间的关系

☆

如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是

A的子集，记作，（读作B包含于A）当且仅当

☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ

☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称

A与

B相等，记作A＝B

.A＝B当且仅当且

约定：

空集是任意集合的子集合.3、集合间的运算

交：；

并：

显然有，二、映射设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称

σ为称a´为a在映射σ下的象，而a´

称为a在映射σ下的M到M´的一个映射，记作:或原象，记作σ(a)＝a´或1、定义①设映射,集合称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．

显然，注

例1判断下列M到M´对应法则是否为映射

1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝

σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4

（不是）

（是）

（不是）

2）M＝Z，M´＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,

τ：τ(n)＝|n|＋1,

（不是）

（是）

σ：σ(a)＝a0，

4）M＝P，M´＝，（P为数域）τ：τ(a)＝aE，

（E为n级单位矩阵）5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.

（是）（是）6）M＝M´＝P[x]（P为数域）

σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是）3）M＝，M´＝P，（P为数域）

σ：σ(A)＝|A|，（是）

例2

M是一个集合，定义I：

I(a)＝a，即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，例3

任意一个在实数集R上的函数y＝f(x)

都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是称I为M上的恒等映射或单位映射．

映射的一个特殊情形．

2、映射的乘积设映射，

乘积定义为：

(a)＝τ(σ(a))

即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个

映射．

①对于任意映射，有

②设映射，

有注：3、映射的性质:设映射1）若，即对于任意，均存在（或称

σ为映上的）；

2）若M中不同元素的象也不同，即

（或），

则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；

3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射,，使

，则称σ是M到M´的一个满射（或称σ为1—1对应）

例4判断下列映射的性质1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

（既不单射，也不是满射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M´＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是满射，但不是单射）

3）M＝，M´＝P，（P为数域）

σ：σ(A)＝|A|，（是满射，但不是单射）

（双射）4）M＝P，M´＝P为数域,E为n级单位矩阵τ：τ(a)＝aE，（是单射，但不是满射）

σ：σ(a)＝a0，（既不单射，也不是满射）

6）M＝M´＝P[x]，P为数域σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是满射，但不是单射）

7）M是一个集合，定义I：I(a)＝a，8）M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,（双射）

（双射）

5）M、M´为任意非空集合，为固定元素

①对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条件是它们所含元素的个数相同；

②对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A的真子集），则

A、B之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.注：如例4中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．

M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,4、可逆映射定义：设映射若有映射使得则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，①若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．注：②为可逆映射，，若σ的逆映射是由σ唯一确定的记作σ－1．③σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．证：若映射为1—1对应，则对均存在唯一的，使σ(x)＝y，作对应

即；

即∴σ为可逆映射．

则τ是一个M´到M的映射,且对

即,

所以σ为满射.

其次，对，则

即σ为单射.所以．σ为1—1对应．反之，设

为可逆映射，则

一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质§6.2

线性空间的定义与简单性质而且这两种运算满足一些重要的规律,如

引例1空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量同样满足上述这些重要的规律，即

数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算引例2一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对，

在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：加法满足下列四条规则：

①

⑤

⑥

数量乘法与加法满足下列两条规则：

⑦

（具有这个性质的元素0称为V的零元素）

数量乘法满足下列两条规则

:②

⑧

④

对

都有V中的一个元素β，使得

;（β称为的负元素）

③

在V中有一个元素0，对3．线性空间的判定：注：

1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．称为线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者例1引例1,2中的Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x]n表示．上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘例3数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵用表示．例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间．1、零元素是唯一的.2、，的负元素是唯一的，记为-．

证明：假设有两个负元素β、γ，则有

利用负元素，我们定义减法：

01＝01＋02＝02．证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有二、线性空间的简单性质

∴两边加上即得0

＝0；

∵

∴两边加上

；即得k

0＝0;∵

∴两边加上－即得

∵

即得

∴两边加上

3、∵

证明：4、如果＝0，那么k＝0或＝0.证明：假若则练习：1、P273：习题3

1）2）4）2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量.证：设而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量.注

只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标§6.3维数·

基与坐标一、线性空间中向量之间的线性关系

1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间（1）和式

的一个线性组合．称为向量组（2）

，若存在

则称向量可经向量组

线性表出；使若向量组中每一向量皆可经向量组

线性表出，则称向量组可经向量组线性表出；

若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的．

（3），若存在不全为零的数

，使得

则称向量组为线性相关的；（4）如果向量组不是线性相关的，即只有在时才成立，

则称为线性无关的．

（1）单个向量线性相关

单个向量线性无关

向量组线性相关

中有一个向量可经其余向量线性表出．

2、有关结论（2）若向量组线性无关，且可被向量组线性表出，则

若与为两线性无关的等价向量组，则

（3）若向量组线性无关，但向量组

线性相关，则可被向量组

线性表出，且表法是唯一的．

因为，对任意的正整数

n，都有n个线性无关的向量1、无限维线性空间

若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间．

例1

所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1二、线性空间的维数、基与坐标

2、有限维线性空间

n维线性空间；常记作dimV＝n.（1）n

维线性空间：若在线性空间V中有n

个线性无关的向量，但是任意n＋1个向量都是线性相关的，则称V是一个注：零空间的维数定义为0.dimV＝0

V＝{0}在n

维线性空间V中，n

个线性无关的向量（2）基，称为V的一组基；下的坐标，记为

（3）坐标设

为线性空间V的一组基，则数组，就称为

在基

若有时也形式地记作

注意：向量

的坐标

是被向量

和基

唯一确定的．即向量

在基下的坐标唯一的.

但是，在不同基下的坐标一般是不同的．

3、线性空间的基与维数的确定定理：若线性空间V中的向量组满足

ⅰ）线性无关；

ⅱ）可经线性表出

,则V为n

维线性空间，为V的一组基．

证明：∵线性无关，

∴V的维数至少为

n

．任取V中

n＋1个向量，由ⅱ)，向量组可用向量组

若是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．

线性表出.

∴V中任意n＋1个向量是线性相关的．

故，V是n

维的，就是V的一组基．

例2

3维几何空间R3＝

是R3的一组基；

也是R3的一组基．一般地，向量空间为n维的，

就是Pn

的一组基．称为Pn的标准基.

①n

维线性空间

V

的基不是唯一的，V中任意

n个②任意两组基向量是等价的．

例3

证明：线性空间P[x]n是n

维的，且注意：线性无关的向量都是V的一组基．

1，x，x2，…，xn－1

为

P[x]n

的一组基．

证:首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．

∴1，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基，从而，P[x]n是n维的.其次，

可经1，x，x2，…，xn－1线性表出．

注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是此时，若把C看成是实数域R上的线性空间呢？

而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i就为例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性空间的维数与一组基；解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的一组基；它的一组基．

注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，数1就是它的一组基.一、向量的形式书写法二、基变换§6.4基变换与坐标变换三、坐标变换引入

我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.一、向量的形式书写法

1、V为数域

P上的

n

维线性空间，为V

中的一组向量，

，若

则记作则记作

2、V为数域

P

上

n

维线性空间，

；为V中的两组向量，若在形式书写法下有下列运算规律1)

若

线性无关，则

注：2)

；为V中的两组向量，矩阵

，则

；

；

；若

线性无关，则1、定义设V为数域P上n维线性空间，；

为V中的两组基，若①即，

二、基变换则称矩阵

为由基到基的过渡矩阵；称

①

或

②

为由基到基的基变换公式．

②

2、有关性质

1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证明：若为V的两组基,且由基的过渡矩阵为A，即又由基也有一个过渡矩阵,设为B，即③④比较③

、④两个等式，有都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基于是有，由A可逆，有即，也可由线性表出.故线性无关，从而也为V的一组基.

并且A就是的过渡矩阵.2）若由基过渡矩阵为A,则由基过渡矩阵为A-1.3）若由基过渡矩阵为A,由基过渡矩阵为B，则由基过渡矩阵为AB.事实上,若则有，三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间

为V中的两组基，且设且ξ在基与基

下的坐标分别为与，

即，与

则或

⑦

称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．

⑥例在Pn中，求由基

到基

过渡矩阵．其中

解：∵

的过渡矩阵及由基

到基

的并求向量在基下的坐标.

而，∴

到基

由基的过渡矩阵为

故，由基

到基

的过渡矩阵为在基下的坐标就是设在基下的坐标为，则所以在基下的坐标为一、线性子空间二、生成子空间§6.5线性子空间一、线性子空间

1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念.

维数.2、线性子空间的判定，若W对于V中两种运算封闭，即

则W是V的一个子空间．

定理：设V为数域P上的线性空间，集合

推论：V为数域P上的线性空间,

则W是V的子空间∵，∴.

且对，

由数乘运算封闭，有

，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3）、4）成立．

由加法封闭，有,即W中的零元

证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．

例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]为V的一个子空间．

例3

P[x]n是P[x]的的线性子空间．

例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间．

的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数①(＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，；例4

n元齐次线性方程组

(＊)

注②(＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.空间，称W为方程组(＊)的解空间．量乘法构成的线性空间是

n

维向量空间

Pn

的一个子例5设V为数域P上的线性空间，

则W关于V的运算作成V的一个子空间．

即的一切线性组合所成集合.称为V的由生成的子空间，二、一类重要的子空间

——生成子空间

定义：V为数域P上的线性空间，

则子空间

，记作．称为的一组生成元.有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有2、（定理3）

1）；为线性空间V中的两组向量，则与等价．

2）生成子空间的维数＝向量组的秩．证：1）若

则对

有，

从而可被线性表出；同理每一个

也可被线性表出.

所以，

与等价．

，

可被线性表出，

从而可被线性表出，即

反之，

与等价．

所以,

同理可得，

故，

由§3定理1，

2）设向量组

的秩＝t，不妨设

为它的一个极大无关组．

因为

与等价，

就是的一组基，

所以，的维数＝t．为

V

的一组基．即在

V

中必定可找到

n－m

个向量设W为

n维线性空间

V

的一个

m

维子空间，3、（定理4）为W的一组基，则这组向量必定可扩充，使为

V

的一组基．扩基定理

证明：对n－m作数学归纳法．当n－m＝0时，即

n＝m，定理成立．就是V的一组基.假设当n－m＝k时结论成立.因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我们考虑n－m＝k＋1的情形．必定是线性无关的．既然还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量不能被线性表出，把它添加进去，则由定理3，子空间

是m＋1维的．可以扩充为整个空间V的一组基．由归纳原理得证.

由归纳假设，的基§6.6子空间的交与和一、子空间的交二、子空间的和三、子空间交与和的有关性质也为V的子空间，设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合

一、子空间的交1、定义任取

则有

同时有

故为V的子空间.

事实上，

称之为V1与V2的交空间.显然有,2、推广

多个子空间的交为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为的交空间.

二、子空间的和1、定义其中，则有

设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合

也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.任取设

事实上，显然有,2、推广

多个子空间的和

为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为的和空间.

V的两子空间的并集未必为V的子空间.例如

注意：皆为R3的子空间，但是它们的并集

并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭，如但是三、子空间的交与和的有关性质2、设为线性空间V的子空间，则以下三

1、设

为线性空间V的子空间

1）若则

2）若则

条件等价:3、为线性空间V中两组向量，则4、维数公式

（定理7）设为线性空间V的两个子空间，则或由扩基定理，它可扩充为V1的一组基证：设取的一组基

它也可扩充为V2的一组基即有

所以，有

下证线性无关.令

假设有等式则有

令

即可被线性表出

则

即

从而有

由于线性无关，得

因而

由于线性无关，得

所以，

∴线性无关.因而它是的一组基.

注：从维数公式中可以看到，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.

例如，在R3中，设子空间其中，但，则，由此还可得到，是一直线.推论：设为

n

维线性空间V的两个子空间，若，则必含非零的公共向量.即中必含有非零向量.证：由维数公式有又是V的子空间，∴若则故中含有非零向量.①

与②的解空间，则就是齐次线性方程组③

例、在中，用分别表示齐次线性方程组③

的解空间.

证：设方程组①,②,③分别为

即

设W为③的解空间，任取，有从而

反之，任

取，则有

从而

故§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和一、直和的定义设为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和就称为直和，记作注:若有则①分解式唯一的，意即中每个向量的分解式②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.而在和中，向量

(2,2,2)

的分解式是唯一的，事实上，对故是直和.

都只有唯一分解式：二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和的充要条件是零向量则必有证：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式充分性.故是直和.设，它有两个分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.2、和是直和则有即是直和.“”任取证：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故证：由维数公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2）零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间.则必存在一个子空间W，使证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意：如，在R3中，设则但5、设分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，若线性无关，则它是的一组基.从而有反之,若直和，则从而的秩为r＋s.所以线性无关.是直和.1、定义中每个向量的分解式三、推广多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和是唯一的，则和就称为直和，记作四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定设都是线性空间V的子空间，则下面1）是直和

一、同构映射的定义二、同构的有关结论§6.8线性空间的同构我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定