浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题 含解析

2025学年第二学期五湖联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若复数是纯虚数，则实数（）A. B.2 C. D.0【答案】B【解析】【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得．2.已知向量，，且，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【详解】已知向量，，且，则，解得.3.已知，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【详解】，，，则.4.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因，可设，，因，则最大内角为C，由余弦定理，．5.如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法还原原平面图形，分别求出轴、轴方向线段长度，然后计算周长.【详解】根据题意，直观图边长为，，，还原为平行四边形，，，所以，原平面图形的周长是cm.6.在中，，记，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】在中，，记，，所以，，，所以，即.7.已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题意知：,,当且仅当时，.8.如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合，可得的函数式，由基本不等式即可求的最小值.【详解】在中，线段的中点分别为，记，则，，∴，，∴两边平方得：∵，，，，∴，当时，等号成立，所以最小值为，即的最小值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.若复数，则B.若复数，则z的虚部是C.已知，是关于x的方程的一个根，则D.若复数z满足，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】应用共轭复数的定义及复数乘法判断A，由复数的乘法、乘方运算化简，并确定虚部判断B，由实数方程复数根的性质及韦达定理求参数值判断C，由复数模的几何性质确定的轨迹为圆，结合圆的几何性质求距离最小值判断D.【详解】A：由题设，正确，B：，虚部为，错误，C：由题设，是方程的另一个复数根，则，即，故，正确，D：由，则对应点在以为圆心，2为半径的圆上，而表示圆上点到点的距离，且点在圆内，故其最小值为，正确.10.已知平面向量，满足，，则下列说法正确的是（）A.B.C.，使D.，【答案】BD【解析】【详解】A选项，，故A错误；B选项，，所以，故B正确；C选项，，则，因为，所以不存在，使，故C错误；D选项，若，则，则，即，因为对，所以D正确.11.如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的表面积为B.圆锥的外接球体积是C.圆锥的内切球半径为D.若，E为线段上的动点，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】A求出底面积和侧面积相加即可；B求出外接球半径即可；C根据体积公式可得；D展开共线时最短；【详解】根据题意可得底面半径和母线的长分别为，所以侧面积为，底面积为，所以圆锥的表面积为，故A对；设外接球的半径为，球心到圆锥底面的距离为。由于圆锥的高，底面半径，所以，代入得，所以，故B正确；圆锥的体积，，，故C错误；由，E为线段上的动点，得，又，所以为等边三角形，则，将以为轴旋转到与共面，得到，所以为等边三角形，则，则,因为,,则，故D正确非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则______.【答案】2【解析】【详解】由题意得，，得13.如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为__________.【答案】米【解析】【详解】在△BCD中，，由正弦定理得，解得(m），在Rt△ABC中，(m).14.在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求.【详解】由题设，即（负数舍去），又外接圆的半径，要使四边形的面积最大，只需的面积最大，由到的距离，则中边上的最大高为，所以最大.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知复数，，，.（1）若，求m的值；（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的运算法则计算得出复数的表达式，再根据可解得m的值；（2）将所求复数整理化简，根据第二象限对应的复数实部与虚部的符号特征解不等式即可.【小问1详解】由已知得，所以，又，解得，故实数m的值为.【小问2详解】由（1）得，，由复数在复平面上对应的点在第二象限得，解得，故实数m的取值范围为.16.已知向量，满足，，且.（1）求的值；（2）求与的夹角余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直的表示及运算律的性质求解即可；（2）根据模的运算求得，，进而利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】由得，所以，又，得；【小问2详解】由（1）得，又，，即得，又，所以，即与的夹角余弦值为.17.已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体.（1）求的长；（2）求几何体的体积；（3）求几何体的表面积.【答案】（1）（2）160（3）【解析】【分析】（1）先根据球的表面积公式求得直径，再利用长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长列式求解即可；（2）结合长方体和棱锥的体积公式，利用割补法求体积即可；（3）在中由余弦定理和同角三角函数关系求得，求得的面积，即可求解表面积.【小问1详解】设，由可得，，因为外接球的表面积为，即，解得，又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长，即，解得，所以；【小问2详解】，即几何体的体积为160；【小问3详解】由（1）得，，，则，，，在中由余弦定理，则，所以，从而得几何体的表面积为.18.在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，且，，，点M满足，点P在线段上运动（包括端点），如图所示.（1）求与共线的单位向量的坐标；（2）求在上的投影向量的坐标；（3）是否存在实数，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或；（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算和单位向量的定义可求得答案；（2）根据题意可得，根据向量的坐标运算求投影向量；（3）设，根据向量垂直的坐标表示可求得．分，讨论可求得的范围.【小问1详解】由题意可知：，则，可得，所以或.【小问2详解】由题意可得：，则，，所以在上的投影向量为.【小问3详解】设，，则，，，若，则，即，可得，若，则不存在；若，则，因为，则，可得；综上所述：存在实数满足题意，的取值范围为．19.已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C的对边，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积.（3）如图，若直线l与三角形的边，分别相交于点D，E，设，求证.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析