平面 高一下数学人教A版必修二

人教A版必修第二册8.4.1平面日期：2026年x月x日授课人：xxx第八章立体几何初步1复习请回忆并阐述空间几何体的基本元素.2复习请回忆并阐述棱柱、棱锥、棱台的定义.3一、创设情境，引入新知4

思考对于点、直线和平面，你了解多少？点：没有长度、宽度、高度（点不分大小），具有不可再分性.直线：没有宽度（线不分宽窄），向两端无限延伸，具有平直性、无限性、连续性.

初中学过5

思考生活中哪些对象给我们以平面的印象？一、创设情境，引入新知二、问题驱动，构建新知6

思考1平面的含义是什么？

思考2类比点、直线的图形和符号表示，平面的图形和符号表示是什么样的？

思考3类比两点确定一条直线，如何确定一个平面？

思考4类比“两点之间线段最短”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等基本事实（基本性质/公理），平面是否有一些基本性质？7

经过长期观察，生活中有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”，就是从这样的一些物体中抽象出来的，平面是向四周无限延展的.平面在几何学中，与点和直线一样，平面也是一个不加定义的原始概念.没错！“平”和“无限延展”是平面的两大本质特征.二、问题驱动，构建新知8画出平面的一部分——常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.水平放置：一边横向竖直放置：一边竖向

写在一个角内图形语言文字语言符号语言二、问题驱动，构建新知9二、问题驱动，构建新知10

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

简称“不共线的三点确定一个平面”.平面的基本事实1：确定平面的条件二、问题驱动，构建新知

若给定的3个点在一条直线上，请问还是确定1个平面吗？无数多个

11

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

简称“不共线的三点确定一个平面”.二、问题驱动，构建新知图形语言文字语言符号语言

不共线的四点确定一个平面吗？不一定平面的基本事实1：确定平面的条件12二、问题驱动，构建新知

YES13

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.平面的基本事实2：判断直线是否在平面内二、问题驱动，构建新知这个内容反映了直线和平面的关系.阐述两层意思：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内.14

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.平面的基本事实2：判断直线是否在平面内；判断面是否为平面二、问题驱动，构建新知球面是平面吗？为什么？15

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.二、问题驱动，构建新知基本事实2实际上是利用直线的“直”和“无限延伸”的属性刻画了平面的“平”和“无限延展”的属性.没错！平面的基本事实2：判断直线是否在平面内；判断面是否为平面16

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.二、问题驱动，构建新知图形语言文字语言符号语言

集合语言描述几何对象之间的关系：直线是点集，平面也是点集.平面的基本事实2：判断直线是否在平面内；判断面是否为平面17推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.三个推论:确定平面的依据二、问题驱动，构建新知18二、问题驱动，构建新知19

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面的基本事实3：判断多点共线，判定多线共点二、问题驱动，构建新知该基本事实进一步说明了平面的“平”和“无限延展”的特性.是的.因为平面“平”，所以它们才可能交于一条直线.你认为该基本事实有何作用？不妨展开说一说.20

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面的基本事实3：判断多点共线，判定多线共点二、问题驱动，构建新知作用一：判定两个平面相交的依据，只要两个平面有公共点，则这两个平面必相交于过这个点的一条直线.作用二：判定点在直线上，若点是两个平面的公共点，线是两个平面的公共交线，则点在交线上.21

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面的基本事实3：判断多点共线，判定多线共点二、问题驱动，构建新知图形语言文字语言符号语言

两个平面的交集是直线，没有加花括号哦！22

练习1.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示文字语言符号语言点A在直线l上_______点A在直线l外_______点A在平面α内_______点A在平面α外_______直线l在平面α内_______直线l不在平面α内_______平面α，β相交于直线l_______A∈lA∉lA∈αA∉αl⊂αl⊄αα∩β=l2.基本事实的表示基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三个点，

一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在

平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在___________

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒_______有且只有唯一的两个点这个平面内l⊂α基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________

P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l公共直线3.三个推论的表示推论文字语言图形语言推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面

(1)(多选)下列说法正确的是A.我们通常画出平面的一部分表示平面B.平面是无限延展的C.平面的形状是平行四边形D.一个平面的厚度可以是0.001

cm√例

1√平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，且我们通常画出平面的一部分来表示平面，A，B两种说法是正确的，C，D两种说法是错误的.解析(2)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.①A∉α，a⊂α：

；②α∩β=a，P∉α且P∉β：

；③a⊄α，a∩α=A：

；④α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O：

.CDAB三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图所示.

反思感悟

用符号和图形表示下列语句：(1)A，B两点既在平面α内，又在平面β内，则直线AB是平面α与β的交线；跟踪训练

1符号表示为：A∈α，B∈α，A∈β，B∈β，则α∩β=AB.图形表示如图①.解(2)两条相交直线a和b都在平面α内；符号表示为：a∩b=P，a⊂α，b⊂α.图形表示如图②.解(3)直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M.符号表示为：a⊂α，b⊄α，a∩b=M.图形表示如图③.解二点、线共面问题

已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面.例

2∵b∥c，∴b，c可确定一个平面α，设a∩b=A，a∩c=B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，∴a⊂α，∴直线a，b，c共面.证明

在本例中，若直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C，又该如何证明直线a，b，c，l共面？延伸探究如图所示.∵a∥b，∴a，b可确定一个平面α.又l∩a=A，l∩b=B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.∴AB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.又b∥c，∴b，c可确定一个平面β.同理l⊂β.∵平面α，β均经过直线b，l，且b和l是两条相交直线，∴l与b确定的平面是唯一的，平面α和β重合.∴直线a，b，c，l共面.证明证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.

反思感悟点共线问题三

如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上.例

3方法一由AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α=P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC与平面α的公共点.∵平面ABC∩α=l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点在同一条直线上.证明方法二∵AP∩AR=A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α=P，AC∩α=R，∴平面APR∩α=PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点在同一条直线上.证明证明三点共线的方法

反思感悟

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.跟踪训练

3∵MN∩EF=Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.证明线共点问题四

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P=2PA1，C1Q=2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点.例

4

证明又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线AA1上，即R∈AA1，∴直线AA1，BP，CQ相交于一点.证明证明三线共点的步骤

反思感悟

在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=1∶3.求证：EF，GH，BD相交于一点.跟踪训练

4

证明延长EF，GH，设交点为O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，∴O∈BD.即EF，GH，BD相交于一点.证明平面的交线问题五

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.例

5方法一延长D1E交DA的延长线于点M，连接CM交AB于点F，连接EF，∵M∈D1E，D1E⊂平面D1CE，∴平面D1CM即为过点D1，C，E的平面，易知CM∩AB=F，AB⊂平面ABB1A1，CM⊂平面D1CM，∴F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CM，∴F为两平面公共点，又E也为两平面的公共点，∴EF为过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线.解方法二如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形.∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴EF和CD1共面，即E，F，C，D1四点共面.∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF.∴过D1，C，