2020-2021学年山东省临沂市沂水县沂水高三下3月月考数学试卷

2021年山东省临沂市沂水XX中高考数学联考试卷（一）（3月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|≥0}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2）∪[1，2） C．{1，2} D．{0，1，2}2．已知复数z满足z＝，则|z|＝（）A． B． C． D．3．已知单位向量，满足|﹣2|＝，则•＝（）A．﹣ B．﹣2 C． D．24．已知sin（α+）＝﹣，则cos（α﹣）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．函数f（x）＝在[﹣3，3]上的大致图象为（）A． B． C． D．6．已知双曲线C：﹣＝1（b＞0）的离心率为e，若e∈（，），则C的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为（）A．（1，3） B．（，+∞） C．（2，3） D．（，3）7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．60种 B．78种 C．84种 D．144种8．已知函数f（x）＝x+，若正实数m、n满足f（m﹣9）+f（2n）＝2，则+的最小值为（）A．8 B．4 C． D．二、多选题（共4小题）.9．下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（）A．xc2＞yc2 B． C．|x|＞|y| D．lnx＞lny10．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如表：AQI指数值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日﹣20日AQI指数的数据并绘成折线图如图：下列叙述不正确的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略大于150 B．这20天中的空气质量为优的天数占 C．10月4日到10月11日，空气质量越来越好 D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好11．设函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为2π B．f（x）的图象关于直线x＝对称 C．f（x）在（﹣）上单调递减 D．当x∈[0，a）时，f（x）的值域为[0，1]，则实数a的取值范围为（]12．如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点（不含端点），将△ABE沿EE翻折，使得二面角B﹣AE﹣D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B﹣AECD，点F为线段BD上的动点（不含端点），则在四棱锥B﹣AECD中，下列说法正确的有（）A．B、E、C、F四点不共面 B．存在点F，使得CF∥平面BAE C．三棱锥B﹣ADC的体积为定值 D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直三、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．已知数列{an}的首项a1＝，an+1＝1﹣，则a2021＝．14．二项式（3x+）6（n∈N*）的展开式中x2的系数为.（用数字作答）15．如图，在△ABC中，AB＝8，BC+AC＝12，分别取三边的中点D，E，F，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥P﹣DEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为，三棱锥P﹣DEF的体积为．16．如图，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线C在第一象限内的一点，抛物线C在点P处的切线PM与圆F相切（切点为M）且交y轴于点Q，过点P作圆F的另一条切线PN（切点为N）交y轴于T点．若已知|FQ|＝|FP|，则|FT|的最小值为．四、解答题：本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①asin（A+C）＝bcos（A﹣），②1+2cosCcosB＝cos（C﹣B）﹣cos（C+B），③＝．这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答．问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c＝2，a＝，___．求△ABC的面积．18．已知数列{an}满足a1＝，an+1﹣an+2an+1an＝0（n∈N*）．（1）证明：数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设Sn为数列{anan+1}的前n项和，证明Sn＜．19．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥BC，EF＝2，CE＝DE，CE⊥DE，平面CDE⊥平面ABCD．（1）求证：DE⊥平面EFBC；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值．20．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与椭圆E：+＝1有共同的焦点，且椭圆C的离心率e＝．点M、F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，直线l过点F且交椭圆C于P，Q两点，设直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在直线l，使得k1+k2＝﹣，若存在，求出直线l方程；不存在，说明理由．21．下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校围棋社团为丰富学生的课余生活，举行围棋大赛，要求每班选派一名围棋爱好者参赛．现某班有12位围棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，（规则采用“中国数目法”，没有和棋．）即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下（每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3：0，3：1，3：2三种赛式）．3：0或3：13：2胜者积分3分2分负者积分0分1分9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分．第10轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）（ⅰ）在第10轮比赛中，甲所得积分为X，求X的分布列；（ⅱ）求第10轮结束后，甲的累计积分Y的期望；（2）已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛．（“提前一轮”即比赛进行10轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．22．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣+1．（1）求函数f（x）的极值；（2）（ⅰ）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求正整数k的最大值；（ⅱ）证明：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e．

参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|≥0}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2）∪[1，2） C．{1，2} D．{0，1，2}解：集合A＝{x|≥0}＝{x|x＜﹣2或x≥1}，又B＝{x∈N|x≤2}，所以A∩B＝{1，2}．故选：C．2．已知复数z满足z＝，则|z|＝（）A． B． C． D．解：z＝＝＝，所以|z|＝．故选：A．3．已知单位向量，满足|﹣2|＝，则•＝（）A．﹣ B．﹣2 C． D．2解：因为||＝||＝1，|﹣2|＝，两边同时平方得，＝3，故＝．故选：C．4．已知sin（α+）＝﹣，则cos（α﹣）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．解：因为sin（α+）＝﹣，则cos（α﹣）＝cos[（α+）]＝sin（α+）＝﹣．故选：B．5．函数f（x）＝在[﹣3，3]上的大致图象为（）A． B． C． D．解：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，故排除C；又因为f（1）＝＜，故排除A，D；故选：B．6．已知双曲线C：﹣＝1（b＞0）的离心率为e，若e∈（，），则C的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为（）A．（1，3） B．（，+∞） C．（2，3） D．（，3）解：双曲线C：﹣＝1（b＞0）的离心率为e，可得e＝＝∈（，），解得b∈（2，3），C的焦点（±，0）到一条渐近线bx+y＝0的距离：＝b，则C的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为b∈（2，3），故选：C．7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．60种 B．78种 C．84种 D．144种解：根据题意，分2步进行分析：①将4四门选修课程分为3组，若分为2、1、1的三组，有C42＝6种分组方法，若分为2、2、0的三组，有＝3种分组方法，若分为3、1、0的三组，有C43＝4种分组方法则一共有6+3+4＝13种分组方法，②将分好的三组安排在三年内选修，有A33＝6种情况，则有13×6＝78种选修方式，故选：B．8．已知函数f（x）＝x+，若正实数m、n满足f（m﹣9）+f（2n）＝2，则+的最小值为（）A．8 B．4 C． D．解：函数f（x）＝x+，所以f（﹣x）＝﹣x+，所以f（x）+f（﹣x）＝2．由于函数f（x）＝x+在定义域上单调递增，故正实数m、n满足f（m﹣9）+f（2n）＝2，故9﹣m＝2n，所以m+2n＝9，所以＝（m+2n）（）＝（当且仅当买m＝2n时，等号成立）．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（）A．xc2＞yc2 B． C．|x|＞|y| D．lnx＞lny解：选项A：若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，xc2＞yc2是x＞y的充分不必要条件，故选项A正确；选项B：由可得y＜x＜0，即能推出x＞y，但x＞y不能推出（因为x，y的正负不确定），所以是x＞y的充分不不要条件，故选项B正确；选项C：由|x|＞|y|可得x2＞y2，则（x+y）（x﹣y）＞0，不能推出x＞y，由x＞y也不能推出|x|＞|y|（如x＝1，y＝﹣2），所以|x|＞|y|是x＞y的既不充分又不必要条件，故选项C错误；选项D：若lnx＞lny，则x＞y，反之x＞y得不出lnx＞lny，所以lnx＞lny是x＞y的充分不不要条件，故选项D正确．故选：ABD．10．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如表：AQI指数值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日﹣20日AQI指数的数据并绘成折线图如图：下列叙述不正确的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略大于150 B．这20天中的空气质量为优的天数占 C．10月4日到10月11日，空气质量越来越好 D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好解：对于A，由折线图知100以上的数据有10个，100以下的数据有10个，中位数是100两边两个数的均值，观察比100大的数离100远点，因此两者均值大于100但小于150，所以A错误；对于B，20天中空气质量为优的有5天，占，所以B正确；对于C，10月4日到10月11日，空气质量是越来越差，所以C错误；对于D，10月上旬的空气质量AQI指数值在100以下的多，中旬的空气质量AQI指数值在100以上的多，上旬的空气质量比中旬的空气质量好，所以D错误．故选：ACD．11．设函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为2π B．f（x）的图象关于直线x＝对称 C．f（x）在（﹣）上单调递减 D．当x∈[0，a）时，f（x）的值域为[0，1]，则实数a的取值范围为（]解：f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x＝sin2x+cos2x﹣1＝2sin（2x+）﹣1，A：T＝π，A错误；B：由于f（）＝﹣3为函数的最小值，故B正确；C：x∈（﹣）时，2x+∈（﹣，），f（x）单调递增，C错误；D：f（0）＝0，且当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值1，由对称性知f（0）＝f（）＝0，故a∈（]，D正确．故选：BD．12．如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点（不含端点），将△ABE沿EE翻折，使得二面角B﹣AE﹣D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B﹣AECD，点F为线段BD上的动点（不含端点），则在四棱锥B﹣AECD中，下列说法正确的有（）A．B、E、C、F四点不共面 B．存在点F，使得CF∥平面BAE C．三棱锥B﹣ADC的体积为定值 D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直解：对于A：假设直线BE与直线CF在同一平面上，所以：点E在平面BCF上，又点E在线段BC上，BC∩平面BCF＝C，所以点E与点C重合，与点E异于C矛盾，所以直线BE与CF必不在同一平面上，即B、E、C、F四点不共面，故A正确；对于B：当点F为线段BD的中点时，EC＝AD，再取AB的中点G，则EC∥FG，且EC＝FG，所以：四边形ECFQ为平行四边形，所以FC∥EG，则：直线CF∥平面BAE，故B正确；对于C：由题VB﹣ADC，但E的移动会导致点B到平面ACD的距离在变化，所以VB﹣ADC的体积不是定值，故C错误；对于D：过点B作BO⊥AE于O，由于平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，所以BO⊥平面AECD，过点D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以E和O重合，与△ABE是以点B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E，使得直线BE与直线CD垂直，故D错误．故选：AB．三、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．已知数列{an}的首项a1＝，an+1＝1﹣，则a2021＝﹣1．解：∵a1＝，an+1＝1﹣，∴a2＝﹣1，a3＝2，a4＝，…，∴数列{an}是周期为3的数列，∴a2021＝a673×3+2＝a2＝﹣1，故答案为：﹣1．14．二项式（3x+）6（n∈N*）的展开式中x2的系数为4860.（用数字作答）解：二项式（3x+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•（3x）6﹣r•（）r＝•36﹣r•2rx6﹣2r，r＝0，1，…6，令6﹣2r＝2，求得r＝2，故开式中含x2项系数为•34•22＝4860，故答案为：4860．15．如图，在△ABC中，AB＝8，BC+AC＝12，分别取三边的中点D，E，F，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥P﹣DEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为，三棱锥P﹣DEF的体积为．解：由题意可知三棱锥P﹣DEF的对棱分别相等，设BC＝2a，则AC＝12﹣2a，将三棱锥P﹣DEF补成长方体，则面对角线长度分别为：a，6﹣a，4，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的长宽高分别为：x，y，z，则x2+y2＝a2，y2+z2＝（6﹣a）2，x2+z2＝16．所以x2+y2+z2＝a2﹣6a+26，所以外接球的半径为：r＝＝，当a＝3时，外接球半径取得最小值，外接球的体积取得最小值，此时r＝，解得x＝z＝2，y＝1，所以三棱锥的体积为：2＝．故答案为：；．16．如图，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线C在第一象限内的一点，抛物线C在点P处的切线PM与圆F相切（切点为M）且交y轴于点Q，过点P作圆F的另一条切线PN（切点为N）交y轴于T点．若已知|FQ|＝|FP|，则|FT|的最小值为．解：抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，设P（2t，t2），由|FQ|＝|FP|，即为1﹣yQ＝t2+1，则Q（0，﹣t2），抛物线y＝，可得y′＝x，所以kPM＝t，不妨设∠FQP＝θ，则tanθ＝，∠NTF＝∠TFP+∠TPF＝2θ+θ＝3θ，在△PFT中，由正弦定理可得|FT|＝＝＝＝＝，所以∠PTy＝3θ＜π，所以θ＜，所以tanθ＜，即3t2﹣1＞0，所以＝＝++≥2+＝，当且仅当3t2﹣1＝4，即t2＝时，|FT|min＝．故答案为：．四、解答题：本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①asin（A+C）＝bcos（A﹣），②1+2cosCcosB＝cos（C﹣B）﹣cos（C+B），③＝．这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答．问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c＝2，a＝，___．求△ABC的面积．解：选①asin（A+C）＝bcos（A﹣），由正弦定理得sinAsinB＝sinBcos（A﹣），因为0＜B＜π，所以sinA＝cos（A﹣）＝，即cos（A+）＝0，因为0＜A＜π，所以A＝，因为a2＝b2+c2﹣bc，b+c＝2，a＝，所以bc＝2，所以S△ABC＝＝＝．选②因为1+2cosCcosB＝cos（C﹣B）﹣cos（C+B），所以1+2cosCcosB﹣cos（C﹣B）+cos（C+B）＝0，整理得cosA＝，因为0＜A＜π，所以A＝，因为a2＝b2+c2﹣bc，b+c＝2，a＝，所以bc＝2，所以S△ABC＝＝＝．选③＝，由正弦定理得，＝，所以＝，所以＝，因为sinB≠0，sinC≠0，所以cosA＝，因为A∈（0，π），所以A＝，因为a2＝b2+c2﹣bc，b+c＝2，a＝，所以bc＝2，所以S△ABC＝＝＝．18．已知数列{an}满足a1＝，an+1﹣an+2an+1an＝0（n∈N*）．（1）证明：数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设Sn为数列{anan+1}的前n项和，证明Sn＜．【解答】证明：（1）∵数列{an}满足a1＝，an+1﹣an+2an+1an＝0（n∈N*）．∴﹣＝2，∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为2，∴＝2+2（n﹣1）＝2n，解得an＝．（2）anan+1＝＝（﹣），∴Sn＝（1﹣+﹣+……+﹣）＝（1﹣）＜．19．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥BC，EF＝2，CE＝DE，CE⊥DE，平面CDE⊥平面ABCD．（1）求证：DE⊥平面EFBC；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD＝CD，且BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CDE，又因为DE⊂平面CDE，所以BC⊥DE，因为CE⊥DE，BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面EFBC，所以DE⊥平面EFBC；（2）解：取CD，AB的中O，P，连结EO，OP，因为平面CDE⊥平面ABCD，△CDE为等腰直角三角形，所以EO⊥平面ABCD，则OP，OC，OE三条直线两两垂直，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（4，﹣2，0），B（4，2，0），C（0，2，0），D（0，﹣2，0），E（0，0，2），F（2，0，2），所以，设平面ABF的法向量为，则有，令x＝1，则y＝0，z＝1，故，由（1）可知，DE⊥平面EFBC，所以平面BFC的法向量，所以＝，由图可知，二面角A﹣BF﹣C为钝角，所以二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．20．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与椭圆E：+＝1有共同的焦点，且椭圆C的离心率e＝．点M、F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，直线l过点F且交椭圆C于P，Q两点，设直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在直线l，使得k1+k2＝﹣，若存在，求出直线l方程；不存在，说明理由．解：（1）由题可知c＝1，且e＝，所以a＝2，则b2＝3，所以椭圆的方程为：；（2）由（1）可得：椭圆的右焦点坐标为（1，0），左顶点坐标为（﹣2，0），假设存在直线l，满足k，若直线l的斜率不存在时，k1+k2＝0，不合题意，舍去，所以可设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y整理可得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x，则k＝＝k＝k＝k＝k，所以k＝4，所以直线l的方程为：y＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣4＝0，综上，存在直线l：4x﹣y﹣4＝0，满足k．21．下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校围棋社团为丰富学生的课余生活，举行围棋大赛，要求每班选派一名围棋爱好者参赛．现某班有12位围棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，（规则采用“中国数目法”，没有和棋．）即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下（每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3：0，3：1，3：2三种赛式）．3：0或3：13：2胜者积分3分2分负者积分0分1分9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分．第10轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）（ⅰ）在第10轮比赛中，甲所得积分为X，求X的分布列；（ⅱ）求第10轮结束后，甲的累计积分Y的期望；（2）已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛．（“提前一轮”即比赛进行10轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．解：（1）（ⅰ）X的可能取值为3，2，1，0，P（X＝3）＝+（1﹣）×