2020-2021学年上海市金山区高考一模数学试卷

2020-2021学年上海市金山区高考一模数学试卷一、填空题若函数y=sin2x+π4，则它的最小正周期若复数z=2+i1−2i（i为虚数单位），则z的模若矩阵A=sinθnmcosθ，B=若函数y=log2x−m+1的反函数的图象经过点1,3，则实数已知集合M=yy=3sinx,x∈R，N=xx已知F1，F2是椭圆x225+y216=1在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是．（结果用数值表示）在直角三角形ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，点M是△ABC外接圆上的任意一点，则AB⋅AM的最大值是已知实数a，b，c成等差数列，则点P−1,0到ax+by+c=0的最大距离是球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，以这3个点为顶点构成的三角形的周长为18，则此球的半径为关于x的方程x2+ax+b−3=0a,b∈R在1,2上有实根，则若fx=∣x+1∣+∣x+2∣+⋯+∣x+2020∣+∣x−1∣+∣x−2∣+⋯+∣x−2020∣，x∈R，且fa2二、选择题在1+2x4的二项展开式中，二项式系数的和为   A．8 B．16 C．27 D．81“∣x−1∣<2成立”是“xx−3<0成立”的 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要已知定义在R上的函数fx是奇函数，且满足fx+3=fx，f1=−3，数列an满足Sn=2an A．−3 B．−2 C．3 D．2已知△ABC的外接圆圆心为O，∠A=120∘，若AO=xAB+y A．12 B．23 C．32 三、解答题已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，a=43，b=6，cos(1)求c；(2)求cos2B如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为(1)求三棱锥P−ABC的体积V；(2)若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小．已知定义域为R的函数fx(1)试判断函数fx=1−(2)若对于任意t∈R，不等式ft2已知点P在抛物线C:y2=4x上，过点P作圆M:x−32+y2=r20<r≤2的两条切线，与抛物线C分别交于A(1)若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标．(2)若点P的坐标为1,2，且r=2时，求PE(3)若点P的坐标为1,2，设线段AB中点的纵坐标为t，求t的取值范围．若数列an满足1λ≤an+1an≤λ（λ>1，且(1)若数列an的前三项依次为a1=2，a2=x，a3=9(2)已知an是公比为qq≠1的等比数列，且a1>0，记Tn=a2−(3)记无穷等差数列an的首项为a1，公差为d，证明：“0≤da1

答案一、填空题1.【答案】π【解析】T=22.【答案】1【解析】∣z∣=2+3.【答案】1【解析】因为A=B，所以m=sinθ，所以m24.【答案】2【解析】反函数经过1,3，即原函数经过3,1，所以log25.【答案】3,+∞【解析】M=−3,3，因为M⊆N所以N不可能为∅，所以a>0，N=−a,a结合数轴可知，要满足M⊆N，则a>3．6.【答案】20【解析】由题意，a=5，所以C△AB7.【答案】310【解析】相当于随机取出两个数字都是奇数，然后令其剩下，所以C38.【答案】45【解析】如图，由向量数量积的几何意义，AB⋅AM的最大值即9.【答案】22【解析】由题意a−2b+c=0，所以动直线ax+by+c=0经过定点Q1,−2，结合图象可知，点P−1,0到直线ax+by+c=0的最大距离即10.【答案】6【解析】由题意，构成的三角形为正三角形，所以边长为6，设球的半径为R，所以大圆周长为2π所以任意两点的球面距离为l=θR=2所以球的半径等于边长6．11.【答案】2【解析】分类讨论，①当对称轴x=−a即a≥−2时，需满足f1≤0且即a+b≤2,2a+b≥−1,a2+b−42的几何意义即点结合图象，a2②当对称轴x=−a2>1，即a<−2时，此时a12.【答案】6【解析】由“平底锅函数”特征可知，fx为偶函数，且在−1,1①a2−3a+2=a−1，解得a=1或②a2−3a+2=1−a，解得③−1≤a2−3a+2≤1,−1≤a−1≤1.解得3−5综上，满足条件的所有整数a的和是1+2+3=6．二、选择题13.【答案】B【解析】n=4，所以二项式系数的和为2n14.【答案】B【解析】∣x−1∣<2⇒−1<x<3，xx−3因为0<x<3⇒−1<x<3，所以“xx−3<0成立”⇒“即必要不充分条件．15.【答案】C【解析】由Sn所以Sn−1=2a即an所以an−1=2an−1−1，由S1=2所以an−1=−2所以a5=−31，因为fx+3所以周期为3，因为fx所以f0=0，所以fa16.【答案】D【解析】由题意，OA=OB=OC，x>0，y>0，∠BOC=120所以AO=x整理得1−x−yAO所以平方得1−x−y2即1−x−y2因为xy≤x+y所以1−x−y2=x即t−12≥t24，整理得3t2三、解答题17.【答案】(1)在△ABC中，由余弦定理得：a2即48=36+c整理得：c2解得：c=2．(2)在△ABC中，由余弦定理得：cosB=得：cosB=cos2B=218.【答案】(1)因为PA⊥底面所以∠PBA为侧棱PB与底面所成的角，即∠PBA=π所以PA=AB=2，又S=1所以V=1即三棱锥P−ABC的体积为23(2)取AB中点E，连接DE，CE，则DE∥所以∠CDE就是异面直线PA与CD所成的角（或其补角），CE=3，DE=因为PA⊥底面所以DE⊥底面在直角三角形CDE中，tan∠CDE=所以∠CDE=π所以异面直线PA与CD所成角的大小为π319.【答案】(1)任取x1,x则2x1<2x于是fx即fx所以函数fx=1−(2)任取x∈R，则f所以fx=1−由1知：函数fx在R所以t2−2t>k−t2，即由Δ=4+8k<0得：k<−12，即实数k的取值范围是20.【答案】(1)设点P的坐标为x,y，则y2解得：x=2,y=22或即点P的坐标为2,22或2,−2(2)当点P的坐标为1,2，且r=2时，∣PM∣=在Rt△PME中，∣PE∣=8−2=同理，∣PF∣=6，且∠MPF=从而PE⋅(3)由题意知：切线PA，PB的斜率均存在且不为零，设切线方程为y−2=kx−1由∣2k+2∣k2+1记切线PA，PB的斜率分别为k1，k则k1因为切线PA，PB的方程分别为y−2=k1x−1联立y2消去x得：k1设Ax1,y1所以y1同理y2于是t=y即t的取值范围是−10,−6．21.【答案】(1)由13≤x所以实数x的取值范围是3,6．(2)由an为B4数列得：①当q∈1,4时，a所以Tn从而Tn+1Tn所以当q>1时，t>q；②当q∈14,1所以Tn从而T