高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2 导数的运算（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册5.2导数的运算一、单选题1．下列求导计算正确的是（

）A． B．C． D．2．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（

）A． B． C． D．3．已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．4．若函数，则（

）A． B． C．0 D．15．已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，6．已知函数的导函数为，记，．若，则（

）A． B． C． D．7．已知函数，则（

）A．0 B．2 C．2021 D．20228．设，，，…，，，则（

）A． B．C． D．9．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（

）A． B． C．2 D．10．若，则（

）A． B． C． D．11．已知，则等于（

）A．11 B．10 C．8 D．112．设函数，则＝（

）A．0 B．1 C． D．以上均不正确二、填空题13．设函数，，则实数a＝______．14．已知函数，则_____________15．已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______．16．若，则满足的x值为________.17．函数，其导函数为函数，则________.三、解答题18．函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定叫作曲线在点A，B之间的“平方弯曲度”．设曲线上不同两点，，且，求的取值范围．19．求与曲线y=f(x)=在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程.20．已知函数的图象为曲线C．(1)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线（均不与x轴垂直），求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；(2)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．21．求下列函数的导数．(1)(2)(3)；(4)(5)(6)．参考答案：1．B利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误．故选：B．2．D先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.【详解】设，由题意知，，则，C在点M处的切线，所以所以，则，将代入的方程可得，即抛物线的准线方程为：则.设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为.故选：D本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.3．B根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；【详解】因为所以所以故选：B本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.4．A构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.【详解】令，则，求导得：，所以.故选：A5．D求出函数，再根据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答.【详解】依题意，，求导得，观察的图像得：，即，的另一个零点为，即，所以有，.故选：D6．D通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.【详解】解：，则，，，，，所以猜想：，，，，由，，所以，，，故选：D．本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.7．B求可得为偶函数，可得，计算可得定值，即可求解.【详解】因为，，即，所以是偶函数，所以，又因为，所以，故选：B.8．A根据正余弦函数的导函数，结合导数的运算法则易知，进而写出的解析式.【详解】，，，，，由此可以看出满足对任意，.∴，故选：A.9．D利用为奇函数求得的值，由此求得的值.【详解】依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以.故选：D本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.10．A利用复合函数的求导公式可求得结果.【详解】，所以，.故选：A．11．A求导得，则，解得的值，代入即可求得结果.【详解】，求导得，则，解得，故，，故选：A.12．A先求的值再求导，实质是常数的导数为0.【详解】因为为常数，所以.故选：A.13．2；先对求导，再利用即可求解.【详解】，所以，解得，故答案为：.14．利用幂函数求导公式求导，再代入导函数求函数值.【详解】∵∴∴.故答案为：1.本题考查幂函数求导运算，乘方运算，考查运算求解能力，是基础题.15．利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.【详解】令，得．对求导，得，所以，故曲线在点处的切线方程为．故答案为：.16．1或根据基本初等函数的求导公式列方程求解即可.【详解】由导数的公式知，.因为，所以，即3x2-2x-1=0，解得x=1或x=.故答案为：1或17．0根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案.【详解】因为，所以，所以，故答案为：018．．根据题目中的定义，先求出，然后根据题意再换元，令，即可根据基本不等式求出的取值范围．【详解】因为，所以，，由题意可得，，又因为，所以，，所以，故，令，，则，由于，当且仅当时等号成立，所以，故的取值范围为．19．3x+y-20=0先求导数得切线斜率，由垂直关系可得直线斜率，由点斜式可得解.【详解】因为y=，所以y′=()′=()′=，所以，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以所求直线的斜率为-3，从而所求直线方程为y-8=-3(x-4)，即3x+y-20=0.20．(1)；(2)证明见解析.（1）利用互相垂直的切线（均不与x轴垂直）的斜率互为负倒数，切点处的导数值为曲线切线的斜率，及一元二次方程有解求切点横坐标的范围；（2）利用切点处的导数值为曲线切线的斜率，求出两切点处的两条直线的方程，利用斜率相等和纵截距相等求得的结果与已知矛盾，得证．(1)，由题，设其中一条切线的斜率为，则另一条切线的斜率为，由题意得①与②均有解，若①有解，即有解，则，解得，若②有解，即有解，则，解得或．所以或，即或，解得．(2)证明：假设存在在点的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为，则切线方程是，化简得．同理可得过的切线方程是，由于两切线是同一直线，故，得，易知，即，即，即，即，即，解得，当时，，这与矛盾．所以不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．关键点睛：根据导数的几何意义，