线性子空间课件

线性子空间一.子空间的概念1。定义7W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间

1）；2）W对V的两种运算构成P上的线性空间.寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题→定理2V的非空子集W是V的子空间证明：必要性是显然的.现证充分性.

据题设→W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1),2),5),6),7),8).→取k=0,则kα=0α=0∈W；取k=－1,则kα=(－1)α=－α∈W

即算律3),4)成立→W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间→据定义7即知W是V的子空间.□

子空间本身就是一个线性空间→线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立

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设W是V的子空间，则dimW≤dimV.补充命题：线性空间V的非空子集W是V的子空间证明：必要性显然成立，现证充分性.

取a=b=1,据题设

取b=0,据题设由定理2即知W是V的子空间.□

实例：例1-2

取V的子集{0}，则{0}是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间→子空间{0}和V统称为V的平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间.例3

实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的子空间.证明：取任两实系数多项式f(x)=anxn+···+a1x+a0,g(x)=bmxm++b1x+b0,不妨设n≤m,对任意实数c,d,

cf(x)+dg(x)=(cbm+d0)xm+···+(cbn+dan)xn+···+(cb1+da1)x+(cb0+da0)显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间.□

例5

线性空间Pn中，齐次线性方程组全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间.证明：用矩阵方程AX=0表示该齐次线性方程组，则W={α｜Aα=0}.对任意的α,β∈W,a,b∈P,A(aα+bβ)=aAα+bAβ=0+0=0,故知aα+bβ∈W,据补充命题可知，W是Pn的一个子空间.□补充例题：过原点的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V3的子空间证明：过原点的直线上任意两个矢量的和，任意一个矢量的数乘均仍在该直线上,故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间.过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间.

这里之所以要求过原点，是为了保证0α=0∈W成立.例6

设α1,α2,···,αr∈V(V是数域P上的线性空间),则

L(α1,α2,···,αr)={k1α1+k2α2+···+krαr|ki∈P,i=1,2,···,r}

是V的一个子空间.证明：α1,α2,···,αr∈L(α1,α2,···,αr)→L(α1,α2,···,αr)是V的非空子集.任取α=k1α1+k2α2+···+krαr,β=t1α1+t2α2+···+trαr∈L(α1,α2,···,αr),任取a,b∈P,aα+bβ=(ak1+bt1)α+····+(akr+btr)α∈L(α1,α2,···,αr)→L(α1,α2,···,αr)是V的一个子空间.□

例题证明给出如下性质：V的一个子空间若包含向量α1,α2,···,αr，则包含α1,α2,···,αr的一切线性组合，即包含L(α1,α2,···,αr)为其子空间.

例题结论引出如下概念：补充定义：设α1,α2,···,αr∈V(V是数域P上的线性空间),称子空间

L(α1,