2025-2026学年下学期江西师大附中高三数学2026年5月三模试卷（含答案）

江西师大附中2026届高三三模数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1.设全集U={x|0<xA.{1,2,3} B.{4,5,6}C.{4,5} D.{2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−2,3)，则复数ziA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线E:y2=4x的焦点为F，点A在抛物线E上，AB⊥A.2 B.4C.23 D.4.已知随机变量X∼N(μ,9)，Y∼A.2 B.3 C.4 D.95.已知函数f(x)=2sinωx+π6(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，BA.8 B.−8CD.−166.某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）。运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线AB上选取一点P作为起跑点，沿直线PQ加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即PQ与内侧分道线相切。以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）。若|OA|=40，|PQA.40x+9yC.9x+40y7.设a>0且a≠1，函数f(xA.[2,eC.[2,+∞) 8.将正整数N分解为两个正整数k1，k2的积，即N=k1·k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解。如6=1×6=2×3，2×3即为6的最优分解，当k1，kA.549−1 C.550−1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设f(x)且是定义在R上的偶函数，且当x≤0A.f'(−1)=0B.当x>0时，C.f(x)恰有D.当0<x<10.第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合。会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆O1，O2，O3互相过圆心，A，B为圆O1上两点，且O1A⊥O1

A.λ=−2 B.λ−2C.λμ=3 D.11.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)+[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数。当x∈(0,1]时，f(A.数列{aB.数列{bnC.∀n∈D.∃k∈三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。12.在(2x−1)9的展开式中，含有13.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F214.在矩形纸片ABCD中，AB=23，AD=2，E，F，G，H分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为16325，则该小球半径r四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2（1）求cosB的值；（2）如图，过点C作CD∥AB，与∠ABC平分线相交于点D，若BC16.（15分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥A−BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB=3，∠ACD（1）求三棱锥A−（2）在∆BCD中，BD=2CD（i）当λ=1时，求证：BE（ii）若DE与面ABD所成角的正弦值为55，求实数λ17.（15分）“OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名。其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程。某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对A、B、C三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为89，34，（1）求第一天AI系统检测准确的生产线数量X的分布列；（2）若AI系统对于A生产线前一天的缺陷检测准确，则第二天检测准确的概率为56，否则准确率为112。若系统模型对于A生产线的检测准确率不低于12，继续用此系统模型进行预测，否则调整检测系统模型，那么一个检测系统模型最多可以检测几次就要调整？（参考数据：lg18.（17分）已知椭圆C：x2a2+y2b（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆恰与椭圆C交于点P。（i）证明：直线AB恒过定点；（ii）当点A在点B左侧时，若Q是椭圆C上一点，直线PB与PQ关于直线x=2对称，是否存在圆M：(x−m)2+y219.（17分）已知函数f(x)，若存在数列{an}满足a1=1，an+1=f(a（1）若某数列{an}的“伴随函数”f(x)=（2）若某数列{an}的“伴随函数”f(（3）若某数列{an}证明：1+9江西师大附中2026届高三三模数学试题参考答案一、单项选择题题号12345678答案CACBDABC二、多项选择题题号91011答案ACABDAB三、填空题12.−201613.−14.6四、解答题15.（1）因为a2+c2=4+b2，由余弦定理得a2+c2-b2=2accosB，

所以2accosB=4，即accosB=2，.................................................................2'

又S∆ABC=12acsinB=15，即acsinB=215，.................................................................3'

故tanB=15，...................................................................................................4'

而B∈(0,π)，所以cosB=14...............................................................................6'

（2）由（1）可知ac=8，又BC=2AB，即a=2c，所以BC=4，AB=2，.......................................................8'

因为BD平分∠ABC，且CD∥AB，所以∠ABD=∠CBD=∠CDB，

故∆CBD为等腰三角形，CD=BC=4...........................................................................10'

又∠ABC+∠BCD=π，所以cos∠BCD=cos(π-∠ABC)=-14，...................................................11'

在∆CBD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2·BC·CDcos∠BCD=40，所以BD=210...............13'

16.因为三棱锥A-BCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，∠ACD=π2，

所以∠ABD=∠ACD=π2，故AD中点即为外接球球心，.................................................................2'

设外接球半径为R，由4πR2=21π得R=212，于是AD=2R=21，.......................................................3'

而AD2=AB2+BD2，又AB=3，故BD=23，...............................................................................4'

（1）在Rt∆BCD中，BC2+CD2=BD2=12，

因为VA-BCD=13S∆ABC·AB=12BC·CD，.................................................................5'

又BC·CD≤BC2+CD22=6，...............................................................................6'

所以VA-BCD≤3，当且仅当BC=CD=6时取等号...............................................7'

（2）（方法一·向量法）因为BD=2CD，所以CD=3，BC=3，

如图，以B为原点，分别以BC，BA为x，z轴，建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，°A(0,0,3)，°C(3,0,0)，D(3,3,0)，.................................................................9'

（i）当λ=1时，E为AC中点，故E32,0,32，从而BE→=32,0,32，AD→=(3,3,-3)，

所以BE→·AD→=0，即BE⊥AD 10'

（ii）由AE→=λEC→得E3λ1+λ,0,31+λ，于是DE→=3λ1+λ-3,-3,31+λ，设平面ABD的一个法向量为n=(x由{n→⋅BA→=0,n→⋅BD设DE与平面ABD所成角为θ，则sinθ=|整理得11λ2−8λ−28=0，解得λ=2或（2）方法二：几何法因为BD=2CD，所以CD=（i）当λ=1时，E为AC中点，而AB=BC又CD⊥AC，CD⊥BC，AC⊆平面ABC，BC故CD⊥平面ABC，而BE⊆平面ABC，所以又AC⊆平面ACD，CD⊆平面ACD，所以BE⊥平面ACD，又AD⊆平面ACD，故BE（ii）因为AE→=λEC→设点C到平面ABD的距离为d0，点E到平面ABD的距离为d易知d0=32，且又AC=32，所以CE设DE与平面ABD所成角为θ，则sinθ=化简得11λ2−8λ−28=0，解得λ=2或−141117.（1）X的可能取值为0，1，2，3，有P(X=0)=P(X=2)=所以X的分布列为X0123P1134648⋯⋯6'（2）设Pn表示第n天系统模型对A生产线的检测准确率，则P即Pn=34又P1=8所以Pn−13是以故Pn-13=59×34n-1，即Pn=59×34n-1+13， 12'由题意得59×3所以n−1⩽log3故n⩽5，即一个检测模型最多可以检测5次就要调整 15'18.（1）据题得{2a=2⋅2b4a2+1b2=1，解得a2=6，b2=3，所以椭圆方程为x26+y23=1 4'（2）（i）①当PA斜率存在时，设直线PA：y−1=k1消y并整理(1+2k由韦达定理得2xA=8k同理，设直线PB斜率为k2，可得xB=4k22-4k2-21+2k22，yB=-2k22-4k2+11+2k22 7'设直线AB：y=tx+整理得关于k1的方程(4同理(4t故k1，k2是方程由题设k1k2化简得2t+3m+1=0，又AB所以{3x=2−3y②当PA斜率不存在时，A(2,−1)，B(−2,1)，直线AB：x+2综上，直线AB恒过定点23,-13 10'（3）设直线PB斜率为k，则直线PA斜率为−1k，直线PQ斜率为直线方程分别为PA:y−1=−整理得PA:x+ky-k-2=0，PQ:kx+y-2k-1=0 13'由点M(m去绝对值得(m−1)故m=1或m=3，即点M的坐标为(1,0)或(3,0) 17'19.（1）据题得，an而a1=1，a2要使数列{an}为等比数列，则a而A>0，可化为1+Asinπ2a于是(1+A)π2=2kπ+所以q=1+A=4k+1，k此时Asinπ2an=因此数列{an}是以1+A=4k+1，k∈N+为公比的等比数列，所以当k=1时，Amin=4 4′（2）f(x)定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，要证f(当x∈(−1,0)时，1x+当x∈(0,+∞)时，1x+12>0，只需证ln(x+