2025-2026学年下学期深圳南方科技大学附中高二数学2026年5月期中试卷（含解析）

南科大附中2026年春季学期高二年级期中考试数学（本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的。）1.已知函数f(x)=3lnx+2，则A.3 B.5 C.8 D.102.已知{an}是等差数列，且a3+a9A.0 B.−2C.−6 D.−83.若x−ax26A.4 B.2 C.8 D.64.某数学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学去听院士讲座，设抽到的女生人数为X，则P(X=2)=A.320 B.C.310 D.5.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型。若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（

）A.600 B.264 C.207 D.1146.下列说法中错误的有（

）①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6；②根据2×2列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，而③回归分析时，可用决定系数R2刻画模型的拟合效果，R④若随机变量ξ服从正态分布ξ∼N(1,σ2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.设A，B是两个随机事件，若P(B¯)=49，P(A.12 B.2C.25 D.8.方程xex=a(lnx+x)A.(0,+∞) B.(eC.(0,e) 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）9.定义在[−1,3]上的函数f(x)的导函数f'(xA.函数f(x)在B.函数f(x)C.函数f(x)在D.函数f(x)在10.已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲、乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，则下列说法正确的有（

）A.若抽取后放回，则PB.若抽取后不放回，则PC.若抽取后放回，则PD.若抽取后不放回，则P11.已知数列{an}满足2an+2+an+1−anA.{aB.anC.{SD.{sinan三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）12.若根据样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯13.甲、乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分。设每局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为14.已知直线y=x是函数f(x)=(x+四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。）15.（13分）在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2（1）求角B的大小；（2）若b=23，且∆ABC的面积为216.（15分）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，（1）证明：A1D∥（2）若三棱锥A−EBC的体积为43，求平面EBC17.（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道题目，甲答对每道题目的概率都是23，乙答对每道题目的概率都是12，每位面试者最多有两次答题机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响.（1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；（2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X，求X的分布列与期望.18.（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求a1（2）求{a（3）设数列1nlog2an的前n19.（17分）已知函数f(x（1）若a=1，求曲线y=f(x（2）若f(x)在区间(3,+∞)上单调递减，求（3）若a>0，且f(x)存在两个极值点x1，南科大附中2026年春季学期高二年级期中考试数学答案题号12345678答案ACDCDACB题号91011答案BCABCAD1．A由f(x)=3lnx+2，得2．C设等差数列{an}由{a3+a93．Dx−C6kx6−k(−ax2)k=C6k令6−3k=0，则k=2，故常数项为−4．C由于P(P5．D先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有C5其中小李和小赵同一组的情况有C32种；再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有A3所以共有19×6=114种方法.6．A对于①，将数据按从小到大排列：1，2，3，5，7，8，9共有7个数据，0.6×7=4.2.故60%分位数是第5个数，即7不是6.故①错误；对于②，根据2×2列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，而则有99%的把握认为两个分类变量有关系，则“两个分类变量有关联”此推断错误的概率不大于0.01，故②正确；对于③，在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型的回归效果，若R果越好，故③正确；对于④，由随机变量ξ∼N(1,σ2由P(ξ<a)=2−a≤1−2a综上，错误的只有①.7.C因为P(B¯而P(由条件概率公式得P(8.B由题可知：x>0，原方程xex=a(lnx+故t(x)在(0,+∞)单调递增，即每个不同t对应唯一不同的x，原方程有两个不同实根等价于方程e变形得：a=ett，令f(t当t<1且t≠0时，f′(t)<0，f(t故f(t)在t=1处取得极小值f(1)=e。由原方程可知若a<0，则t<0，此时方程故a>0，则t>0。因此只需考虑f(t)在当a>e时，a=et9.BC由导函数f'(x当x∈(−1,0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x所以，函数f(x)在x=0故选：BC.10.ABC选项A：因每次抽取后放回，故抽取条件相同，P(选项B：不放回时，P(A)=23①甲中且乙中（23×12=故P(B)=选项C：放回时，P(B)=23则P(B|选项D：不放回时，P(B)=所以P(B|11．AD对于A，由题可得an+2+故{an+1+a对于B，由A易得an+1+又因为a1−12=0对于C，由B知an=12n对于D，易知当x∈0,π2时，设cn=sin12．−2x¯=1n∑i=1即10=12+a^，解得13．112事件A1：甲胜5局，得5分，乙得0分，则P事件A2：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则P所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为P(A14．4由f(x)=(x+a)e直线y=x的斜率为1.令g'(x)=1，得x=1，将x=1所以直线y=x与函数g(x)的图象的切点为(1,1)设直线y=x与函数f(x)的图象的切点为(m因为函数h(x)=ex+x单调递增，且h15.（1）B=π（1）由2bcosC=2a-c及正弦定理，得2sinBcosC=2sinA-sinC 1分因为sinA=所以2sinBcosC整理得2cosBsinC-sinC=0 3分因为sinC>0，所以2cosB-1=0，即cosB=12 5分又B∈(0,π)，所以B=π3 7分（2）由S∆ABC=12acsinB=23，且B=π3，得ac=8 9分由余弦定理b2=a得12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac 11分所以a+c=6（负值舍去） 12分故∆ABC的周长为23+6 13分16.（1）证明过程见解析.（2）2设BC的中点为M，连接DM，EM.因为E，D分别为A1C1，AB的中点，所以DM在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1所以四边形DMEA1为平行四边形，则EM∥A1D 2分又EM⊂平面EBC，A1D⊄平面EBC， 4分所以A1D∥平面EBC 5分（2）我们以A为原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 6分设直三棱柱的侧棱长AA1=h，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C三棱锥VA−EBC=VE−ABC，因此VA-EBC=VE-ABC=13S∆ABCh=13×2×h=23h=43，解得h=2 8分则向量A1D→=(1,0,−2)，设平面EBC的法向量为n=(x,令z=1，得y=2，x=2，即n=(2,2,1)； 11分平面A1ABB1的一个法向量为m=(0,1,0)； 13分设两个平面夹角为θ，则cosθ=即两个平面的夹角余弦值为23 15分17.（1）1136（2）分布列见解析，（1）设事件A为“甲通过面试”，事件B为“乙通过面试”，P(A)=23+13×23=89（或P(A)=1-13×13=89） 2分P(B)=12+12×12=34（或P(B)=1-12×12=34） 4分所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率P=P(AB¯)+P(A¯B)=P(A)P(B¯)+P(A¯)P(B)=89×14+19×34=1136 7分（2）随机变量X的可能取值为2，3，4 8分P(X=2)=23×12=13，P(X=3)=23×12+13×12=12，P(X=4)=13×12=16， 11分随机变量X的分布列为X234P111 12分所以随机变量X的期望为E(X)=2×13+3×12+4×16=176 15分18.（1）方法一：由a2得a1=2a2-2=2； 4分方法二：由S2=2a得a1=a2=2； 4分（2）因为Sn=2a则an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，得an=2an-1

(n≥3)， 6分又a2=2，所以an=a2qn-2=2n-1

(n≥2)， 8分所以an={2,n=12n−1,n≥2； 10分（3）设bn=1nlog2an，则n=1时，T1=b1=1<2， 12分当n≥2时，bn=1nlog22n-1=1n(n-1)=1n-1-1n， 14分所以Tn=b1+b2+⋯+bn=1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=2−1n<2， 16分综上：Tn<2 17分19.（1）y（2）−∞,（3）证明见解析（1）由题意得f(x)=1x-x+lnx，x>0，f(1)=0， 1分而f'(x)=-1x2-1+1x，则f'(1)=-1， 2分故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1 3分（2）f'(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2，x>0， 4分又f(x)在区间(3,+∞)上单调递减，等价于f'(x)≤0在(3,+∞)上恒成立， 6分即x2-ax+1≥0在(3,+∞)上恒成立，即a≤x+1x在(3,+∞)上恒成立