2025-2026学年下学期重庆一中高二数学2026年5月期中试卷（含解析）

重庆一中高2027届高二下期期中考试数学试题卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3. 考试结束后，将答题卡交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1已知集合A={x|-1<x≤1}A.{x|0<C.{x|0<x2.已知a、b∈R，则“lna>lnb”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.某校对学生记忆力X和判断力Y进行统计分析，所得数据如表：记忆力X25689判断力Y78101218则Y关于X的线性回归方程为（

）A.Y=-1.4XC.Y=1.4X4.设X∼N(12,σ2)，且A.0.3 B.0.35 C.0.4 D.0.455.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》，惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的飘逸与力量完美融合。根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在以下情况：1. 平稳落地（概率为0.8）：动作精准，必定能站稳；2. 踉跄落地（概率为0.1）：重心略偏，90%能站稳；3. 近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳。则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（

）A.0.91 B.0.92 C.0.93 D.0.946.∆ABC三边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，将1，2，3，4，5，6六个数字全部标注在A，B，C，D，E，F六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（

）A.72种B.48种C.60种D.36种7.已知F1、F2为椭圆方程C:>x225+y29=1的左右焦点，点P在椭圆C上，动点MA.6 B.7C.8 D.98.已知函数f(x)=ln(2x+1)+ln(2x-1)，在点(i,f(i))（A.λ≥2 B.C.λ≥8二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错误的得0分。9.盒子中有10张奖券，其中3张有奖。甲、乙两位同学依次随机抽取一张奖券，记他们中奖的概率分别为P(A)A.若抽取后放回，则PB.若抽取后不放回，则PC.若抽取后放回，则PD.若抽取后不放回，则P10.下列结论正确的是A.已知事件A和B满足P(A)=56，B.已知事件A和B满足P(A)=12，C.若2x-1xD.已知(2x-11.已知函数g(x)=ex-13aA.aB.若x1，x2，x3成等差数列，则x12C.若x1，x2，x3成等差数列，则数列x1，xD.若x12，x22，x32成等比数列，则数列x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知随机事件A，B相互独立，且P(A)=P13．已知曲线C:(x2-y2)·14．甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的8张卡片的背面朝上并搅匀；甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当a<b<2a时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为

；游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分，三局游戏后甲、乙两人得分之和X四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）某高校组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人．设事件A=“学生愿意报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计P(（1）根据已知条件，依据小概率值α=0.001性别男生女生合计不愿报名参加答题活动愿意报名参加答题活动合计200（2）假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为23．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X参考公式与数据：χ2=nα0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.（本小题满分15分）为响应2026年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研学营活动。（1）若数学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答2题，答对不少于3题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为23，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得617.（本小题满分15分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(线段OB的中点，其中S∆（1）求椭圆方程．（2）过点0,-32的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点P，Q．在y轴上是否存在点T使得锐角？若存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18.（本小题满分17分）定义：如果函数f(x)在定义域内既有极大值点xf(x1)-f(x已知函数f(（1）当a=2时，判断f（2）是否存在a，使f(x)的极值差比系数为2-（3）若433≤19.（本小题满分17分）猫和老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率相同，已知刚开始猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为pn，q（1）求第1分钟时，猫和老鼠在同一个房间的概率；（2）求证：qn（3）求qn，并分析在第几分钟时，老鼠在0重庆一中高2027届高二下期期中考试数学答案一、单项选择题12345678BACADBDC8.由题意得，f(x)=因为f'(x)=8x4x则bi=f(i则∑i结合题意可得∑i所以λ≥2+1n-1n(2n二、多项选择题91011ABCABDABD11.设函数的导数为f'(x)=ex当a≤0时，f(x当a>0时，分别画出y=e所以x对B、C：由题得ex1x12=若x1，x2，x3成等差数列，则2所以x12，x22，x3即-6x1由x3x1<-1，解得所以x1则x2-x1=-2ln(2-故B正确、C错误；对D：由ex1+x3x12·则ex1+x3=e2x2，即有x32x12=(-3-22)2公比为3+22，故D正确三、填空题1213140.641414，14.①甲先从8张卡片中随机抽取2张，有C82=中随机抽取1张，有C6因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为28×6=168种，甲抽取2张卡片中较大编号为a，乙抽取1张卡片编号为b，“默契局”的条件是a<由题意可知，a的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，当a=2时，甲抽到的卡片只能是{1,2}，此时需满足2<b<4，则乙只能抽到3，情况数为当a=3时，甲抽到的卡片可以是{1,3}或{2,3}，此时需满足3<b<6，则乙可以抽到4或5，情况数为当a=4时，甲抽到的卡片可以是{1,4}或{2,4}或{3,4}，此时需满足4<b<8，则乙可以抽到5或6或7，情况数为当a=5时，甲抽到的卡片可以是{1,5}或{2,5}或{3,5}或{4,5}，此时需满足5<b<10，则乙可以抽到6或7或8，情况数为当a=6时，甲抽到的卡片可以是{1,6}或{2,6}或{3,6}或{4,6}或{5,6}，此时需满足6<b<12，则乙可以抽到7或8，情况数为当a=7时，甲抽到的卡片可以是{1,7}或{2,7}或{3,7}或{4,7}或{5,7}或{6,7}，此时需满足7<b<14，则乙只能抽到8，情况数为当a=8时，甲抽到的卡片可以是{1,8}或{2,8}或{3,8}或{4,8}或{5,8}或{6,8}或{7,8}，此时需满足8<b<16，没有满足条件的b，情况数为因此，“默契局”的总情况数为1+4+9+12+10+6+0=42种，一局游戏成为“默契局”的概率为P=②设单局游戏中甲乙得分之和为Y，则如果是“默契局”；乙得2分，甲得0分，此时Y=2+0=2，概率为p如果不是“默契局”；乙得0分，甲得1分，此时Y=0+1=1，概率为1-则单局得分之和的期望为E(由于三局游戏是相互独立的，总得分之和X是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性性质，有E(四、解答题15.（1）因为P(A)=又因为P(B|答题活动的女生人数为120-80=40，则可得到2×2列联表为：性别男生女生合计不愿报名参加答题活动206080愿意报名参加答题活动8040120合计100100200零假设为H0则χ2=200×(20×40-80×60)2100×100×80×120=1003>10.828=x0.001 5分依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；.......6分（2）X的所有可能取值为：1，2，3，4，P(X=1)=23，P 10分所以X的分布列为：X1234P2221故E(X)=1×23+2×29+3×227+4×127=4027 13分16.（1）由题意可知ξ的可能取值有0，1，2，3，P(ξ=0)=P(ξ=2)=C52C71C123=722，P(ξ=3)=C53C123=122。 4分所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：0123P72171所以E(ξ)=0×744+1×2144+2×722+3×122=54． 7分（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为Q=C3123(1-23)2C22(23)2+C32(23)223(1-23)2+C32(23)2C21(23)=1627 9分设他们小组在n轮流答题中取得胜利的次数为X，则X∼Bn,16由E(X)≥6，即1627n≥6，解得n≥10.125． 14分而n∈N*，则nmin=11，所以理论上至少要进行11轮答题． 15分17.（1）∵椭圆的离心率为e=12，故a=2c∴A(-2c,0)，B(0,-故c=3，∴a=23，b=3，故椭圆方程为：x212+y29=1． 5分（2）过点(0,-32)设P(x1,y1)，Q故Δ=144k2+108(3+4k而TP→=(x故TP→·TQ→=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+(kx1-32-t)(kx2-32-t) 8分=(1+k2==(3+2t)2-12t-45k2+332+t2-273+4k2， 11分∵∠PTQ为锐角，TP→·TQ→>0恒成立，故{综上，存在T(0,t)（t<-92或t≥3），使得∠PTQ为锐角． 15分18.（1）当a=2时，f(x)=xf'(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x（2）f(x)的定义域为(0,+∞)假设存在a使f(x)则x1，x2是方程则{Δ=a2−4>0x1+x2=ax1x2=1，解得a>2，不妨设x1，则x2>1， 5分，则x2>因为f=2(x所以2-a=2-ax1-x2lnx1x2，从而1x1-x2lnx1x2=1，得x2-1x2-2lnx2=0 8分令g(x)=x-所以g(x)在(1,+∞)因此无解，所以不存在a使f(x)的极值差比系数为2-a， 10分（3）由（2）知极值比系数为2-ax1-x不妨设0<x1<x2，令ta2=(x1+x2)2x1x2=x1x2+x2x1+2=t+1t+2，又433≤a≤103，解得19≤t≤13， 12分令p(t)=2-t+1设h(t)=2lnt+所以h(t)在[19,13]上单调递减，当t∈[19,13]时，h(t)≥h(13)>h(1)=0， 15分从而p'(t)>0，所以p(t即2-54ln9≤p(t)≤2-2ln3， 17分所以f(x)19.（1）设tij为第1猫在i号房间，老鼠在j号房间，则P(t00)=0.4×0.5=0.2，P(记事件A为“猫和老鼠在同一个房间”，则P(所以第1分钟时，猫和老鼠在同一个房间的概率为0.5 3分（2）依题意，p0=1，q当n≥1时，猫在第n分钟时位于0上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为25上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为35由全概率公式，得pn=2而p1-12=-110pn-12=-110-15n-1，p0=1满足上式，则pn=12-15n+12， 6分老鼠第n分钟在0号房间包含3种情况：上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为(1-p上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房