高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义一、单选题1．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A．－4 B．4C．－1 D．13．函数在处的切线斜率为（

）A． B． C． D．4．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（

）A．B．C．D．5．已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（

）A． B．C． D．6．点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（

）A． B． C． D．7．函数在处的切线方程为（

）A． B． C． D．8．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（

）A． B． C． D．9．若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（

）A． B．C． D．10．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．11．对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（

）A．① B．② C．③ D．④12．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．已知直线是曲线的一条切线，则_________．14．已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则________.15．已知直线是曲线的一条切线，则________.16．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数a=____________.三、解答题17．已知函数，点在曲线上.（1）求函数的解析式；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求曲线过点的切线方程.18．已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：(且).19．已知，求函数的图象在处的切线方程．20．试求过点且与曲线相切的直线方程．21．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求的范围.参考答案：1．D求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.【详解】，，切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得.故选：D.2．C利用导数的定义直接求解【详解】因为，所以．故选：C3．C求出在处导数值即可.【详解】，，，积切线斜率为0.故选：C.4．C根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，表示切线斜率，又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，结合图象，可得，即.故选：C.5．B利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断与、与，及其与0的大小关系.【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：，而，故选：B.6．A动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可【详解】不妨设，定义域为：对求导可得：令解得：（其中舍去）当时，，则此时该点到直线的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：解得：故选：A7．C先求出导函数，代入可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.【详解】解：由已知，则，又时，，则切线方程为.故选：C.本题考查利用导数求切线方程，是基础题.8．D先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.【详解】设，由题意知，，则，C在点M处的切线，所以所以，则，将代入的方程可得，即抛物线的准线方程为：则.设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为.故选：D本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.9．A逐个利用导数的几何意义分析判断，先对函数求导，然后使，若方程有解，则直线可能是曲线的切线，否则不是，【详解】解：对于A，由得，令无解，故A正确；对于B，由得，令，解得，故B错误；对于C，由得，令，有解，故C错误；对于D，由得，令，解得，故D错误．故选：A10．B经过恒等变形，原问题变成当时，恒成立，构造函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】由，当时，上式可变形为：，问题转化为：当时，恒成立，设，，，因为，，所以，因此，所以当时，单调递减，当时，单调增，故，要想当时，恒成立，只需，设，，，当时，，所以函数单调递增，而，显然当，成立，故选：B关键点睛：通过数学运算把问题转化为当时，恒成立，利用构造函数法，结合导数的性质是解题的关键.11．C分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.【详解】①，②，③，④．故选：C．12．C利用导数的定义求解.【详解】因为，，所以斜率，．故选：C13．．由切线斜率求得切点坐标，然后可求得值．【详解】对，，由，得时，，所以，．故答案为：．14．利用导数与极限的关系可以直接得到结论．【详解】由导数的定义：所以即故答案为：1本题考查导数的定义及应用，属于基础题．15．4设切点为，根据导数的几何意义可求斜率，即可求出，代入切线方程即可求解.【详解】设，切点为，因为，所以，解得，所以，故切点为，又切点在切线上，故.故答案为：4本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于容易题.16．利用求得切点坐标，代入切线方程，从而求得.【详解】令，解得，所以切点为，将代入切线得.故答案为：17．（1）；（2）；（3）或.（1）根据函数过点，代入即可求解；（2）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而利于点斜式求出切线方程；（3）设切点坐标为，切线的斜率为，表示出切线方程，再利用点在切线上，解出，从而得到切线方程；【详解】解：（1）当时，，所以；（2），所以点处的切线的斜率为，所以切线方程为：，即；（3）设切点坐标为，切线的斜率为，所以切线方程为：，将点代入切线方程得：，则，解得或，所以切线方程为：或18．（1）；（2）；（3）证明见解析.（1）求出，，进而可得在处的切线方程；（2）即恒成立，设，求得，进而可得实数的取值范围；（3）由（2）构造不等式，递推累加可得结论.【详解】（1）因为，，，所以在处的切线方程为，即.（2）转化为恒成立设，则，设，，在上单调递增，，所以，在上单调递增，，故.（3）令，由（2）知当时，恒成立，有，即，当时，令，则有，，，，，将上述个不等式累加得：所以，即.关键点点睛：第（2）问的关键点是：由分离变量得恒成立，设，求得；第（3）问的关键点是：构造不等式.19．．直接根据导数的几何意义求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，∴切线方程为，即．本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．20．和．先利用导数的定义求的导数，计算其在处的值即得斜率，再设切点，结合过两点的直线的斜率公式，得到关于的关系式，解得切点即得切线方程.【详解】解：因为，则，因此．设过点的直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义知，曲线在点P处的切线的斜率为①，过点M和点P的切线的斜率②，由①-②得，解得或，所以或，因此过点且与曲线相切的直线有两条，方程分别为和，即和．方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点；（2）求出在处的导数，即在点出的切线斜率；（3）构建关系，解得；（4