2025-2026学年下学期广东省珠海实验中学高一数学2026年5月学情调研试卷（含答案）

2025-2026学年第二学期5月学业质量调研高一数学满分：150分考试时间：120分钟说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。第Ⅰ卷（客观题，共58分）一、单项选择题（共有8小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一个是正确的。）1.已知平面向量a=(1,x)，b=(3,-1)，若a⊥A.-3C.-132.记∆ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2，b=23，sinB=A.πB.πC.π3或D.π6或3.已知a，b是单位向量，且满足a⊥(a+2b)，则aA.π6 B.C.2π3 4.设m，n表示两条不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A.若m∥α，nB.若m⊂α，n⊂α，mC.若m∥n，nD.若m∥α，m∥β5.若复数z=5+10i3-4i，则复数zA.1+2i B.C.-1-2i6.已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为287，则其表面积为（

A.80 B.148C.168 D.68+207.若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（

）A.3+12C.5+128.如图所示，已知△ABC，点M，N满足AM→=12AB→，AN→=13AC→，BN与CM

A.AP→=1C.t=2二、多项选择题（共有3小题，每小题6分，共18分，根据选对的选项个数给分，只要有错误选项则该题为0分。）9.已知复数z=-1-2i，则下列结论正确的是（A.|B.复数z在复平面内对应的的向量a与向量b=(2,-1)C.若复数z是关于x的方程x2+ax+D.若复数ω满足|ω-z|=110.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=6，AC⊥BC，E、

A.三棱柱ABC-A1B.BC.若α交B1C1于M，则FMD.若α交B1C1于11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（

A.若A>BB.已知b=3，B=π4，若△C.若AB→|AB→|D.若tanA+tanB+tanC第Ⅱ卷（客观题，共92分）三、填空题（共有3小题，每小题5分，共15分。）12.已知i为虚数单位，若z=(a-213.记∆ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，AB→·AC→=6，14.一圆台的上底面半径为5，下底面半径为12，母线长为14，在圆台内放置的一个半径最大的球体，则该球体的表面积为

.四、解答题（共有5小题，共77分。）15.（满分13分）已知平面向量a，b，c，且a=(-2,1)，（1）求a在b方向的投影向量的坐标；（2）若c∥a，且|c（3）若ka+b与a+16.（满分15分）为测量某景区内一座古塔AB的高度，由于塔底B无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点C，D进行测量。首先在点C处测得塔顶A的仰角为45°，然后沿河岸步行20m到达点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°。已知∠（1）求古塔AB的高度；（2）求三棱锥A-（3）若从观测点C沿BC的延长线向后退行20m到达点E，求三棱锥A-17．（满分15分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD，（1）求证：BC∥（2）求证：CE∥平面PAB（3）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由18．（满分17分）在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2（1）求角A；（2）若a=2，∆ABC为锐角三角形，求（3）若a=2，∆ABC为锐角三角形，且O为∆ABC求mn的取值范围；19．（满分17分）如图，∆ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为边AB上的中点，b=2，CD=2（1）求cos∠ACB以及AB的边长（2）设M，N分别为边CA，CB上的动点，线段MN交CD于P，设CP→=kCN→①求证：k②四边形ABNM的面积为∆CAB面积的23，求CP→·2025-2026学年第二学期5月学业质量调研高一数学参考答案和评分标准题号12345678910答案BACDCBADBCDCD题号11答案ABC1.B由a⊥b，可得a·2.A解：∆ABC中，由正弦定理asinA=bsinB由a=2<b=23∴A<B3.C因为a2+2a·b又，|a|=1，|b|=1所以1+2cos⟨a因为⟨a,b⟩∈[0,故选：C。4.D对于A，由m∥α，n⊂α，得直线n与对于B，由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥对于C，显然错误；对于D，过直线m的平面γ∩β=l，由m∥β，得m∥由m，n是异面直线，得直线l，n相交，又n∥α，n，l⊂β，因此故选D，5.C由z=所以z¯故选：C。6.B因为正四棱台的侧面都是等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为287，设其高为h，则28故h所以侧面梯形的斜高为h1则梯形的面积(2+8)×4×1上，下底底面面积分别为2×2=4，8×8=64，所以该四棱台的表面积为4+64+4×20=148．7.A设球的半径为R，则球的直径为2R，由题意，圆锥的高h所以球的体积为V球设圆锥底面半径为r，则V圆锥由V圆锥=V球，即又因为圆锥的母线长l=所以S圆锥又S球=4π8.D对于A，由C，P，M共线，存在λ使AP→由B，P，N共线，存在μ使AP→=μ联立系数相等：{λ2=μ1-λ=1-μ对于B，BP→BN若BP→-35AB对于C，由于AP→=tAD→，且D在则AP→结合AP→=25AB→+对于D，由CP→所以CP→=259.BCD对于A，|z|=(-1对于B，复数z在复平面内对应的向量a=OZ→=(-1,-2)与b=(2,-1)对于C，将z=-1-2i代入方程，得(-1-2⇒{a=2b法二：由-1-2i是关于x的方程x2{-1+2i所以a+对于D，设复数ω对应向量为OW→=(x,y由|ω-z|=1得，|ZW→|=1所以|OW→|min=|OZ→故选：BCD．10.CD如图所示：将该三棱柱视为边长为6的正方体ABCD-A1B1C1延长AF与CC1交于点P，连接PE交B1C1于M，连接FM因为FC1∥AC，F是中点，所以C1是PC的中点，由∆MPC而E是BB1的中点，所以ME与BC1不平行且必相交，所以BC对于C，FM⊂α,A∈α,对于D，因为B1M=2，又B1E=3，所以在故选：CD．11.ABCA选项，在∆ABC中，由A>B得a>b，由正弦定理asinA=B选项，已知b=3，B=π4，由正弦定理asinA若∆ABC有两解，则{26a<1a>b，解得：C选项，AB→|AB→|和AC→|以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，又由AB→|AB→|所以∆ABC是等腰三角形且AB又因为cos∠BAC=cos⟨AB→所以∆ABC是等边三角形，CD选项，因为(A所以tanC=所以tanAtanBtanC-tanC=因为tanA+tanB+又因为A,B,所以tanA，tanB，tanC>0，所以∆ABC是锐角三角形，故选：ABC.12.-因为z=(所以{a2-故答案为：-213.2由∆ABC的面积为12bcsinA=3两式相除得tanA=33即A=π6，∴bc由余弦定理a2=b故答案为：214.147设圆台的上、下底面的半径分别为r1，r2，由题知r1又母线长为14，则圆台的高为h=142-若球与圆台的下底面和侧面相切，设球的半径为R，球心为O，圆台的上、下底面的中心分别为O2，O与圆台侧面的一个切点为F，过球心的轴截面如图所示，连接OF，OC，易知R又2R所以R=h215.（满13分）已知平面向量a，b，c，且a=(-2,1)，（1）求a在b方向的投影向量的坐标；（2）若c∥a，且|c（3）若ka+b与a+（1）解：a=(-2,1)，b故a·b=-6-4=-10，|b|=3∴a在b上的投影向量为-65（2）解：设c=(x,∵c∥a，∴x=-2∴{x=-6y∴c=(-6,3)或(6,-3)。（3）因为a=(-2,1)，所以ka+b因为ka+b所以{(ka→+b即k的取值范围是(-∞,1)∪(1,3)。-------------------1316.（满分15分）为测量某景区内一座古塔AB的高度，由于塔底B无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点C，D进行测量。首先在点C处测得塔顶A的仰角为45°，然后沿河岸步行20m点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°．已知∠BCD=120°，且观测点与塔底部在同一水平面内．（1）求古塔AB的高度；（2）求三棱锥A-（3）若从观测点C沿BC的延长线向后退行20m到达点E，求三棱锥A（1）设AB=在直角三角形ABD中，因为∠ADB=30°，故同理BC=在∆BCD中，CD=20，由余弦定理有所以3h2=所以古塔AB的高度为20 m．-----------------------------------------------（2）由（1）知，在∆BCD中，BC=h=20，CD=20S∆所以三棱锥A-BCD=200033（3）由于BC=CD=CE=20，故∠BDE=90°，可以把三棱锥A-BDE长方体的外接球，BD=3h=203，∆BCD中，外接球的半径R=V=17.（满分15）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD，（1）求证：BC∥（2）求证：CE∥平面PAB（3）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由（1）在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC（2）如下图，取F为AP中点，连接EF，BF，由E是PD的中点，所以EF∥AD且EF=12AD，由（所以EF∥BC且EF=BC，所以四边形而CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，则CE∥平面PAB（3）取AD中点N，连接CN，EN，因为E，N分别为PD，AD的中点，所以EN∥因为EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EN∥线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB由（2）知：CE∥平面PAB，又CE∩EN=E，CE⊂平面CEN，所以平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面所以MN∥平面PAB，所以线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB.18.（满分17分）在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2（1）求角A；（2）若a=2，∆ABC为锐角三角形，求（3）若a=2，∆ABC为锐角三角形，且O为∆ABC求mn的取值范围；（1）由正弦定理(2b-c从而2sinBcosA又B∈(0,π)，得sinB又A∈(0,π)，所以\(A（2）由正弦定理bsinBa+由∆ABC为锐角三角形，得{0<B从而B+即∆ABC的周长的取值范围\((23+2,6]（ii）O为∆ABC的外心，由AO则AO得c22=mc也有AO→得b22=mbccosA+nb从而可得bc=m由∆ABC为锐角三角形，得{m>01-2m>0，得化简得1+3mn=2(m+n)-------------------------------------------1719.（满分17分）如图，∆ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为边AB上的中点，b=2，CD=2（1）