2020-2021学年江西省九江市高三三模数学(文)试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页江西省九江市2020-2021学年高三三模数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．研究与试验发展（R&D）是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先．如图是我国近五年（2016-2020年）R&D经费支出统计图，则下列说法中错误的是（

）A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系B．近五年，R&D经费支出的中位数为19678C．2020年R&D经费支出相对于2016年增长超过50%D．2020年，R&D经费支出增长速度最快4．若实数、满足约束条件，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后第三个节气（立秋）晷长是（）A．三尺 B．三尺五寸 C．四尺 D．四尺五寸6．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是（

）A． B． C． D．7．函数，的图象可能是（

）A． B．C． D．8．已知曲线，曲线的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线B．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线D．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线9．已知点，是圆上的两点，且，则（

）A．6 B． C． D．310．如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④11．在平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左右支上一点，直线AF的斜率为，若四边形OFAB是平行四边形，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．12．已知是定义在R上的可导函数，是的导函数，若，则在上（

）A．恒为正值 B．恒为负值 C．单调递增 D．单调递减二、填空题13．若函数，则．14．圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种．小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则．16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为的等边三角形，平面平面，且，，则球的表面积为．三、解答题17．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：第天12345新接种人数1015192328（1）建立关于的线性回归方程；（2）预测该村居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．18．已知正项数列的前项和为，且满足（1）求的通项公式：（2）设，求数列的前项和．19．如图所示，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形．（1）求证：；（2）若平面平面ABCD，求D到平面ABM的距离．20．已知抛物线上一点到焦点的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）A，B为C上关于y轴对称的两点，，过P作直线l交C于M，N两点，求证：直线AM，AN斜率的乘积为定值．21．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求a的取值范围．22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，记曲线与公共弦所在直线为．（1）求直线的极坐标方程；（2）设过点的直线与直线交于点，与曲线交于点（异于原点），求的值．23．已知函数的最大值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若正实数，满足，求的最大值．

参考答案1．【答案】B【分析】解不等式确定集合，然后由集合的综合运算求解．【详解】，所以或，所以，．故选：B．2．【答案】C【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部.【详解】由已知可得，因此，复数的虚部为.故选：C.3．【答案】D【分析】利用条形统计图分析相应的数据，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系，A选项正确；对于B选项，近五年，R&D经费支出的中位数为，B选项正确；对于C选项，，即2020年R&D经费支出相对于2016年增长超过50%，C选项正确；对于D选项，年，，年，，年，，年，，D选项错误.故选：D.4．【答案】A【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故选：A.5．【答案】D【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】根据题意从冬至到夏至可知：晷长为等差数列，公差为，由题意可知：，，所以有，因为相邻两个节气晷长的变化量相同，所以当夏至之后第三个节气（立秋）晷长是，故选：D6．【答案】D【分析】设椭圆的焦点在轴上，可得出椭圆与圆有公共点，联立两圆方程，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则，，椭圆的标准方程为，以为直径的圆的方程为，联立，可得，所以，，，可得，因此，椭圆短轴长的取值范围是.故选：D.7．【答案】A【分析】通过与的关系判断函数的奇偶性可排除D，再由函数在上的符号为负即可选A.【详解】，所以为偶函数，排除D；当时，，，，，选A.故选：A8．【答案】B【分析】根据图象求出曲线对应的函数解析式，再根据正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.【详解】设，由图象可知：，，因为，所以，，设的最小正周期为，因为，所以由图象可知中：，而，所以令，则，因此，选项A，将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线对应的函数解析式为：，故本选项不正确；选项B，将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线对应的函数解析式为：，故本选项正确；选项C，将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线对应的函数解析式为：，故本选项不正确；选项D，将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线对应的函数解析式为：，故本选项不正确，故选：B.9．【答案】A【分析】根据圆的垂径定理，结合平面向量数量积的定义、余弦函数的定义进行求解即可.【详解】过圆心做，垂足为，由圆的垂径定理可知：，圆的半径为，在中，，因此，故选：A10．【答案】C【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式可判断①的正误，利用锥体的体积公式可判断②的正误，利用空间向量法可判断③④的正误．【详解】如下图所示：设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、、、、，设点，其中.对于①，不是定值，①错误；对于②，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，则平面，，则点到平面的距离为定值，而的面积也为定值，所以，三棱锥的体积为定值，②正确；对于③，，，所以，，因此，对任意点，都有，③正确；对于④，，，，，这样的不存在，所以，不存在点，使得平面，④错误．故选：C．11．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质，结合双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】四边形是平行四边形，不妨设，分别在第二象限、第一象限，因为是平行四边形，所以，因此，当时，，因为的斜率为，所以，而，所以（），所以有，故选：D.12．【答案】A【分析】利用已知条件确定函数是增函数，从而可确定的正负．【详解】由得，设，则．设，，当时，，递增，时，，递减，所以，所以，即恒成立，所以是上的增函数，又，所以时，，．故选：A．13．【答案】2【分析】根据分段函数的定义计算．【详解】由已知．故答案为：214．【答案】【分析】把铜钱编号，用列举法写出任取2枚的所有事件，计数，同时得出两枚为不同种类的基本事件及数量，由概率公式计算概率．【详解】小平钱2枚编号为，折二钱3枚编号为，则任取2枚的所有基本事件为：共10种，其中两枚不同类的有共6种，所求概率为．故答案为：．15．【答案】【分析】由正弦定理化边为角，然后由两角和与差的正弦公式变形后可得结论，注意诱导公式的应用．【详解】因为，所以由正弦定理得，即，所以，所以，是三角形内角，所以，所以，，，又，所以，即．故答案为：．16．【答案】【分析】确定球心为正的中心，计算出正的外接圆半径，即为球的半径，利用球体的表面积公式可得结果.【详解】如下图所示：取的中点，连接、，因为为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，且，则为的外心，因为为等边三角形，则的外心在线段上，所以，的外心即为三棱锥的外接球球心，由正弦定理可知，的外接圆半径为，即球的半径为，因此，球的表面积为.故答案为：.17．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可以求出、，然后求出、，即可求出关于的线性回归方程；（2）本题可设，数列的前项和为，然后根据等差数列求和公式得出，最后求出、，即可得出结果.【详解】（1），，则，，故关于的线性回归方程.（2），设，数列的前项和为，易知数列是等差数列，则，因为，，所以预测该村居民接种新冠疫苗需要天.18．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）由已知条件可知，对任意的，.当时，，解得；当时，由可得，上述两式作差得，即，即，由已知条件可知，，所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，；（2）由（1）可知，则，因此，.19．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）取BD中点O，连接CO、MO，根据为等边三角形，可得，同理可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，即可得证.（2）根据面面垂直性质定理，可证平面ABCD，根据题意，求得各个边长，结合勾股定理、余弦定理，可得，可求得三棱锥体积，利用等体积法，即可求得答案.【详解】（1）取BD中点O，连接CO、MO，如图所示因为为等边三角形，且O为BD中点，所以，又，且O为BD中点，所以，又，所以平面，又平面，所以（2）因为平面平面ABCD，且平面平面ABCD=BD，，所以平面ABCD，由（1）可得，，，，所以，所以，所以，即，设D到平面ABM的距离为h，所以三棱锥体积，所以，解得.所以D到平面ABM的距离为20．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据点在抛物线上及抛物线的定义，列方程组即可求解.（2）由A，B为抛物线上关于y轴对称的两点，设，，由，所以，设l：，，，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可得.【详解】解：（1）由题意，，解得，所以，抛物线C的方程为：.（2）证明：A，B为抛物线C上关于y轴对称的两点，设，，由，所以，由题意，直线l斜率存在，设l：，，，联立得，则，，，，所以，直线AM，AN斜率的乘积为定值为.21．【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）．【分析】（1）求导分析导数符号即可求解单调区间；（2）求导函数，讨论，与分析单调性求取最值，从而判断是否满足恒成立，进而求得参数取值范围．【详解】（1）当时，，得，当时，；当时，所以的单调增区间为，单调减区间为；（2）由（1）知当时，的单调增区间为，则符合题意；当时，，则，，所以由（1）知，所以，故成立，则成立；当时，由，，令，则所以在上单调递减，得又且为减函数，所以为减函数，又故设，当时，有，所以在为减函数，则有，故不符合题意；综上所述：．22．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）写出曲线与的普通方程，求出两曲线的公共弦所在直线的方程，化为极坐标方程即可；（2）将曲线的方程化为极坐标方程，设直线的极坐标方程为，设点、，求出、的