2026高考数学复习高效培优专题03 同构函数问题（高频考点专练）（原卷版）

专题03同构函数问题

目录

高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）

题型一同构比较大小（）

题型二同构证明不等式（）

题型三同构解决零点问题（）

题型四同构解决恒成立问题（）

题型五双变量同构问题（）

实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

高考以选择、填空压轴题和解答题第二问为主，分值占比8-12分，重点覆盖同构比较大小、零点问题、

恒成立求参数范围三大核心题型。

基础知识必备：函数单调性与导数应用：会利用导数求函数的单调区间、极值和最值，掌握常见单调函数

的特征（如f(x)exx在R上单调递增）。

lnx

核心同构模型：牢记经典同构函数结构，包括指数型fxexx、fxxex、对数型fx、

x

fxxlnx、混合型fxexlnx及其单调性、最值性质。

基础放缩结论：熟练运用exx1（当且仅当x0取等号）、lnxx1（当且仅当x1取等号）等

放缩工具，辅助同构转化。

2026高考预测：

命题趋势：①跨模块融合加深，可能结合三角函数、数列、解析几何背景设计同构场景；②双变量同构

问题成为热点，侧重考查变量关联转化与对称构造思想；③隐性同构增多，需通过代数式变形（如凑指数、

取对数）挖掘同构结构；④参数范围问题结合最值分析，强调“构造函数→判断单调性→求最值”的逻辑

链条。

难度定位：中档偏难题，区分度集中在“复杂式子变形能力”和“同构模型选择精准度”上，压轴题可能

涉及多步同构或结合极值点偏移思想。

重难知识汇总：同构本质：通过代数式变形，将不同表达式转化为“同一函数的不同自变量取值”形式，

利用函数单调性简化问题，核心是“结构一致性”的挖掘。

四大核心应用场景：①比较大小（转化为同一函数的函数值大小比较）；②证明不等式（构造单调

函数，转化为自变量的不等关系）；③零点问题（同构后转化为简单方程的零点个数分析）；④恒成立

问题（同构后通过最值确定参数范围）。

双变量同构关键：由变形得到同构式，利用函数单调性建立与的关联（如、

fx1fx2x1x2x1x2

的范围），常需构造对称函数辅助证明。

x1x2

含参同构处理：区分“可分离参数型”与“不可分离参数型”，前者通过同构转化为af(x)（或

af(x)），后者需结合函数单调性分析极值点

常用技巧方法：结构凑配法：针对指对数混合式，通过凑指数（如x2exex2lnx、凑对数（如

xlnxlnxelnx），转化为核心同构模型。

lnx

换元简化法：令tg(x)（如txlnx、t），将复杂同构式转化为关于t的简单函数关

x

系，降低分析难度。

对称构造法：双变量问题中，构造g(x)f(x)f(2ax)等对称函数，利用导数判断其单调性，

证明等结论。

x1x22a

放缩辅助法：先通过基础放缩结论（如exx1）简化式子，再进行同构，或同构后利用放缩确

定最值边界。

易错避坑提效：忽略定义域限制：同构过程中需注意原函数定义域（如lnx要求x0、eax)需结合a的

符号分析范围），避免因定义域扩大或缩小导致错误。

lnx

构造函数单调性判断失误：构造函数后必须先求导验证单调性，不可仅凭经验判断（如f(x)

x

在(0,e)递增、(e,)递减，而非单调函数）。

放缩等号成立条件不匹配：使用(exx1、lnxx1时，需关注等号成立条件是否与题干情境

一致，避免因放缩过度导致结论偏差。

双变量替换逻辑混乱：处理时，需明确变量的大小关系（如），避

f(x1)f(x2)(0x1ex2)

免替换后因变量范围模糊导致推导错误。

题型一同构比较大小

方法点拨：利用指对数运算变形，将不同表达式转化为同一函数的函数值，通过单调性比较大小。解

题思路：①对已知式子变形（如取对数、凑指数），构造单调函数（常见：、、

�𝐥�

）；②利用函数单调性判断自变量大小，进而得出目标值大小。�(�)=�+��(�)=��(�)=

1210

【�−典�例��01】（2025·湖南·模拟预测）已知aln1.2,b,ccos，则a,b,c的大小关系为（）

55

A．abcB．bacC．bcaD．cba

【典例02】（2025·福建泉州·模拟预测）已知a20232023，b20222024，c20242022.则a,b,c的大小关系为

（）

A．bcaB．bacC．abcD．acb

202512026

【变式01】（2025·江西·模拟预测）设a,be2025,c，则（）

20242025

A．acbB．bacC．cabD．abc

【变式02】（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数fx对任意的xR都有fxfx2成立，则2fln2

与f2ln22的大小关系为（）

A．2fln2f2ln22B．2fln2f2ln22

C．2fln2f2ln22D．无法比较大小

【变式03】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数

x1ln21ln3

fxln1ex,af,bf,cf，则（）

22e3

A．acbB．bcaC．abcD．cba

题型二同构证明不等式

方法点拨：解题思路：①移项整理，将不等式化为形式；②构造单调函数，

转化为（或利用最值：）。

�(�(�))≥�(�(�))�(�)

高考特征：常与、等放缩技巧结合，单变量或双变量均可考查。

�(�)≥�(�)�(�)𝐦�≥�

�

【典例01】（2025·湖�北≥·模�拟+预�测�）��(多≤选�)−若�0ab1，则（）

aa1

A．B．alnbblna

bb1

C．2a2b2abD．asinbbsina

lnxa

【典例02】（2025·吉林·模拟预测）已知函数fx.

x

(1)当a1时，求f(x)的单调区间和最大值

(2)当a0时，设0xy且xyyx，求证xy2e

2a2

【变式01】（2025·江苏盐城·三模）已知aR,bR，则eblnab的最小值为．

【变式02】（2025·湖北恩施·模拟预测）(多选)下列不等关系中，正确的是（）

1

A．cos0.110sin0.1B．ln3ln2

2

1135

C．ln1>D．ln

ππ+1212

【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fxalnxx2，其中aR．

(1)讨论fx的单调性；

(2)当a1时，求证：fxx2x1；

1111

(3)求证：对任意的nN*且n2，都有1111e（其中e2.7183为自然对数

223242n2

的底数）．

题型三同构解决零点问题

方法点拨：通过同构转化零点方程，求参数范围或零点关系（如零点个数、零点乘积/和）。解题思

路：①将零点方程变形为；②利用构造函数的单调性，转化为，再

分析新方程的零点情况。高考常涉及“双零点”问题，需结合函数最值、零点存在定理。

�(�(�))=�(�(�))�(�)�(�)=�(�)

22x

【典例01】（2025·湖北·三模）已知x0是方程2xelnx0的实根，则关于实数x0的判断正确的

是（）

1

A．x0ln2B．x0

e

x0

C．2x0lnx00D．2elnx00

【典例02】（25-26高三上·河北沧州·期中）已知关于x的方程x2axlnaa2xalnx(a0且a1)在

0,上恰好有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（）

A．1,B．1,ee,

C．e,D．e,ee,

xx0

【变式01】（24-25高三上·湖南常德·月考）若正实数x0是方程e1aln(ax1)的根，则eax0

（）

A．1B．1C．2D．2

【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知关于x的方程ax1exxlnx1x0有两个实

数根，则实数a的取值范围是（）

111

A．0,B．,C．2e,D．0,

ee2e

22x

【变式03】（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知x0是方程2xelnx0的实根，则关于实数x0

的判断正确的是（）

1x0

A．x0ln2B．x0C．2x0lnx00D．2elnx00

e

题型四同构解决恒成立问题

方法点拨：将恒成立不等式转化为同构形式，通过分离参数或利用函数最值求参数范围。解题思路：

①整理不等式为（或），其中t为同构后的单一变量；②求构造函数的最值，进而

确定参数范围。高考常以“对任意，不等式恒成立”形式命题，参数多为一次或二次形式。

�(�)≥��(�)≤��(�)

x

【典例01】（25-26高三上·四川成�都>·期�中）已知实数x，y满足ln2xyex2yxy20，则的值

y

为（）

A．2B．1C．2D．1

【典例02】（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数fxexlnaaxa1，若fx0恒成立，则实数

a的值为（）

e2

A．eB．eC．e2D．

2

2lnx

【变式01】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数fxmxex，gx，若x0，fxgx，

xex

则m的取值范围为（）

11

．．．．

A2,eB,C1,eD,e

ee

ex

【变式02】（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若关于x的不等式axxlnx31在区间1,上恒

x2

成立，则实数a的取值范围为（）

11

A．,1B．,C．,eD．,

2e

【变式03】（25-26高三上·四川南充·月考）已知fx，gx分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且

x

fxgxe，若关于x的不等式2fxag2x0在0,ln3上恒成立，则正实数a的取值范围是（）

151515

A．,B．0,C．ln3,D．0,

888

题型五双变量同构问题

方法点拨：处理含两个变量的指对数混合问题，通过同构建立变量间关系（如、的范围）。

解题思路：①由已知条件（如）变形得同构式，确定与的关联；②构造对称函数或利

��+������

用单调性转化为单变量问题。

�(��)=�(��)����

【典例01】（2025·湖北黄冈·一模）(多选)已知函数fxxlnxx0，则下列结论正确的是（）

A．f2f3

1

B．ff2

2

，

C．若方程fxm有两个不相等的实根x1x2，则x1x22

D．若不等式etttaalnta0对t1，恒成立，则0ae

ax

【典例02】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fxxlnxx1．

2

fx

(1)若a0，设A,B分别在抛物线x24y与曲线y上，且AB∥y轴，求AB的最小值；

x

(2)设x1,x2是fx的两个极值点，证明：lnx1x24ax1x26．

lnxx

【变式01】（2025·四川成都·二模）已知函数fx，gxxe.若存在x10,，xR使得

x2

2

x2k

fx1gx2kk0成立，则e的最大值为（）

x1

A．e2B．e

41

C．D．

e2e2

【变式02】（25-26高三上·山东济南·期中）(多选)已知函数f(x)xex，g(x)xlnx，则下列说法正确的（）

A．函数f(x)与函数g(x)有相同的极小值

B．若方程f(x)a有唯一实根，则a的取值范围为a0

1

C．若方程g(x)m有两个不同的实根x,x，则xx

1212e2

D．当x10,x20时，若f(x1)g(x2)t，则x1x2t成立

【变式03】（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数fxexaxaR．

(1)当a1时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)求fx的单调区间；

(3)若fx有两个正零点x1,x2，且x1x2．

（i）求a的取值范围；

（ii）求证：x1x22．

（限时训练：15分钟）

111

1．（25-26高三上·重庆·月考）若a168,bee,c33，则（）

A．abcB．acb

C．bcaD．cba

167

2．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）设a,b,c则a，b，c之间的大小关系式是（）

ln2ln9ln7

A．abcB．bacC．cbaD．bca

3．（2025·辽宁·一模）(多选)已知函数f(x)xex，则（）

A．f(x)有两个零